高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷及答案

第1頁（共1頁）高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．（4分）若a，b，c成等差數(shù)列，則（）A．2b＝a+c B．2b＝ac C．b2＝a+c D．b2＝ac2．（4分）函數(shù)f(x)=1x在A．﹣2 B．﹣4 C．?12 3．（4分）將一枚均勻硬幣隨機(jī)投擲4次，恰好出現(xiàn)2次正面向上的概率為（）A．14 B．38 C．124．（4分）已知函數(shù)f（x）＝sinx+cosx，f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則（）A．f（x）+f'（x）＝2sinx B．f（x）+f'（x）＝2cosx C．f（x）﹣f'（x）＝﹣2sinx D．f（x）﹣f'（x）＝﹣2cosx5．（4分）在等比數(shù)列{an}中，a1＝4，a5＝1，則a3＝（）A．4 B．±4 C．2 D．±26．（4分）若等差數(shù)列{an}滿足a8＞0，a7+a10＜0，則當(dāng){an}的前n項(xiàng)和最大時(shí)，n＝（）A．7 B．8 C．9 D．107．（4分）設(shè)函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+4x的極小值為﹣8，其導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x）的圖象過點(diǎn)（﹣2，0），如圖所示，則f（x）＝（）A．?23x3?x2+4x B．﹣C．﹣x3+4x D．﹣2x3+x2+4x8．（4分）在等比數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝﹣1．記Tn＝a1a2?an（n＝1，2，?），則數(shù)列{Tn}（）A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng) C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)9．（4分）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2?2λn(n=1，2，?)．若{A．[1，+∞） B．(32，+∞) C．（﹣∞，1]10．（4分）設(shè)P為曲線y＝ex上一點(diǎn)，Q為曲線y＝lnx上一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為（）A．22 B．1 C．2 二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=lnxx，則f′（1）＝12．（5分）已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X012P0.4p0.4則p＝；D（X）＝．13．（5分）若曲線y＝xea﹣x+bx在x＝2處的切線方程為y＝（e﹣1）x+4，則a＝；b＝．14．（5分）已知{an}是公比為q的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn．若S4＝5S2，則q＝．15．（5分）已知正方形ABCD的邊長為1．取正方形ABCD各邊的中點(diǎn)A1，B1，C1，D1，作第2個(gè)正方形A1B1C1D1；然后再取正方形A1B1C1D1各邊的中點(diǎn)A2，B2，C2，D2，作第3個(gè)正方形A2B2C2D2；…，依此方法一直繼續(xù)下去．給出下列四個(gè)結(jié)論：①從正方形ABCD開始，所有這些正方形的周長依次成等差數(shù)列；②從正方形ABCD開始，所有這些正方形的面積依次成等比數(shù)列；③從正方形ABCD開始，所有這些正方形周長之和趨近于8；④從正方形ABCD開始，所有這些正方形面積之和趨近于2．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（13分）已知函數(shù)f（x）＝（x﹣1）ex．（Ⅰ）求f（x）的極值；（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[﹣1，2]上的最大值和最小值．17．（13分）在等差數(shù)列{an}中，a2＝3，a4＝7．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若{bn﹣an}是公比為2的等比數(shù)列，b1＝3，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．18．（14分）某單位有A，B兩家餐廳提供早餐與午餐服務(wù)，甲、乙兩人每個(gè)工作日早餐和午餐都在單位用餐，近100個(gè)工作日選擇餐廳用餐情況統(tǒng)計(jì)如下（單位：天）：選擇餐廳（早餐，午餐）（A，A）（A，B）（B，A）（B，B）甲30204010乙20251540假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙選擇餐廳用餐相互獨(dú)立．（Ⅰ）估計(jì)一天中甲選擇2個(gè)餐廳用餐的概率；（Ⅱ）記X為一天中甲用餐選擇的餐廳的個(gè)數(shù)與乙用餐選擇的餐廳的個(gè)數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；（Ⅲ）判斷甲、乙兩人在早餐選擇A餐廳用餐的條件下，哪位更有可能在午餐選擇B餐廳用餐？說明理由．19．（15分）設(shè)某商品的利潤只由生產(chǎn)成本和銷售收入決定．生產(chǎn)成本C（單位：萬元）與生產(chǎn)量x（單位：百件）間的函數(shù)關(guān)系是C（x）＝10000+20x；銷售收入S（單位：萬元）與生產(chǎn)量x間的函數(shù)關(guān)系是S（x）=?（Ⅰ）把商品的利潤表示為生產(chǎn)量x的函數(shù)；（Ⅱ）為使商品的利潤最大化，應(yīng)如何確定生產(chǎn)量？20．（15分）已知函數(shù)f（x）＝x﹣lnx．（Ⅰ）判斷f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，并加以證明；（Ⅱ）設(shè)a＜0，若f（e﹣x）≥f（xa）對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，求a的最小值．21．（15分）已知{an}是公差不為0的無窮等差數(shù)列．若對(duì)于{an}中任意兩項(xiàng)am，an，在{an}中都存在一項(xiàng)ai，使得ai＝aman，則稱數(shù)列{an}具有性質(zhì)P．（Ⅰ）已知an＝3n，bn＝3n+2（n＝1，2，?），判斷數(shù)列{an}，{bn}是否具有性質(zhì)P；（Ⅱ）若數(shù)列{an}具有性質(zhì)P，證明：{an}的各項(xiàng)均為整數(shù)；（Ⅲ）若a1＝20，求具有性質(zhì)P的數(shù)列{an}的個(gè)數(shù)．

高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．（4分）若a，b，c成等差數(shù)列，則（）A．2b＝a+c B．2b＝ac C．b2＝a+c D．b2＝ac【解答】解：∵a，b，c成等差數(shù)列，∴b﹣a＝c﹣b，整理得2b＝a+c．故選：A．2．（4分）函數(shù)f(x)=1x在A．﹣2 B．﹣4 C．?12 【解答】解：f'（x）=?1由導(dǎo)數(shù)的定義可知函數(shù)f(x)=1x在x＝2處的瞬時(shí)變化率為f'（2）故選：D．3．（4分）將一枚均勻硬幣隨機(jī)投擲4次，恰好出現(xiàn)2次正面向上的概率為（）A．14 B．38 C．12【解答】解：將一枚均勻硬幣隨機(jī)投擲4次，恰好出現(xiàn)2次正面向上的概率為：p=C故選：B．4．（4分）已知函數(shù)f（x）＝sinx+cosx，f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則（）A．f（x）+f'（x）＝2sinx B．f（x）+f'（x）＝2cosx C．f（x）﹣f'（x）＝﹣2sinx D．f（x）﹣f'（x）＝﹣2cosx【解答】解：f（x）＝sinx+cosx，f′（x）＝cosx﹣sinx，f（x）+f′（x）＝2cosx，A錯(cuò)誤，B正確；f（x）﹣f′（x）＝2sinx，C、D錯(cuò)誤．故選：B．5．（4分）在等比數(shù)列{an}中，a1＝4，a5＝1，則a3＝（）A．4 B．±4 C．2 D．±2【解答】解：在等比數(shù)列{an}中，a1＝4，a5＝1，∴a32=a1a5=4，且a則a3＝2．故選：C．6．（4分）若等差數(shù)列{an}滿足a8＞0，a7+a10＜0，則當(dāng){an}的前n項(xiàng)和最大時(shí)，n＝（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵等差數(shù)列{an}滿足a7+a10＜0，∴a8+a9＝a7+a10＜0，∵a8＞0，∴a9＜0，∴a9﹣a8＝d＜0，∴等差數(shù)列{an}的前8項(xiàng)為正數(shù)，從第9項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，∴當(dāng){an}的前n項(xiàng)和最大時(shí)n的值為8．故選：B．7．（4分）設(shè)函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+4x的極小值為﹣8，其導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x）的圖象過點(diǎn)（﹣2，0），如圖所示，則f（x）＝（）A．?23x3?x2+4x B．﹣C．﹣x3+4x D．﹣2x3+x2+4x【解答】解：由題設(shè)，f'（x）＝3ax2+2bx+4，則f'（﹣2）＝12a﹣4b+4＝0，故b＝3a+1，所以f'（x）＝3ax2+2（3a+1）x+4＝（3ax+2）（x+2），令f'（x）＝0，可得x＝﹣2或x=?2由圖知a＜0且x＝﹣2處有極小值，所以﹣8a+4b﹣8＝﹣8，即a＝﹣1，b＝﹣2，經(jīng)驗(yàn)證滿足題設(shè)，故f（x）＝﹣x3﹣2x2+4x．故選：B．8．（4分）在等比數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝﹣1．記Tn＝a1a2?an（n＝1，2，?），則數(shù)列{Tn}（）A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng) C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，若a1＝8，a4＝﹣1，則q3=a4a1則an＝a1×qn﹣1＝8×（?12）n﹣1＝（﹣1）n﹣1×24﹣故Tn＝a1a2?an=(?1)分析可得：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn為正，當(dāng)n＝4時(shí)，2n(7?n)2最大，此時(shí)T當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn為負(fù)，當(dāng)n＝3時(shí)，2n(7?n)2最大，此時(shí)T故選：A．9．（4分）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2?2λn(n=1，2，?)．若{A．[1，+∞） B．(32，+∞) C．（﹣∞，1]【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an則an+1﹣an＝（n+1）2﹣2λ（n+1）﹣n2+2λn＝2n+1﹣2λ＞0，變形可得：λ＜2n+1又由n＝1、2、3……，必有λ＜32，即λ的取值范圍為（﹣∞，故選：D．10．（4分）設(shè)P為曲線y＝ex上一點(diǎn)，Q為曲線y＝lnx上一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為（）A．22 B．1 C．2 【解答】解：曲線y＝ex與曲線y＝lnx互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱，故可先求點(diǎn)P到直線y＝x的最近距離d，設(shè)曲線y＝ex上斜率為1的切線為y＝x+b，∵y′＝ex，由ex＝1，得x＝0，故切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），即b＝1，∴d=1∴|PQ|的最小值為2d＝2×2故選：C．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=lnxx，則f′（1）＝【解答】解：f′（x）=(lnx)′×x?lnx×x′x2=1?lnx故答案為：112．（5分）已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X012P0.4p0.4則p＝0.2；D（X）＝0.8．【解答】解：由題意可得：0.4+p+0.4＝1，可得p＝0.2，所以E（X）＝0×0.4+1×0.2+2×0.4＝1，所以D（X）＝0.4×（0﹣1）2+0.2×（1﹣1）2+0.4×（2﹣1）2＝0.8．故答案為：0.2；0.8．13．（5分）若曲線y＝xea﹣x+bx在x＝2處的切線方程為y＝（e﹣1）x+4，則a＝2；b＝e．【解答】解：由y＝xea﹣x+bx，得y′＝ea﹣x﹣xea﹣x+b，∵曲線y＝xea﹣x+bx在x＝2處的切線方程為y＝（e﹣1）x+4，∴2ea?2+2b=2(e?1)+4ea?2?2e故答案為：2；e．14．（5分）已知{an}是公比為q的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn．若S4＝5S2，則q＝±2或﹣1．【解答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列{an}中，若S4＝5S2，其公比q≠1，則有a1(1?q4)1?q=故答案為：±2或﹣1．15．（5分）已知正方形ABCD的邊長為1．取正方形ABCD各邊的中點(diǎn)A1，B1，C1，D1，作第2個(gè)正方形A1B1C1D1；然后再取正方形A1B1C1D1各邊的中點(diǎn)A2，B2，C2，D2，作第3個(gè)正方形A2B2C2D2；…，依此方法一直繼續(xù)下去．給出下列四個(gè)結(jié)論：①從正方形ABCD開始，所有這些正方形的周長依次成等差數(shù)列；②從正方形ABCD開始，所有這些正方形的面積依次成等比數(shù)列；③從正方形ABCD開始，所有這些正方形周長之和趨近于8；④從正方形ABCD開始，所有這些正方形面積之和趨近于2．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是②④．【解答】解：由題意，第1個(gè)正方形邊長為1，則周長為4，面積為1；第2個(gè)正方形邊長為22，則周長為22，面積為第3個(gè)正方形邊長為12，則周長為2，面積為1……第n個(gè)正方形邊長為(22)n?1，則周長為周長、面積均依次成等比數(shù)列，①錯(cuò)誤，②正確；所有正方形周長之和為4×[1?(22)n所有正方形面積之和為1?(12)故答案為：②④．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（13分）已知函數(shù)f（x）＝（x﹣1）ex．（Ⅰ）求f（x）的極值；（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[﹣1，2]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝ex+（x﹣1）ex＝xex，當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）的極小值為f（0）＝﹣1，無極大值．（Ⅱ）由（1）知f（x）在[﹣1，0）上單調(diào)遞減，在（0，2]上單調(diào)遞增，f（0）＝﹣1，f（﹣1）=?2e，f（2）＝e所以最大值為e2，最小值為﹣1．17．（13分）在等差數(shù)列{an}中，a2＝3，a4＝7．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若{bn﹣an}是公比為2的等比數(shù)列，b1＝3，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．【解答】解：（Ⅰ）等差數(shù)列{an}中，a2＝3，a4＝7，設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，所以a2=a故an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（Ⅱ）由于{bn﹣an}是公比為2的等比數(shù)列，b1＝3，故bn整理得bn所以Sn18．（14分）某單位有A，B兩家餐廳提供早餐與午餐服務(wù)，甲、乙兩人每個(gè)工作日早餐和午餐都在單位用餐，近100個(gè)工作日選擇餐廳用餐情況統(tǒng)計(jì)如下（單位：天）：選擇餐廳（早餐，午餐）（A，A）（A，B）（B，A）（B，B）甲30204010乙20251540假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙選擇餐廳用餐相互獨(dú)立．（Ⅰ）估計(jì)一天中甲選擇2個(gè)餐廳用餐的概率；（Ⅱ）記X為一天中甲用餐選擇的餐廳的個(gè)數(shù)與乙用餐選擇的餐廳的個(gè)數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；（Ⅲ）判斷甲、乙兩人在早餐選擇A餐廳用餐的條件下，哪位更有可能在午餐選擇B餐廳用餐？說明理由．【解答】解：（Ⅰ）由統(tǒng)計(jì)圖表，一天中甲選擇2個(gè)餐廳用餐的天數(shù)為60，概率為P=60（Ⅱ）易知X的可能值是2，3，4，P(X=2)=40P(X=3)=40P(X=4)=60X的分布列為X234P0.240.520.24E（X）＝2×0.24+3×0.52+4×0.24＝3．（Ⅲ）甲在早餐選擇A餐廳用餐的條件下午餐選擇B餐廳用餐的概率為P1乙在早餐選擇A餐廳用餐的條件下午餐選擇B餐廳用餐的概率為P2所以乙更有可能在午餐選擇B餐廳用餐．19．（15分）設(shè)某商品的利潤只由生產(chǎn)成本和銷售收入決定．生產(chǎn)成本C（單位：萬元）與生產(chǎn)量x（單位：百件）間的函數(shù)關(guān)系是C（x）＝10000+20x；銷售收入S（單位：萬元）與生產(chǎn)量x間的函數(shù)關(guān)系是S（x）=?（Ⅰ）把商品的利潤表示為生產(chǎn)量x的函數(shù)；（Ⅱ）為使商品的利潤最大化，應(yīng)如何確定生產(chǎn)量？【解答】解：（I）由題意，利潤W(x)=S(x)?C(x)=?（II）由（1），當(dāng)0＜x＜120時(shí)，W(x)=?1所以W′(x)=?110x2+6x+270=?110(x?90)(x+30)，令故x∈（0，90），W′（x）＞0，即W（x）遞增；x∈（90，120），W′（x）＜0，即W（x）遞減；所以W（x）的極大值也是最大值為W（90）＝14300（萬元）；當(dāng)x≥120時(shí)，W（x）遞減，此時(shí)最大值為W（120）＝13000（萬元）．綜上，使商品的利潤最大，產(chǎn)量為90百件．20．（15分）已知函數(shù)f（x）＝x﹣lnx．（Ⅰ）判斷f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，并加以證明；（Ⅱ）設(shè)a＜0，若f（e﹣x）≥f（xa）對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，求a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，證明如下：因?yàn)閒′（x）＝1?1x=x?1所以f′（x）＜0，所以f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減．（Ⅱ）因?yàn)閤∈（1，+∞），所以0＜e﹣x＜1又因?yàn)楫?dāng)a＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，0＜xa＜1，由（Ⅰ）知f（x）＝x﹣lnx在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，所以f（e﹣x）≥f（xa）對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，等價(jià)于e﹣x≤xa對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，等價(jià)于lne﹣x≤lnxa對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，即a≥?xlnx對(duì)x令g（x）=?xlnx，x∈（1，+∞），則g′（x）令g′（x）＝0，得x＝e，所以當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，所以g（x）max＝g（e）=?elne所以﹣e≤a＜0，所以a的最小值為﹣e．21．（15分）已知{an}是公差不為0的無窮等差數(shù)列．若對(duì)于{an}中任意兩項(xiàng)am，an，在{an}中都存在一項(xiàng)ai，使得ai＝aman，則稱數(shù)列{an}具有性質(zhì)P．（Ⅰ）已知an＝3n，bn＝