2024屆東北師大附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2024屆東北師大附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在長方體中，，E，F(xiàn)分別為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．設(shè)平面向量，，其中m，，記“”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為（）A. B.C. D.3．設(shè)拋物線上一點到軸的距離是4，則點到該拋物線焦點的距離是（）A.6 B.8C.9 D.104．直線：和圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切或相交C.相交 D.相切5．若，則圖像上的點的切線的傾斜角滿足（）A.一定為銳角 B.一定為鈍角C.可能為 D.可能為直角6．設(shè)雙曲線的實軸長為8，一條漸近線為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.7．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點，若，則（）A B.C. D.8．已知是橢圓的左焦點，為橢圓上任意一點，點坐標(biāo)為，則的最大值為（）A. B.13C.3 D.59．在等比數(shù)列{}中，，，則=（）A.9 B.12C.±9 D.±1210．如圖，空間四邊形中，，，，且，，則（）A. B.C. D.11．已知點，動點P滿足，則點P的軌跡為（）A橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.圓12．設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在平面內(nèi)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復(fù)數(shù)z=為純虛數(shù)（），則|z|=_____.14．某中學(xué)高一年級有420人，高二年級有460人，高三年級有500人，用分層抽樣的方法抽取部分樣本，若從高一年級抽取21人，則從高三年級抽取的人數(shù)是__________15．已知直線與，若，則實數(shù)a的值為______16．已知橢圓方程為，左、右焦點分別為、，P為橢圓上的動點，若的最大值為，則橢圓的離心率為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）有一種魚的身體吸收汞，當(dāng)這種魚身體中的汞含量超過其體重的1.00ppm（即百萬分之一）時，人食用它，就會對人體產(chǎn)生危害．現(xiàn)從一批該魚中隨機選出30條魚，檢驗魚體中的汞含量與其體重的比值（單位：ppm），數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：0.070.240.390.540.610.660.730.820.820.820.870.910.950.980.981.021.021.081.141.201.201.261.291.311.371.401.441.581.621.68（1）求上述數(shù)據(jù)的眾數(shù)，并估計這批魚該項數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)；（2）有A，B兩個水池，兩水池之間有8個完全相同的小孔聯(lián)通，所有的小孔均在水下，且可以同時通過2條魚①將其中汞的含量最低的2條魚分別放入A水池和B水池中，若這2條魚的游動相互獨立，均有的概率進入另一水池且不再游回，求這兩條魚最終在同一水池的概率；②將其中汞的含量最低的2條魚都先放入A水池中，若這2條魚均會獨立地且等可能地從其中任意一個小孔由A水池進入B水池且不再游回A水池，求這兩條魚由不同小孔進入B水池的概率18．（12分）已知過拋物線的焦點F且斜率為1的直線l交C于A，B兩點，且（1）求拋物線C的方程；（2）求以C的準(zhǔn)線與x軸的交點D為圓心且與直線l相切的圓的方程19．（12分）圓錐曲線的方程是.（1）若表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍；（2）若表示焦點在軸上且焦距為的雙曲線，求的值.20．（12分）已知橢圓的上頂點在直線上，點在橢圓上.（1）求橢圓C的方程；（2）點P，Q在橢圓C上，且，，點G為垂足，是否存在定圓恒經(jīng)過A，G兩點，若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由.21．（12分）如圖，直三棱柱中，，，是棱的中點，（1）求異面直線所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值22．（10分）已知關(guān)于x的不等式，.（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式的解集為R，求k的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】利用平行線，將異面直線的夾角問題轉(zhuǎn)化為共面直線的夾角問題，再解三角形.【題目詳解】取BC中點H，BH中點I，連接AI、FI、，因為E為中點，在長方體中，，所以四邊形是平行四邊形，所以所以，又因為F為的中點，所以，所以，則即為異面直線與所成角(或其補角).設(shè)AB=BC=4，則，則,，根據(jù)勾股定理：，，，所以是等腰三角形，所以.故B，C，D錯誤.故選：A.2、D【解題分析】由向量的數(shù)量積公式結(jié)合古典概型概率公式得出事件A發(fā)生的概率.【題目詳解】由題意可知，即，因為所有的基本事件共有種，其中滿足的為，，只有1種，所以事件A發(fā)生的概率為.故選：D3、A【解題分析】計算拋物線的準(zhǔn)線，根據(jù)距離結(jié)合拋物線的定義得到答案.【題目詳解】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，到軸的距離是4，故到準(zhǔn)線的距離是，故點到該拋物線焦點的距離是.故選：A.4、C【解題分析】直線l：y﹣1＝k（x﹣1）恒過點（1，1），且點（1，1）在圓上，直線的斜率存在，故可知直線l：y﹣1＝k（x﹣1）和圓C：x2+y2﹣2y＝0的關(guān)系【題目詳解】圓C：x2+y2﹣2y＝0可化為x2+（y﹣1）2＝1∴圓心為（0，1），半徑為1∵直線l：y﹣1＝k（x﹣1）恒過點（1，1），且點（1，1）在圓上且直線的斜率存在∴直線l：y﹣1＝k（x﹣1）和圓C：x2+y2﹣2y＝0的關(guān)系是相交，故選C【題目點撥】本題考查的重點是直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是確定直線恒過定點，此題易誤選B，忽視直線的斜率存在5、C【解題分析】求出導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而得出結(jié)論【題目詳解】，時，，遞減，時，，遞增，而，所以切線斜率可能為正數(shù)，也可能為負(fù)數(shù)，還可以為0，則傾斜角可為銳角，也可為鈍角，還可以為，當(dāng)時，斜率不存在，而存在，則不成立.故選：C6、D【解題分析】雙曲線的實軸長為，漸近線方程為，代入解析式即可得到結(jié)果.【題目詳解】雙曲線的實軸長為8，即，，漸近線方程為，進而得到雙曲線方程為.故選：D.7、C【解題分析】由為的中點，根據(jù)向量的運算法則，可得，即可求解.【題目詳解】由底面是正方形，E為的中點，且，根據(jù)向量的運算法則，可得.故選：C.8、B【解題分析】利用橢圓的定義求解.【題目詳解】如圖所示：，故選：B9、D【解題分析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的性質(zhì)求出，再求出【題目詳解】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，，則，變形可得，則，故選：10、C【解題分析】根據(jù)空間向量的線性運算即可求解.【題目詳解】因為，又因為，，所以.故選：C11、A【解題分析】根據(jù)橢圓的定義即可求解.【題目詳解】解：，故，又，根據(jù)橢圓的定義可知：P的軌跡為橢圓.故選：A.12、A【解題分析】計算出復(fù)數(shù)即可得出結(jié)果.【題目詳解】由于，對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，在第一象限，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】利用復(fù)數(shù)z=為純虛數(shù)求出a，即可求出|z|.【題目詳解】z=.由純虛數(shù)的定義知，，解得.所以.故|z|=.故答案為：.14、25【解題分析】由條件先求出抽樣比，從而可求出從高三年級抽取的人數(shù).【題目詳解】由題意抽樣比例：則從高三年級抽取的人數(shù)是人故答案為：2515、【解題分析】由可得，從而可求出實數(shù)a的值【題目詳解】因為直線與，且，所以，解得，故答案：16、【解題分析】利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理可求得，再利用公式可求得該橢圓的離心率的值.【題目詳解】由橢圓的定義可得，由余弦定理可得，因為的最大值為，則，可得，因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）眾數(shù)為0.82，8％分位數(shù)約為1.34（2）①；②【解題分析】（1）根據(jù)題中表格數(shù)據(jù)即可求得答案；（2）①兩條魚有可能均在A水池也可能都在B水池，故可根據(jù)互斥事件的概率結(jié)合相互獨立事件的概率計算求得答案；②先求出這兩條魚由同一個小孔進入B水池的概率，然后根據(jù)對立事件的概率計算方法，求得答案.【小問1詳解】由題意知，數(shù)據(jù)的眾數(shù)為0.82，估計這批魚該項數(shù)據(jù)的80％分位數(shù)約為【小問2詳解】①記“兩魚最終均在A水池”為事件A，則，記“兩魚最終均在B水池”為事件B，則，∵事件A與事件B互斥，∴兩條魚最終在同一水池的概率為②記“兩魚同時從第一個小孔通過”為事件，“兩魚同時從第二個小孔通過”為事件，…依次類推，而兩魚的游動獨立，∴，記“兩條魚由不同小孔進入B水池”為事件C，則C與對立，又由事件，事件，…，事件互斥，∴，即18、（1）；（2）【解題分析】（1）首先表示出直線l的方程，再聯(lián)立直線與拋物線方程，消去，列出韋達定理，再根據(jù)焦點弦公式計算可得；（2）由（1）可得，再利用點到直線的距離求出半徑，即可求出圓的方程；【題目詳解】解析：（1）由已知得點，∴直線l的方程為，聯(lián)立去，消去整理得設(shè)，，則，，∴拋物線C的方程為（2）由（1）可得，直線l的方程為，∴圓D的半徑，∴圓D的方程為【題目點撥】本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.19、（1）且（2）【解題分析】（1）由條件可得，解出即可；（2）由條件可得，解出即可.【小問1詳解】若表示焦點在軸上橢圓，則，解得且【小問2詳解】若表示焦點在軸上且焦距為的雙曲線，則，解得20、（1）；（2）存在，定圓.【解題分析】（1）由題可得，，即求；（2）由題可設(shè)直線的方程，利用韋達定理及條件可得直線恒過定點，則以為直徑的圓適合題意，即得.【小問1詳解】由題設(shè)知，橢圓上頂點為，且在直線上∴，即又點在橢圓上，∴解得，∴橢圓C的方程為；【小問2詳解】設(shè)，，當(dāng)直線斜率存在，設(shè)直線為：聯(lián)立方程，化簡得∴，，∵，∴又∵，∴將，代入，化簡得，即則或，①當(dāng)時，直線恒過定點與點重合，不符題意.②當(dāng)時，直線恒過定點，記為點，∵，∴以為直徑，其中點為圓心的圓恒經(jīng)過兩點，則圓方程為：；當(dāng)直線斜率不存在，設(shè)方程為，，，且，，∴，解得或（舍去），，取，以為直徑作圓，圓方程為：恒經(jīng)過兩點，綜上所述，存在定圓恒經(jīng)過兩點.【題目點撥】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是證明直線恒過定點，結(jié)合條件可得以為直徑的圓，適合題意即得.21、（1）（2）【解題分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)各點坐標(biāo),求出,利用向量的夾角公式求得答案;(2)求出平面