數(shù)學(xué)竟賽培訓(xùn)資料理工

數(shù)學(xué)竟賽培訓(xùn)資料(理工)第六講曲線積分（一）內(nèi)容要點(diǎn)及重要方法提示1.第一型(對弧長)曲線積分.弧微分.注意無方向問題,一般計(jì)算程序:畫出積分路徑的圖形;將路徑用參數(shù)式表示;表dl為參變量的微分式后化成定積分計(jì)算.(1)化成參變量的定積分計(jì)算.例6.1.設(shè)c>0為常數(shù),L:的弧長.解.L的參數(shù)方程是:因此所求弧長.例6.2.計(jì)算均勻密度的球面在第一卦限部分的邊界曲線的重心坐標(biāo).解.邊界曲線的三段弧分別有參數(shù)方程:x=acosθ,y=asinθ,z=0,0≤θ≤π∕2;x=acosφ,y=0,z=asinφ,0≤φ≤π∕2;x=0,y=acosφ,z=asinφ,0≤φ≤π∕2.曲線周長s=3aπ∕2,及(2)第一型曲線積分的對稱性用法.例6.3.計(jì)算積分I=a>0.解.用極坐標(biāo),L:.根據(jù)對稱性得積分I=4.踢例峽6.筐4.教設(shè)勤L波是順際時(shí)針老方向趁橢圓牧=嶺.(柜20墻01雪天津忌賽)貍解考.恨根據(jù)耐對稱戶性得宗積分靈=4征l糞.冤2塊.予第二囑型(藥對坐康標(biāo))榨曲線識積分芬.切注意帶有方功向問必題,庫一般耽計(jì)算綿方法污有:削化醒成參支變量邪的定尾積分燒計(jì)算稈;藥應(yīng)用映格林公公式炮或斯殊托克姥斯公黎式怕;為利用遵與路蝴徑無皺關(guān)條司件計(jì)供算.擁(1側(cè))化挎成參己變量戀的定叔積分廁計(jì)算被.寄例株6.破5.撒設(shè)嘉L甩為正士向圓呆周泳=睡.蓬解理.斗L頃:州于是階有積嗚分=中3街π竹∕叫2誘.竄責(zé)例養(yǎng)6.狠6.撐設(shè)灘C芽是昆從梢球面瞧上任牌一點(diǎn)飯的任佩一光薯滑曲棒線(夠a姐>0幸,顫b尸>0柿),性計(jì)交算積聽分鼠I=魄,其僵中瞧.腳解婚.險(xiǎn)r饞d災(zāi)r=傘x治d檢x+專y全d氣y兵+晝z農(nóng)d妥z不,我I堡=受.待(2擦)格功林公剃式的璃應(yīng)用釋(注療意條財(cái)件)儀.膏當(dāng)差L亦不閉豆合時(shí)丑,應(yīng)糊添加頸光滑站曲線車使其樓閉合欲后再僑用格燃林公辦式績.樹例香6.注7.悄設(shè)稱L妻是分猜段光境滑的怎簡單輔閉曲桃線,巧(澇2,邁0)墾、(劈2,煩0)汗兩點(diǎn)雕不在貸L今上形.試好就倆L奇的不顫同情匯形分雙別計(jì)駐算如棚下曲湯線積叔分的育值:書(養(yǎng)19都91扣上海吼競賽戒)貪解五.令回A哭(2天,0霉)不,壓B犬(蒜2,削0)寶,益籮L喘包圍究的平翅面區(qū)掌域內(nèi)唱部為呼D赴,記.則達(dá)(1啊)婆A距、B四均為培G所的外屠點(diǎn),直根據(jù)疤格林啟公式骨有款I(lǐng)=茅0泥.遙(2逆)冷A帆為乳G猜的內(nèi)返點(diǎn),眾點(diǎn)B援為初G忍的外騾點(diǎn),支則以牙A東為中鴉心作體半徑訂r礎(chǔ)充分飾小的雀閉圓辜盤厘E謝含于皮D濤內(nèi),大記批E淡的正繡向邊巴界為狗C鄰,有I=顆=旋且斤C畝:殿x=綢2+叼r垃co尼s捉θ劇,步y(tǒng)=闊r膠si殖n嶺θ臟,0蓋≤曾θ部<澇2堆π河,創(chuàng)于是庫有眨I=冠2膠π教.鏈(3愧)互A砍為朗G窮的外賣點(diǎn),艦福B興為棕G狡的內(nèi)黎點(diǎn),躍同理筐可得帳I=問2營π獵.損(4棵)多A臘、B伯均為勵(lì)G項(xiàng)的內(nèi)愚點(diǎn),即與(詳2)比相仿趨,在撞D塔內(nèi)分鳳別以仍A、刑B童為中浪心作焦半徑鈔r煩充分聰小的裳閉圓騎盤使調(diào)它們芒的并干集含頑于辜D襖內(nèi),呼仍用敬格林暴公式鈴可得碧I=嬌4外π貴.池(3孝)積貓分與學(xué)路徑轉(zhuǎn)無關(guān)瓦的問譯題.秤例禾6.話8.披設(shè)函咳數(shù)懸f家(江x鞭)辮在(概∞脾,脅+性∞雞)棉內(nèi)宇具有滅連續(xù)血導(dǎo)數(shù)淡,漂求積油分微其中絡(luò)C菠是從嘩點(diǎn)地A撥(3夕,2巾∕遍3)勤到點(diǎn)狠B磨(1煩,2帆)的豐直線襖段.筋(移19侍94晉北京踢競賽葛)快解馬.積開分與完路徑湊無關(guān)算,因容此積謙分為墾(4躲)求般原函叛數(shù)問吵題.的例噸6.羊9.薯設(shè)函淋數(shù)遷Q貝(竊x擋,務(wù)y殲)在君xO畢y鞏平面溝上具綢有連煤續(xù)一礦階騙否導(dǎo)數(shù)只,曲乎線積噴分蜓與路尖徑無購關(guān),嚷并且話對任課意的魯t己恒有填求翻Q掘(翅x束,窗y束).昌(粗20晝01艦天津部)宣解既.因宿積分失與路哈徑無延關(guān)吹,有齡其中虎C陣(飯y蜂)為遮待定蹄函數(shù)告.又告的兩身邊關(guān)狼于序t捉求導(dǎo)宿得2密t=周1+革C遼(娃t盼)柳,由郊此推紋出繞例幕6.倚10辟.確游定常遮數(shù)口λ細(xì),使崖在右茅半平測面閣x堪>0壤上的錢向量您A模(堂x揚(yáng),齊y桃)=鑄2佛xy菊j崖為某貿(mào)二元?dú)W函數(shù)裙u重(攀x勒,丸y敢)的軌梯度愈,并別求精u素(射x砍,妙y記)愉.話(1姨99墨8研京)枕解耳.令養(yǎng)P少(丟x獻(xiàn),吵y錘)=縫2該xy死解得沃λ鋸=斷1嚷.然嗚后有版u醬(瓶x壩,煙y磁)=溉(5幻)曲閑線積昆分的蝦證明村題.紀(jì)例竿6.檔11平.設(shè)下P前(住x款,遣y袍),址Q單(禿x模,殊y罩)嫁具有預(yù)連續(xù)次的偏劇導(dǎo)數(shù)飯,矮且對失以任江意點(diǎn)桂為圓脆心,街以任乳意正決數(shù)茅r園為半沫徑的平上半鑄圓難L怖:暴證明撕:安(2雁00惜4天逼津競括賽)恩證.勝記上艦半圓究直徑吉為宗AB柄,挨取講AB屑+L誦為逆績時(shí)針儲方向踏,其遷包圍賄的區(qū)色域?yàn)殇zD蹤,由缸格林鏈公式柳與積留分中井值定包理愁M曾∈驗(yàn)D原,且于是鋒的任肥意性蒸知逮P博(更x箏,疼y竭)第≡傻0,線且掛例悠6.漁12嗽.設(shè)場函數(shù)稍φ找(攜y掃)具府有連鋒續(xù)導(dǎo)溫?cái)?shù),炸在圍痕繞原撫點(diǎn)的壘任意發(fā)分段意光滑指簡單難閉曲途線酸L郊上,些曲線枯積分粱的值奉恒為縮同一衣常數(shù)夫.淺(1壁)證桑明:睛對右喜半平歉面極x蔑>0籃內(nèi)的栗任意芹分段寨光滑讀簡單鐵閉曲扔線第C經(jīng),有唉(2咽)求球函數(shù)賄φ活(捷y壺)的烤表達(dá)滔式.羞(愧20千05鑄研)毫解誕.使(1訓(xùn))設(shè)說C茅是半?yún)f(xié)平面穩(wěn)x矩>0世內(nèi)的活任意兵分段映光滑歉簡單佩閉曲債線,南在化C愚上任肉取兩宅點(diǎn)壺M診、蛾N濟(jì),企圍繞碰原點(diǎn)企作閉裳曲線襪(如秋圖)圾進(jìn)行壞積分真即得信證明便.適(2露)由叔(1夫)記,在諒半平畢面衰x哪>0攏內(nèi)積闖分與梁路徑柔無關(guān)旺,得惜例駐6.矩13悠.設(shè)獄在上吸半平鏈面晶D=粘{(在x死,鵲y場)殊|灣y謙>0遣}內(nèi)劍,姑函數(shù)倍f洞(毛x瓣,爭y承)具翅有連霉續(xù)讓偏導(dǎo)耗數(shù),吉且對穗任意五的癥t毫>0命都有鉗f廈(燙tx遷,眨t獎(jiǎng)y捷)=倉證明鉗:桌對鉤D師內(nèi)的隆任意伍分段啊光滑郵的有合向簡君單閉貪曲線電L墻,都暈有舍(2搬00像6研敬)改證.超又旅f瓣(包tx毅,糟t速y能)=恭對考t態(tài)求導(dǎo)崖后,裹令沉t絡(luò)=1授,即野可得舊結(jié)果鏈.杯3呀.瓣曲線殘積分彈的應(yīng)宇用題尖.蓮例熄6.披14棕.若軟懸鏈樹線號上每枕一點(diǎn)語的密恭度與否該點(diǎn)技的縱解坐標(biāo)球成反效比,踐且在甘點(diǎn)(思0,醬a享)的析密度槍等于能b驅(qū).試籮求曲查線在勾橫坐葉標(biāo)0踐到撕a閘的點(diǎn)歌之間煉弧段訪C協(xié)的質(zhì)蹲量稿m聯(lián).搞解腎.由晃條件臣知曲誕線上怨點(diǎn)(渴x敏,津y公)處鼠的密許度為部ab飲∕宴y套,于則是m=撒例懲6.哨15賀.質(zhì)辛點(diǎn)消P吉在力跌F撒作用窄下從攪點(diǎn)塌A挽(1參,2藥)沿微著直減徑時(shí)AB胡的半澡圓周飯(見瑞圖)朽運(yùn)動真到自B帥(3香,4禮)嘩,遠(yuǎn)F地的大正小等炕于點(diǎn)科P果(貍x寇,賄y陜)與買原點(diǎn)杜間的喉距離關(guān),方隨向垂率直于糖線段此OP必且與原y嚷軸正柱向夾鬧角為艇銳角理.求抹變力遲F繭所作果的功仿W啄.惜解聽.迷F茄=胸y傳i傲+幻x筆j峽,令獎(jiǎng)L吩是所飲述謊AB飲弧:禽于是盟W并=伴4厘.窮兩類既曲線遭積分舞的聯(lián)壯系槐.免其中租co互s值α手,急co篩s劈β版,響co摩s聾γ野為有荒向曲群線雞L辨的正鐵向切遇線的寒方向霞余弦堆.冊（二慎）習(xí)齡題抓6.勿1.客填空平題:姑設(shè)當(dāng)者x沖0進(jìn)時(shí),役為同期階無保窮小湖,瞧則等n=研.彩(福20鄉(xiāng)02旅北京著競賽排)歉6.孕2.波設(shè)曲濤線線Г娘是平獄面爐x+出y+紀(jì)z=拜1與狗球面快6.罪3.塌設(shè)坡L陽是平米面區(qū)唯域城D普:0男≤氣x是≤π舉,竿0朱≤辰y(tǒng)辨≤π誤,籌的正朗向邊堅(jiān)界.穩(wěn)證明聾:掛(1員)扯6.殘4.您計(jì)算求曲線捷積分乒I=厲其中癢L鞋是以數(shù)點(diǎn)(示1稅,耕0)前為中突心涌,旗為半忘徑的素圓周愉(受R肅>1柜)斧,取逼逆時(shí)址針方俘向纏.雹6.窄5.除求濁I=礦其中游a瞇,層b變?yōu)檎~的常仇數(shù)綠,談L剖為從文點(diǎn)很A誘(2域a如,丘0)式沿曲延線搜到點(diǎn)巷O堪(0分,贊0)卻的弧鞭.衰(1街99號9研硬)極6.匙6.畢設(shè)二親元函菜數(shù)旱u大(什x云,冠y脾)在祥有界豬閉區(qū)而域畏D睬上可閱微,尊在章D窮的邊呢界曲景線上品u班(駛x騾,益y液)=敢0,較并滿麥足釋=廢u碰(僵x辦,戰(zhàn)y涌),閥求堵u膛(宅x卡,俯y繪)的濫表達(dá)端式.括(種20嘉05快天津記競賽煌)桐6.罵7.呼設(shè)二巴元函具數(shù)梁f兇(兆x李,覺y駕)具剛有一磁階連擠續(xù)偏羊?qū)?shù)厘,且艷求散f孤(撇x別,法y獸)笛.鹽(2案00從5津蹲)國6.貿(mào)8.純設(shè)譯f撤(海x自)連幸續(xù)可洗導(dǎo),縫f退(1技)=或1,折G鄭為不治包含濤原點(diǎn)患的單純連通重域,諷任取脖M蜻,困N呆∈發(fā)G東,灣在游G冰內(nèi)曲咸線積志分尤與路番徑無伯關(guān),尖(1燙)求蜜f匆(板x蓄);著(頃2)虛求嚴(yán),取展正向戲.去(朋20猜04賽江蘇吵競賽薦)泳6.演9.趣計(jì)算舟I=錄其中懇L脈是繞旁原點(diǎn)除兩周陷的正供向閉貞路.伸（三療）習(xí)屑題解豪答或佳提示跟6.個(gè)1.龜應(yīng)填普:劇2是.單找6.攜2.知解媽.利乘用對賞稱性承,因雕于是焰積分理為丑6.組3.峰證.慈(果1)巷左端刑=獲右端扒=寶若(2傍)由減(1利)及滾推出膝.稀6.睬4.喇解巖.輸C紐取逆鞠時(shí)針覽方向夢,于北是皇6.蒸5.吐解密.令刮l概是有秩向直什線段遇OA帖,鍬D坊為等L+伍l姻圍成埋的半混圓域嬌,由脆格林噸公式剃得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