大連市重點(diǎn)中學(xué)2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

大連市重點(diǎn)中學(xué)2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，現(xiàn)以為圓心作一個(gè)圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的中心并且交橢圓于點(diǎn)，．若過(guò)點(diǎn)的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.2．已知命題p：函數(shù)在（0，1）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)；命題q：函數(shù)在上是減函數(shù)，若p且為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.2C.1<≤2 D.≤l或>23．已知數(shù)列為等差數(shù)列，則下列數(shù)列一定為等比數(shù)列的是（）A. B.C. D.4．已知是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是一個(gè)定點(diǎn),則的最小值為A. B.C. D.5．程大位是明代著名數(shù)學(xué)家，他的《新編直指算法統(tǒng)宗》是中國(guó)歷史上一部影響巨大的著作.它問(wèn)世后不久便風(fēng)行宇內(nèi)，成為明清之際研習(xí)數(shù)學(xué)者必讀的教材，而且傳到朝鮮、日本及東南亞地區(qū)，對(duì)推動(dòng)漢字文化圈的數(shù)學(xué)發(fā)展起了重要的作用.卷八中第33問(wèn)是：“今有三角果一垛，底闊每面七個(gè).問(wèn)該若干？”如圖是解決該問(wèn)題的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖，求得該垛果子的總數(shù)為（）A.120 B.84C.56 D.286．雙曲線的左焦點(diǎn)到其漸近線的距離是（）A. B.C. D.7．某研究所為了研究近幾年中國(guó)留學(xué)生回國(guó)人數(shù)的情況，對(duì)2014至2018年留學(xué)生回國(guó)人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下表：年份20142015201620172018年份代碼12345留學(xué)生回國(guó)人數(shù)/萬(wàn)36.540.943.348.151.9根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)求得留學(xué)生回國(guó)人數(shù)（單位：萬(wàn)）與年份代碼滿足的線性回歸方程為，利用回歸方程預(yù)測(cè)年留學(xué)生回國(guó)人數(shù)為（）A.63.14萬(wàn) B.64.72萬(wàn)C.66.81萬(wàn) D.66.94萬(wàn)8．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)，均在y軸上，橢圓C的面積為，且短軸長(zhǎng)為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.9．直線與直線的位置關(guān)系是（）A.相交但不垂直 B.平行C.重合 D.垂直10．已知正四面體的底面的中心為為的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.11．已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為A.2 B.3C.4 D.512．在空間直角坐標(biāo)系中，方程所表示的圖形是（）A圓 B.橢圓C.雙曲線 D.球二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來(lái)研究數(shù)．用一點(diǎn)（或一個(gè)小石子）代表1，兩點(diǎn)（或兩個(gè)小石子）代表2，三點(diǎn)（或三個(gè)小石子）代表3，…他們研究了各種平面數(shù)（包括三角形數(shù)、正方形數(shù)、長(zhǎng)方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等）和立體數(shù)（包括立方數(shù)、棱錐數(shù)等等）．如前四個(gè)四棱錐數(shù)為第n個(gè)四棱錐數(shù)為1+4+9+…+n2＝．中國(guó)古代也有類似的研究，如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…若一個(gè)“三角垛”共有20層，則第6層有____個(gè)球，這個(gè)“三角垛”共有______個(gè)球14．設(shè)空間向量，且，則___________.15．在△ABC中，，AB=3，，則________16．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為_(kāi)____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，，.（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值等于？18．（12分）如圖所示，在三棱柱中，，點(diǎn)在平面ABC上的射影為線段AC的中點(diǎn)D，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的菱形（1）若△ABC是正三角形，求異面直線與BC所成角的余弦值；（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求線段BD的長(zhǎng)19．（12分）如圖，三棱錐中，兩兩垂直，，且分別為線段的中點(diǎn).（1）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求證：直線平面；（2）求證：平面平面.20．（12分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，直線與交于，兩點(diǎn)（1）求橢圓的方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的取值范圍21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，，.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求平面與平面的距離.22．（10分）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為（1）求C的方程；（2）直線與C交于A，B兩點(diǎn)，在C上是否存在點(diǎn)Q，使得直線QA，QB分別與y軸交于M，N兩點(diǎn)，且？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】由切線的性質(zhì)，可得，，再結(jié)合橢圓定義，即得解【題目詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線圓的切線，，，所以由橢圓定義可得，可得橢圓的離心率故選：A2、C【解題分析】命題p為真時(shí)：；命題q為真時(shí)：，因?yàn)閜且為真命題，所以命題p為真，命題q為假，即，選C考點(diǎn)：命題真假3、A【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷【題目詳解】設(shè)的公差是，即，顯然，且是常數(shù)，是等比數(shù)列，若中一個(gè)為1，則，則不是等比數(shù)列，只要，，都不可能是等比數(shù)列，如，，故選：A4、A【解題分析】恰好為拋物線的焦點(diǎn)，等于到準(zhǔn)線的距離，要想最小，過(guò)圓心作拋物線的準(zhǔn)線的垂線交拋物線于點(diǎn)，交圓于，最小值等于圓心到準(zhǔn)線的距離減去半徑4-1=.考點(diǎn):1.拋物線的定義；2.圓中的最值問(wèn)題；5、B【解題分析】按照框圖中程序，逐步執(zhí)行循環(huán)，即可求得答案.【題目詳解】第一次循環(huán)：，，第二次循環(huán)：，，第三次循環(huán)：，，第四次循環(huán)：，，第五次循環(huán)：，，第六次循環(huán)：，，第七次循環(huán)：，，退出循環(huán)，輸出.故選：B6、A【解題分析】求出雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得結(jié)果.【題目詳解】在雙曲線中，，，，所以，該雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，即，因，該雙曲線的左焦點(diǎn)到漸近線的距離為.故選：A7、D【解題分析】先求出樣本點(diǎn)的中心，代入線性回歸方程即可求出，再將代入線性回歸方程即可得到結(jié)果【題目詳解】由題意知：，，所以樣本點(diǎn)的中心為，所以，解得：，可得線性回歸方程為，年對(duì)應(yīng)的年份代碼為，令，則，所以預(yù)測(cè)2022年留學(xué)生回國(guó)人數(shù)為66.94萬(wàn)，故選：D.8、C【解題分析】設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)已知條件，求得，即可求得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)其方程為，根據(jù)題意可得，，故可得，故所求橢圓方程為：.故選：C.9、C【解題分析】把直線化簡(jiǎn)后即可判斷.【題目詳解】直線可化為，所以直線與直線的位置關(guān)系是重合.故選：C10、B【解題分析】連接，再取中點(diǎn)，連接，得到為直線與所成角，再解三角形即可.【題目詳解】連接，再取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為VC，中點(diǎn)，則，且底面,所以為直線與所成角，令正四面體邊長(zhǎng)為1，則，,，所以，故選：.11、D【解題分析】拋物線焦點(diǎn)在軸上，開(kāi)口向上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，所以點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為，因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為5.考點(diǎn)：本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點(diǎn)的性質(zhì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評(píng)：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，這條性質(zhì)在解題時(shí)經(jīng)常用到，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.12、D【解題分析】方程表示空間中的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2，從而可知圖形的形狀【題目詳解】由，得，表示空間中的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2，所以方程所表示的圖形是以原點(diǎn)為球心，2為半徑的球，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.21②.1540【解題分析】根據(jù)題中給出的圖形，結(jié)合題意找到各層球的數(shù)列與層數(shù)的關(guān)系，得到＝，由此可求的值，以及前20層的總球數(shù)【題目詳解】由題意可知，，故＝＝，所＝＝21，所以S20＝a1+a2+a3+a4+??+a20＝（12+22+32+??+202）+（1+2+3+??+20）＝×+×＝1540故答案為：21；154014、1【解題分析】根據(jù)，由求解.【題目詳解】因?yàn)橄蛄?，且，所以，即，解?故答案為：115、3【解題分析】計(jì)算得出，可得出，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果.【題目詳解】∵，，，∴故答案為：3.16、3【解題分析】分析：設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出結(jié)果詳解:設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，∴S7==381，解得a1=3．故答案為3.點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）詳解解析；（2）存在.【解題分析】（1）利用勾股定理證得，結(jié)合線面垂直的判定定理即可證得結(jié)論；（2）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，，求得平面的法向量，利用已知條件建立關(guān)于的方程，進(jìn)而得解.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)為，連接，在中，，，，又，，所以，又，，而，所以，又，，，又，，平面.【小問(wèn)2詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)F在線段上，設(shè)，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，則，設(shè)直線CF與平面所成角為，，解得或（舍去），，此時(shí)點(diǎn)F是的三等分點(diǎn)，所以在線段上是存在一點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值等于.18、（1）（2）或【解題分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線與所成角的余弦值.（2）結(jié)合直線與平面所成的角，利用向量法列方程，化簡(jiǎn)求得的長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】依題意點(diǎn)在平面ABC上的射影為線段AC的中點(diǎn)D，所以平面，，由于，所以，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，當(dāng)是等邊三角形時(shí)，，.設(shè)直線與所成角為，則.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則，化簡(jiǎn)的，解得或，也即或.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解題分析】（1）由題意可得，從而可證.(2)由題意可得平面，從而可得，由根據(jù)條件可得，從而可得平面，從而可得證.【小問(wèn)1詳解】由分別為線段的中點(diǎn).由中位線定理知，又平面，且平面，所以直線平面【小問(wèn)2詳解】?jī)蓛纱怪?，?且所以平面，又平面，所以由，且分別為線段的中點(diǎn)，所以，因此根據(jù)線面垂直判定定理得平面，且平面所以平面平面.20、（1），（2）【解題分析】（1）由題意，列出關(guān)于a，b，c的方程組求解即可得答案；（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），線段MN的中點(diǎn)（x0，y0），則，作差可得①，又線段MN的垂直平分線過(guò)點(diǎn)A（0，1），則②，聯(lián)立直線MN與橢圓的方程，可得﹣t2+1+4k2＞0（*），③，由①②③及（*）式聯(lián)立即可求解【小問(wèn)1詳解】解：由題意可得，解得，所以橢圓C的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），線段MN的中點(diǎn)（x0，y0），因?yàn)?，所以，即，所以①，因?yàn)榫€段MN的垂直平分線過(guò)點(diǎn)A（0，1），所以，即②，聯(lián)立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，所以＝（8kt）2﹣4（1+4k2）（4t2﹣4）＝﹣16t2+16+64k2＞0，即﹣t2+1+4k2＞0（*），③，把③代入②，得④，把③④代入①得，所以，即，代入（*）得，解得，又k≠0，所以k的取值范圍為21、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）【解題分析】（1）利用勾股定理證得，證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證得，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；（2）取的中點(diǎn)，連接，可得為的中點(diǎn)，證明，四邊形是平行四邊形，可得，再根據(jù)面面平行的判定定理即可得證；（3）設(shè)，由（1）（2）可得即為平面與平面的距離，求出的長(zhǎng)度，即可得解.【小問(wèn)1詳解】證明：在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，，，故，因?yàn)?，所以，又平面，平面，所以，又因，，所以平面，又平面，所以，又，所以平面?/p>