2024學年廣東省湛江市第一中學數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試試題含解析

2024學年廣東省湛江市第一中學數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，若直線與直線平行，則的值為（）A. B.C.或 D.2．內角、、的對邊分別為、、，若，，，則（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)，若，，則實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.4．雙曲線的焦點坐標為（）A. B.C. D.5．數(shù)列滿足，且，則的值為（）A.2 B.1C. D.-16．在中，若，則（）A.150° B.120°C.60° D.30°7．雙曲線的兩個焦點為，，雙曲線上一點到的距離為8，則點到的距離為（）A.2或12 B.2或18C.18 D.28．已知命題，，若是一個充分不必要條件，則的取值范圍是（）A. B.C. D.9．圓與圓的位置關系是()A.內切 B.相交C.外切 D.相離10．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則A. B.C. D.11．已知命題p：，，則（）A.， B.，C.， D.，12．中國古代有一道數(shù)學題：“今有七人差等均錢，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，問戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七個人分錢，所分得的錢數(shù)構成等差數(shù)列，甲、乙兩人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，則戊、己兩人各分得多少文錢？則下列說法正確的是（）A.戊分得34文，己分得31文 B.戊分得31文，己分得34文C.戊分得28文，己分得25文 D.戊分得25文，己分得28文二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，把正方形紙片沿對角線折成直二面角，則折紙后異面直線，所成的角為___________.14．如圖，已知底面為正方形且各側棱均相等的四棱錐可繞著任意旋轉，平面，分別是的中點，，，點在平面上的射影為點，則當最大時，二面角的大小是________15．已知圓錐的高為，體積為，則以該圓錐的母線為半徑的球的表面積為______________.16．已知數(shù)列的前項和為，，則___________，___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線與圓.（1）當直線l恰好平分圓C的周長時，求m的值；（2）當直線l被圓C截得的弦長為時，求m的值.18．（12分）已知圓C經(jīng)過點，，且它的圓心C在直線上.（1）求圓C的方程；（2）過點作圓C的兩條切線，切點分別為M，N，求三角形PMN的面積.19．（12分）已知橢圓C：（）的離心率為，并且經(jīng)過點，（1）求橢圓C的方程；（2）設點關于坐標原點的對稱點為，點為橢圓C上任意一點，直線的斜率分別為，，求證：為定值20．（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓過點，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）直線的斜率為，直線l與橢圓交于兩點，求的面積的最大值.21．（12分）已知為坐標原點，圓的圓心在軸上，點、均在圓上.（1）求圓的標準方程；（2）若直線與橢圓交于兩個不同的點、，點在圓上，求面積的最大值.22．（10分）如圖,是平行四邊形，已知，,平面平面.（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成二面角的平面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】根據(jù)直線的一般式判斷平行的條件進行計算.【題目詳解】時，容易驗證兩直線不平行，當時，根據(jù)兩直線平行的條件可知：，解得或.故選：C.2、C【解題分析】利用正弦定理可求得邊的長.【題目詳解】由正弦定理得.故選：C.3、A【解題分析】函數(shù)，若，，可得，解得或，則實數(shù)的取值范圍是，故選A.4、C【解題分析】把雙曲線方程化為標準形式，直接寫出焦點坐標.【題目詳解】，焦點在軸上，，故焦點坐標為.故選：C.5、D【解題分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關系式，求得數(shù)列的周期性，結合周期性得到，即可求解.【題目詳解】解：由題意，數(shù)列滿足，且，可得，可得數(shù)列是以三項為周期的周期數(shù)列，所以.故選：D.6、C【解題分析】根據(jù)正弦定理將化為邊之間的關系，再結合余弦定理可得答案.【題目詳解】若,則根據(jù)正弦定理得：，即,而，故，故選：C.7、C【解題分析】利用雙曲線的定義求.【題目詳解】解：由雙曲線定義可知：解得或（舍）∴點到的距離為18，故選：C.8、A【解題分析】先化簡命題p，q，再根據(jù)是的一個充分不必要條件，由q求解.【題目詳解】因為命題，或，又是的一個充分不必要條件，所以，解得，所以的取值范圍是，故選：A9、B【解題分析】判斷圓心距與兩圓半徑之和、之差關系即可判斷兩圓位置關系.【題目詳解】由得圓心坐標為，半徑，由得圓心坐標為，半徑，∴，，∴，即兩圓相交.故選：B.10、B【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質，結合已知條件，求得，進而求得的值.【題目詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，故，所以，故.故選B.【題目點撥】本小題主要考查等比數(shù)列的性質，考查對數(shù)運算，屬于基礎題.11、C【解題分析】由全稱命題的否定：將任意改存在并否定結論，即可寫出原命題p的否定.【題目詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，∴是“，”.故選：C.12、C【解題分析】設甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為，，，，，，，再根據(jù)題意列方程組可解得結果.【題目詳解】依題意，設甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為，，，，，，，則，解得，所以戊分得（文），己分得（文），故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##30°【解題分析】過點E作CE∥AB，且使得CE=AB，則四邊形ABEC是平行四邊形，進而（或其補角）是所求角，算出答案即可.【題目詳解】過點E作CE∥AB，且使得CE=AB，則四邊形ABEC是平行四邊形，設所求角為，于是.設原正方形ABCD邊長為2，取AC的中點O，連接DO,BO，則且，而平面平面，且交于AC，所以平面ABEC，則.易得，，，而則于是，,.在中，，取DE的中點F，則，所以，即，于是.故答案為：.14、##【解題分析】先計算得到二面角的大小為60°，設二面角C-AB-O的大小為，則，計算得到答案.【題目詳解】解：由題可得，，因為分別是的中點，所以，，又，所以平面因為，所以,所以二面角為，設二面角的大小為，即，則，在中，利用余弦定理得到：，故當時，取得最大值.故答案為：15、【解題分析】利用圓錐體積公式可求得圓錐底面半徑，利用勾股定理可得母線長；根據(jù)球的表面積公式可求得結果.【題目詳解】設圓錐的底面半徑為，母線長為，圓錐體積，，，以為半徑的球的表面積.故答案為：.16、①.②.【解題分析】第一空：由，代入已知條件，即可解得結果；第二空：由與關系可推導出之間的關系，再由遞推公式即可求出通項公式.【題目詳解】，可得由，可知時，故時即可化為又故數(shù)列是首項為公比為2的等比數(shù)列，故數(shù)列的通項公式故答案為：①；②三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）1.【解題分析】(1)將圓C的圓心坐標代入直線l的方程計算作答.(2)由給定條件求出圓心C到直線l的距離，再利用點到直線距離公式計算作答.【小問1詳解】圓的圓心，半徑，因直線l平分圓C的周長，則直線l過圓心，即，解得，所以m的值是.【小問2詳解】由(1)知，圓C的圓心，半徑，因直線l被圓C截得的弦長為，則有圓心C到直線l的距離，因此，，解得，所以m的值是1.18、（1）；（2）.【解題分析】（1）由題設知，設圓心，應用兩點距離公式列方程求參數(shù)a，進而確定圓心坐標、半徑，寫出圓C的方程；（2）利用兩點距離公式、切線的性質可得、，再應用三角形面積公式求三角形PMN的面積.【小問1詳解】由已知，可設圓心，且，從而有，解得.所以圓心，半徑.所以，圓C的方程為.【小問2詳解】連接PC，CM，CN，MN，由（1）知：圓心，半徑.所以.又PM，PN是圓C的切線，所以，，則，，所以，所以.19、（1）（2）證明見解析【解題分析】（1）根據(jù)題意可列出關于的三個方程，解出即可得到橢圓C的方程；（2）根據(jù)對稱可得點坐標，再根據(jù)斜率公式可得，然后由點為橢圓C上的點得，代入化簡即可求出為定值【小問1詳解】由題意解得，.所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】因為點關于坐標原點的對稱點為，所以的坐標為.，，所以，又因為點為橢圓C上的點，所以.20、（1）；（2）2.【解題分析】（1）由離心率，得到，再由點在橢圓上，得到，聯(lián)立求得，即可求得橢圓的方程.（2）設的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)根系數(shù)的關系和弦長公式，以及點到直線的距離公式，求得，結合基本不等式，即可求解.【題目詳解】（1）由題意，橢圓的離心率，即，可得，又橢圓過點，可得，將代入，可得，故橢圓方程為.（2）設的方程為，設點，聯(lián)立方程組，消去y整理，得，所以，又直線與橢圓相交，所以，解得，則，點P到直線的距離，所以，當且僅當，即時，的面積取得最大值為2.【題目點撥】本題主要考查橢圓的標準方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓方程，應用一元二次方程根與系數(shù)的關系進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.21、（1）；（2）.【解題分析】（1）求出圓心坐標，可求得圓的半徑，進而可得出圓的標準方程；（2）求得點到直線的距離，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求得的表達式，利用三角形的面積公式結合基本不等式可求得結果.【小問1詳解】解：由題知，線段的中點為，直線的斜率，所以線段的中垂線為，即為，所以圓的圓心為軸與的交點，所以圓的半徑，所以圓的標準方程為.【小問2詳解】解：由題知：圓心到直線的距離，因為，所以圓心到直線的距離，所以到直線的距離，設點、，聯(lián)立可得，，，則，所以，，所以，所以，所以當且僅當，即時等號成立，所以當時，取得最大值.【題目點撥】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調性或三角函數(shù)的有界性等求最值22、(1)見解析;(2).【解題分析】（1）推導出，取BC的中點F，連結EF，可推出，從而平面，進而，由此得到平面，從而；（2）以為坐標原點，，所在直線分別為，軸，以過點且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面與平面所成二面角的余弦值【題目詳解】（1）∵是平行四邊形，且∴，故，即取BC的中點F，連結EF.∵∴又∵平面平面∴平面∵平面∴∵平面∴平面，∵平面∴（2）∵,由（Ⅰ）得以為坐標原點，