師說數(shù)學必修第一冊教版課件

第2課時 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)(2)成套的課件成套的教案成套的試題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系QQ309000116加入百度網(wǎng)盤群2500G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動更新，一勞永逸新知初探課前預習題型探究課堂解透新知初探課前預習教材要點要點一 比較冪的大小一般地，比較冪大小的方法有對于同底數(shù)不同指數(shù)的兩個冪的大小，利用

指數(shù)函數(shù)

的單調(diào)性來判斷．對于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個冪的大小，利用

指數(shù)函數(shù)圖象

的變化規(guī)律來判斷．對于底數(shù)不同指數(shù)也不同的兩個冪的大小，則通過

中間值來判斷．要點二 解指數(shù)方程、不等式簡單指數(shù)不等式的解法形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的

單調(diào)性

求解．形如af(x)＞b的不等式，可將b化為

以a為底的指數(shù)冪，再借助y＝ax的

單調(diào)性

求解．形如ax＞bx的不等式，可借助兩函數(shù)y＝ax，y＝bx的圖象求解．要點三 指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性一般地，有形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)函數(shù)的性質(zhì)(1)函數(shù)y＝af(x)與函數(shù)y＝f(x)有 的定義域．相同(2)當a＞1時，函數(shù)y＝af(x)與y＝f(x)具有

相同

的單調(diào)性；當0＜a＜1時，函數(shù)y＝af(x)與函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性

相反

．基礎自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)y＝ax(a＞0且a≠1)的最小值為0.(

)×(2)y＝21－x是R上的增函數(shù)．(

×

)(3)若0.1a＞0.1b，則a＞b.(

×

)(4)由于y＝ax(a＞0，且a≠1)既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù)，所以指數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)也構(gòu)不成具有奇偶性的函數(shù)．(

×

)2．下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A．y＝??

B．y＝|x|C．y＝2x

D．y＝x3答案：D解析：y＝?在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以排除A；y＝|x|是偶函數(shù)，所以排除B；?y＝2x為非奇非偶函數(shù)，所以排除C.3．下列判斷正確的是(

)B．0.52＜0.53D．0.90.2＞0.90.5A．1.51.5＞1.52C．e2＜

2e答案：D解析：因為y＝0.9x是減函數(shù)，且0.5＞0.2，所以0.90.2＞0.90.5.4．函數(shù)y＝2|x|的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0]．解析：函數(shù)y＝2|x|的圖象如圖．由圖可知，函數(shù)y＝2|x|的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0].題型探究課堂解透題型1

指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應用角度1

比較大小例1

(1)(多選)下列各組數(shù)的大小比較不正確的是()A．1.52.5＜1.53.2C．1.50.3＞0.81.2B．0.6－1.2＞0.6－1.5D．0.30.4＜0.20.5答案：BD解析：(1)A中，函數(shù)y＝1.5x在R上是增函數(shù)，∵2.5<3.2，∴1.52.5<1.53.2，A正確；B中，函數(shù)y＝0.6x在R上是減函數(shù)，∵－1.2>－1.5，∴0.6－1.2<0.6－1.5

，B不正確；C中，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，知

1.50.3>1.50＝1，而0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2，C正確；D中，在同一直角坐標系內(nèi)，畫出y＝0.3x，y＝0.2x兩個函數(shù)的圖象，由圖象得0.30.4>0.20.5，D不正確．故選

BD.???(2)比較下列各值的大?。海?）

，?????

?

?2

，（

?

）

（

）??

??解析：(2)先根據(jù)冪的特征，將這4個數(shù)分類：①負數(shù)：（

?

?

）?；②大于1的?

?

??

?

?

?

?

?數(shù)：（

?

）?，2?；③大于0且小于1的數(shù)：（

?

）?.②中，（

?

）?<2?<2?

(也可在?

?

?同一平面直角坐標系中，分別作出y＝??

）?，y＝2x的圖象，再分別取x＝?，x＝?，??????比較對應函數(shù)值的大小，如圖)，故有（

?

）

<????????（ ）

<??????（ ）

<??

??????

.方法歸納比較指數(shù)冪的大小時，主要應用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及圖象的特征，或引入中間數(shù)進行比較．角度2

解簡單的指數(shù)不等式例2

(1)不等式3x－2＞1的解集為

．(2)若ax＋1＞???????

(a＞0且a≠1)，求x的取值范圍．?答案：(1)(2，＋∞) (2)見解析解析：(1)3x－2＞1?3x－2＞30?x－2＞0?x＞2，所以解集為(2，＋∞).?(2)因為ax＋1＞???????

，所以當a＞1時，y＝ax為增函數(shù)，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.當0＜a＜1時，y＝ax為減函數(shù)，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.綜上，當a＞1時，x的取值范圍為(－∞，3)，當0＜a＜1時，x的取值范圍為(3，＋∞).方法歸納解與指數(shù)相關的不等式的策略底數(shù)不同的先要化同底，底數(shù)統(tǒng)一后直接利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一元一次、一元二次不等式求解，底數(shù)不確定的討論單調(diào)性后轉(zhuǎn)化求解．(1)已知a＝20.1，b＝0.33，c＝0.30.1，則a、b、c的大小跟蹤訓練1關系為(

)A．a(chǎn)＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜c＜a

D．a(chǎn)＜c＜b?(2)解不等式（

?

）????≤3.答案：(1)C(2)見解析解析：(1)因為函數(shù)y＝x0.1在(0，＋∞)上為增函數(shù)，則a＝20.1>0.30.1＝c，指數(shù)函數(shù)y＝0.3x為R上的減函數(shù)，則b＝0.33<0.30.1＝c.因此，b<c<a.(2)

（

?

）????＝3????

≤3，∵y＝3x是R上的增函數(shù)，∴2－x2≤1，?解得x≥1或x≤－1，∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}．題型2

與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的單調(diào)性?例3

(1)函數(shù)y＝3?的單調(diào)遞減區(qū)間是(

)A．(－∞，＋∞)C．(0，＋∞)B．(－∞，0)D．(－∞，0)和(0，＋∞)答案：D??解析：(1)設u＝，則yu1

2

1

2＝3

，對任意的0<x

<x

，有u

>u

.?又因為y＝3u在R上是增函數(shù)，所以y1>y2，所以y＝3?在(0，＋∞)上是減函數(shù)．對任意的x1<x2<0，有u1>u2，又因為y＝3u在R上是增函數(shù)，所以y1>y2，所以y＝?

?3?在(－∞，0)上是減函數(shù)．所以函數(shù)y＝3?的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)和(0，＋∞).故選D.(2)求函數(shù)y＝????＋??－?的單調(diào)區(qū)間．解析：設y＝au，u＝x2＋2x－3，由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上為減函數(shù)，在[－1，＋∞)上為增函數(shù)．當a>1時，y關于u為增函數(shù)；當0<a<1時，y關于u為減函數(shù)，∴當a>1時，原函數(shù)的增區(qū)間為[－1，＋∞)，減區(qū)間為(－∞，－1)；當0<a<1時，原函數(shù)的增區(qū)間為(－∞，－1)，減區(qū)間為[－1，＋∞).方法歸納關于指數(shù)型函數(shù)y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的單調(diào)性由兩點決定，一是底數(shù)a＞1還是0＜a＜1；二是f(x)的單調(diào)性，它由兩個函數(shù)y＝au，u＝f(x)復合而成．求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通過考察f(u)和φ(x)的單調(diào)性，求出y＝f(φ(x))的單調(diào)性．?跟蹤訓練2

已知函數(shù)f(x)＝（

?

）?????,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性．解析：令u＝x2－2x，則原函數(shù)變?yōu)閥＝????.?∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，又?∵y＝????在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，?∴y＝（

?

）?????在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在[1，＋∞)上單調(diào)遞減

．題型3

指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應用?·??例4

已知函數(shù)f(x)＝1－????

(2b－6＜x＜b)是奇函數(shù)．解析：(1)函數(shù)f(x)＝1－(1)求a，b的值；?·????

??(2b－6＜x＜b)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)恒成立，即1－??

???·??

?·????

??＝－1＋

，整理得(a－2)(3x＋1)＝0，所以a＝2，因為2b－6＋b＝0，解得b＝2，所以a＝2，b＝2.(2)證明：f(x)是區(qū)間(2b－6，b)上的減函數(shù)；????證明：由(1)得f(x)＝1－????

，x∈(－2，2)，設任意取x1，x2∈(－2，2)，且x1＜x2，?????則f(x1)－f(x2)＝

1

?

?1?

?????＝?

???

???????

??

???

??

???

??

???

??，因為x1＜x2，所以3??

?

3??

，所以3??

?

3??＞0，而3??

?

1

?

0，3??＋1＞0，所以?

???

???????

??

???

??>0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)是區(qū)間(2b－6，b)上的減函數(shù)．(3)若f(m－2)＋f(2m＋1)＞0，求實數(shù)m的取值范圍．?所以實數(shù)m的取值范圍是(0,?).解析：f(m－2)＋f(2m＋1)＞0，所以f(m－2)＞－f(2m＋1)，因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(m－2)＞f(－2m－1)，因為函數(shù)f(x)是區(qū)間(－2，2)上的減函數(shù)，m－2<－2m－1所以－2<m－2<2－2<2m＋1<23，解得0＜m＜1，方法歸納解決指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題的注意點注意代數(shù)式的變形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等變形技巧．解答函數(shù)問題注意應在函數(shù)定義域內(nèi)進行．由于指數(shù)函數(shù)單調(diào)性與底數(shù)有關，因此要注意是否需要討論．????

?跟蹤訓練3

已知函數(shù)f(x)＝(

?

?

?)·x3.(1)求f(x)的定義域；

(2)討論f(x)的奇偶性；解析：(1)由題意得2x－1≠0，即x≠0，∴f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞).(2)由(1)知，f(x)的定義域關于原點對稱．令g(x)＝

?

＋?＝????????

?

???????，φ(x)＝x3，則f(x)＝g(x)·φ(x).∵g(－x)＝＝?????

????????????

???????＝－g(x)，φ(－x)＝(－x)3＝－x3＝－φ(x)，∴f(－x)＝g(－x)·φ(－x)＝[－g(x)]·[－φ(x)]＝g(x)·φ(x)＝f(x)，????

?∴f(x)＝(

?

＋?)·x3為偶函數(shù)．(3)證明：f(x)＞0.證明：當x>0時，2x>1，∴2x－1>0，∴

?

＋?>0.????

?∵x3>0，∴f(x)>0.由偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，知當x<0時，f(x)>0也成立．故對于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0.易錯辨析忽視對指數(shù)函數(shù)的底數(shù)分類討論致誤例5

若函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值與最小值的差?A．

B．為?，則a的值為(

)?

???C．或2D．或?

??

?

?

??

?故有a2－a＝?，解得a＝?或a＝0(舍去).當0＜a＜1時，y＝ax在[1，2]上的最大值為a，最小值為a2，故有a－a2＝?，解得a＝?或a＝0(舍去).?

?綜上，a＝?或a＝?.?

?答案：D解析：當a＞1時，y＝ax在[1，2]上的最大值為a2，最小值為a，易錯警示易錯原因糾錯心得忽視對底數(shù)a分a＞1或0＜a＜1兩種情況討論，誤認為最大值為a2，最小值為a，由a2－a＝?，解得a＝?，漏掉了另?

?一種情況致誤．由于指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)底數(shù)與1的大小關系判斷，因此涉及含參數(shù)的指數(shù)函數(shù)單調(diào)性問題時要根據(jù)底數(shù)與1的大小關系分類討論．課堂十分鐘1．已知a＝40.1，b＝0.40.5，c＝0.40.8，則a，b，c的大小關系正確的是(

)A．c＞b＞aC．a(chǎn)＞b＞cB．b＞a＞cD．a(chǎn)＞c＞b答案：C解析：因為40.1>1，0.40.8<0.40.5<1，所以a>b>c.??

?2．設f(x)＝

，x∈R，那么f(x)是()A．奇函數(shù)且在(0，＋∞)上是增函數(shù)

B．偶函數(shù)且在(0，＋∞)上是增函數(shù)

C．奇函數(shù)且在(0，＋∞)上是減函數(shù)

D．偶函數(shù)且在(0，＋∞)上是減函數(shù)答案：D解析：因為f(－x)＝

????＝

???＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)．?又當x＞0時，f(x)＝

?

?在(0，＋∞)上是減函數(shù)，3．若函數(shù)f(x)＝ax(a＞0且a≠1)在[-2,1]上的最大值為4，最小值為m

，實數(shù)m的值為(

)A．????B．

或

C．??D．或?

?

??

???

?答案：D解析：函數(shù)f(x)＝ax在?2，1

上：當0<a<1時，f(x)單調(diào)遞減，最大值為f(－2)＝a－2＝4，最小值f(1)＝a＝m，即