北京市西城14中2024學年高二數(shù)學第一學期期末質量檢測模擬試題含解析

北京市西城14中2024學年高二數(shù)學第一學期期末質量檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列的前項和為，，，，則的值為（）A. B.C. D.2．函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.3．《九章算術》是我國古代的數(shù)學巨著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（大夫爵位最高，爵位依次從高變低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，問這5個人各出多少錢？”在這個問題中，若公士出28錢，則不更出的錢數(shù)為（）A.14 B.20C.18 D.164．若等差數(shù)列的前項和為，首項，，，則滿足成立的最大正整數(shù)是（）A. B.C. D.5．已知三棱錐O-ABC，點M，N分別為AB，OC的中點，且，用表示，則等于（）A. B.C. D.6．已知四面體，所有棱長均為2，點E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則（）A.1 B.2C.-1 D.-27．橢圓的離心率為（）A B.C. D.8．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項和為，若，，成等差數(shù)列，則n=（）A.6 B.8C.16 D.229．已知，是圓上的兩點，是直線上一點，若存在點，，，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.10．函數(shù)的最大值為（）A.32 B.27C.16 D.4011．空間四點共面，但任意三點不共線，若為該平面外一點且，則實數(shù)的值為（）A. B.C. D.12．在等差數(shù)列{}中，，，則的值為（）A.18 B.20C.22 D.24二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數(shù)列中，，，則數(shù)列的前6項和為___________.14．如圖：雙曲線的左右焦點分別為，，過原點O的直線與雙曲線C相交于P，Q兩點，其中P在右支上，且，則的面積為___________.15．拋物線的焦點坐標是______.16．若平面內兩定點A，B間的距離為2，動點P滿足，則的最小值為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓：和圓外一點，過點作圓的切線，切線長為.（1）求圓的標準方程；（2）若圓：，求證：圓和圓相交，并求出兩圓的公共弦長.18．（12分）在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知，且.（1）求的面積；（2）若a、b、c成等差數(shù)列，求b的值.19．（12分）近年來某村制作的手工藝品在國內外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴把質量關，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進行質量把關，質量把關程序如下：（?。┤粢患止に嚻?位行家都認為質量過關，則該手工藝品質量為A級；（ⅱ）若3位行家中僅有1位行家認為質量不過關，再由另外2位行家進行第二次質量把關．若第二次質量把關這2位行家都認為質量過關，則該手工藝品質量為B級；若第二次質量把關這2位行家中有1位或2位認為質量不過關，則該手工藝品質量為C級；（ⅲ）若3位行家中有2位或3位行家認為質量不過關，則該手工藝品質量為D級．已知每一次質量把關中一件手工藝品被1位行家認為質量不過關的概率為，且各手工藝品質量是否過關相互獨立（1）求一件手工藝品質量為B級的概率；（2）求81件手工藝品中，質量為C級的手工藝品件數(shù)的方差；（3）求10件手工藝品中，質量為D級的手工藝品最有可能是多少件？20．（12分）在二項式的展開式中；（1）若，求常數(shù)項；（2）若第4項的系數(shù)與第7項的系數(shù)比為，求：①二項展開式中的各項的二項式系數(shù)之和；②二項展開式中各項的系數(shù)之和21．（12分）已知p：關于x的方程至多有一個實數(shù)解，.（1）若命題p為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調性；（2）當時，記在區(qū)間的最大值為M，最小值為N，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】由可求得，利用可構造方程求得.【題目詳解】，，，，，解得：.故選：A.2、A【解題分析】先求定義域，再由導數(shù)小于零即可求得函數(shù)的單調遞減區(qū)間.【題目詳解】由得，所以函數(shù)的定義域為，又，因為，所以由得，解得，所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為.故選：A.3、D【解題分析】根據(jù)題意，建立等差數(shù)列模型，結合等差數(shù)列公式求解即可.【題目詳解】解：根據(jù)題意，設每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，公差為，前項和為，則由題可得，解得，所以不更出的錢數(shù)為.故選：D.4、B【解題分析】由等差數(shù)列的，及得數(shù)列是遞減的數(shù)列，因此可確定，然后利用等差數(shù)列的性質求前項和，確定和的正負【題目詳解】∵，∴和異號，又數(shù)列是等差數(shù)列，首項，∴是遞減的數(shù)列，，由，所以，，∴滿足的最大自然數(shù)為4040故選：B【題目點撥】關鍵點睛：本題求滿足的最大正整數(shù)的值，關鍵就是求出，時成立的的值，解題時應充分利用等差數(shù)列下標和的性質求解,屬于中檔題.5、D【解題分析】根據(jù)空間向量的加法、減法和數(shù)乘運算可得結果.【題目詳解】.故選：D6、D【解題分析】在四面體中，取定一組基底向量，表示出，，再借助空間向量數(shù)量積計算作答.【題目詳解】四面體所有棱長均為2，則向量不共面，兩兩夾角都為，則，因點E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則，，，所以.故選：D7、D【解題分析】根據(jù)橢圓方程先寫出標準方程，然后根據(jù)標準方程寫出便可得到離心率.【題目詳解】解：由題意得：，，故選：D8、D【解題分析】利用累加法求得列的通項公式，再利用裂項相消法求得數(shù)列的前n項和為，再根據(jù)，，成等差數(shù)列，得，從而可得出答案.【題目詳解】解：因為，且，所以當時，，因為也滿足，所以.因為，所以.若，，成等差數(shù)列，則，即，得.故選：D.9、B【解題分析】確定在以為直徑的圓上，，根據(jù)均值不等式得到圓上的點到的最大距離為，得到，解得答案.【題目詳解】，故在以為直徑的圓上，設中點為，則，圓上的點到的最大距離為，，當時等號成立.直線到原點的距離為，故.故選：B.10、A【解題分析】利用導數(shù)即可求解.【題目詳解】因為，所以當時，；當時，.所以函數(shù)在上單調遞增；在上單調遞增,，因此，的最大值為.故選：A11、A【解題分析】由空間向量共面定理構造方程求得結果.【題目詳解】空間四點共面，但任意三點不共線，，解得：.故選：A.12、B【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式相關計算求出公差，進而求出首項.【題目詳解】設公差為，由題意得：，解得：，所以.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、129【解題分析】依次寫出前6項，即可求得數(shù)列的前6項和.【題目詳解】數(shù)列中，，則，，，則數(shù)列的前6項和為故答案為：12914、24【解題分析】利用雙曲線定義結合已知求出，，再利用雙曲線的對稱性計算作答.【題目詳解】依題意，，，又，解得，，則有，即，連接，如圖，因過原點O的直線與雙曲線C相交于P，Q兩點，由雙曲線的對稱性知，P，Q關于原點O對稱，因此，四邊形是平行四邊形，，所以的面積為24.故答案為：2415、【解題分析】將拋物線的方程化為標準形式，即可求解出焦點坐標.【題目詳解】因為拋物線方程，焦點坐標為，且，所以焦點坐標為，故答案為：.16、【解題分析】建立直角坐標系，設出P的坐標，求出軌跡方程，然后推出的表達式，轉化求解最小值即可.【題目詳解】以經(jīng)過A，B的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系.則設，由，則，所以兩邊平方并整理得，所以P點的軌跡是以(3，0)為圓心，為半徑的圓，所以，，則有，則的最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析，公共弦長為【解題分析】（1）根據(jù)切線長公式計算即可得到，然后代入可得圓的方程.（2）聯(lián)立兩圓的方程作差可得直線的方程為，然后利用圓的弦長公式計算即可.【小問1詳解】圓的標準方程為，所以圓心為，半徑.由勾股定理可得，解得.所以圓的標準方程為.【小問2詳解】由題意得圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，因為，，所以圓和圓相交.設兩圓相交于，兩點，則兩圓的方程相減得直線的方程為，圓心到直線的距離.所以，所以兩圓的公共弦長為.18、（1）；（2）.【解題分析】（1）先利用數(shù)量積和余弦值得到，再利用面積公式計算即得結果；（2）根據(jù)等差數(shù)列得到，再結合余弦定理進行運算得到關于b的關系，求值即可.【題目詳解】（1）由得，所以，所以，所以，所以；（2）因為a、b、c成等差數(shù)列，所以，由余弦定理得，即，解得.19、（1）（2）（3）2件【解題分析】（1）根據(jù)相互獨立事件的概率公式計算可得；（2）首先求出一件手工藝品質量為C級的概率，設81件手工藝品中質量為C級的手工藝品是X件，則，再根據(jù)二項分布的方差公式計算可得；（3）首先求出一件手工藝品質量為D級的概率，設10件手工藝品中質量為D級的手工藝品是ξ件，則，根據(jù)二項分布的概率公式求出的最大值，即可得解；【小問1詳解】解：一件手工藝品質量為B級的概率為【小問2詳解】解：一件手工藝品質量為C級的概率為，設81件手工藝品中質量為C級的手工藝品是X件，則，所以【小問3詳解】解：一件手工藝品質量為D級的概率為，設10件手工藝品中質量為D級的手工藝品是ξ件，則，則，由解得，所以當時，，即，由解得，所以當時，，所以當時，最大，即10件手工藝品中質量為D級的最有可能是2件20、（1）60（2）①1024；②1【解題分析】（1）根據(jù)二項式定理求解（2）根據(jù)二項式定理與條件求解，二項式系數(shù)之和為，系數(shù)和可賦值【小問1詳解】若，則，（，…，9）令∴∴常數(shù)項為.【小問2詳解】，（，…，），解得①②令，得系數(shù)和為21、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)命題p為真命題，可得，解之即可得解；（2）若p是q的充分不必要條件，則，列出不等式組，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：命題p：關于x的方程至多有一個實數(shù)解，∴，解得，∴實數(shù)a的取值范圍是；【小問2詳解】解：命題，∵p是q的充分不必要條件，∴，∴，且兩式等號不能同時取得，解得，∴實數(shù)m的取值范圍是.22、（1）答案見解析；（2）.【解題分析】（1）求得，對參數(shù)進行分類討論，根據(jù)導函數(shù)函數(shù)值的正負即可判斷的單調性；（2）根據(jù)（1）中所求，求得，以及，再求其取值范圍即可