浙江省臺(tái)州市北城中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析

浙江省臺(tái)州市北城中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖所示，兩個(gè)非共線向量，的夾角為θ，M、N分別為OA與OB的中點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，且=x+y（x，y∈R），則x2+y2的最小值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式；平面向量坐標(biāo)表示的應(yīng)用．【分析】法一：特殊值法，當(dāng)θ=90°，||=||=1時(shí)，建立直角坐標(biāo)系，得x+y=，所以x2+y2的最小值為原點(diǎn)到直線的距離的平方；解法二：因?yàn)辄c(diǎn)C、M、N共線，所以，有λ+μ=1，由M、N分別為OA與OB的中點(diǎn)，可得x+y=，下同法一【解答】解法一：特殊值法，當(dāng)θ=90°，||=||=1時(shí)，建立直角坐標(biāo)系，∴=x+y得x+y=，所以x2+y2的最小值為原點(diǎn)到直線的距離的平方；解法二：因?yàn)辄c(diǎn)C、M、N共線，所以，有λ+μ=1，又因?yàn)镸、N分別為OA與OB的中點(diǎn)，所以=∴x+y=原題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x時(shí)，求x2+y2的最小值問題，∵y=∴x2+y2==結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x=時(shí)，取得最小值為故選B2.已知3sin2α+2sin2β=1，3sin2α﹣2sin2β=0，且α、β都是銳角，則α+2β的值為（）A． B．π C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】GP：兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinα的值，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sin（α+2β）的值，結(jié)合角α+2β的范圍即可得解．【解答】解：由3sin2α+2sin2β=1，得：3sin2α=cos2β．由3sin2α﹣2sin2β=0，得：sin2β=sin2α=3sinαcosα．∴sin22β+cos22β=9sin2αcos2α+9sin4α∴9sin2α=1．∴sinα=（α為銳角）∴sin（α+2β）=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα（3sin2α）+cosα（3sinαcosα）=3sinα（sin2α+cos2α）=3sinα=1，∵α+2β∈（0，），∴α+2β=．故選：A．3.給出以下四個(gè)說法：①繪制頻率分布直方圖時(shí)，各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的組距；②線性回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，；③設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（1，32）則p（ξ＜1）=；④對(duì)分類變量X與Y它們的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k越大，則判斷“與X與Y有關(guān)系”的把握程度越?。渲姓_的說法的個(gè)數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4參考答案：A考點(diǎn)：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．

專題：綜合題；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：①由繪制頻率分布直方圖時(shí)，各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，即可判斷；②線性回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點(diǎn)（，）；③設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（1，32），利用對(duì)稱性可得結(jié)論；④對(duì)分類變量X與Y，它們的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k來說，k越大，“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大，可得結(jié)論．解答：解：①繪制頻率分布直方圖時(shí)，各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，故①錯(cuò)；②線性回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點(diǎn)（，），故②錯(cuò)；③設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（1，32）則p（ξ＜1）=，正確；④對(duì)分類變量X與Y，它們的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k來說，k越大，“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大，故④不正確．故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題考查統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)：頻率分布直方圖和線性回歸及分類變量X，Y的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．4.||=1，||=，?=0，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC=30°，設(shè)=m+n（m、n∈R），則等于（）A． B．3 C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】向量的共線定理；向量的模．【分析】將向量沿與方向利用平行四邊形原則進(jìn)行分解，構(gòu)造出三角形，由題目已知，可得三角形中三邊長(zhǎng)及三個(gè)角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此題如果沒有點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)的限制，應(yīng)該有兩種情況，即也可能為OC在OA順時(shí)針方向30°角的位置，請(qǐng)大家注意分類討論，避免出錯(cuò)．【解答】解：法一：如圖所示：=+，設(shè)=x，則=．=∴==3．法二：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．則=（1，0），=（0，），∴=m+n=（m，n），∴tan30°==，∴=3．故選B5.下列說法正確的是（

）A．命題“或”為真命題，則命題和命題均為真命題B．命題“已知為一個(gè)三角形的兩內(nèi)角，若，則”的逆命題為真命題C．“若，則”的否命題為“若，則”D．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件參考答案：B考點(diǎn)：正弦定理及命題的真假的判定和運(yùn)用.6.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）（A）（B）（C）（D）參考答案：B由，得，令，在坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖象可知交點(diǎn)為一個(gè)，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)，選B.7.已知正方體被過一面對(duì)角線和它對(duì)面兩棱中點(diǎn)的平面截去一個(gè)三棱臺(tái)后的幾何體的主（正）視圖和俯視圖如下，則它的左（側(cè)）視圖是(

)A． B. C.

D.參考答案：A略8.已知α為第二象限角，，則cos2α=（）A．﹣ B．﹣ C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】GT：二倍角的余弦；GG：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．【分析】由α為第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，從而可求得sinα﹣cosα=，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α【解答】解：∵sinα+cosα=，兩邊平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α為第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=﹣．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，突出二倍角的正弦與余弦的應(yīng)用，求得sinα﹣cosα=是關(guān)鍵，屬于中檔題．9.若函數(shù)的圖象如右圖，其中a，b為常數(shù)，則函數(shù)的大致圖象是(

）

參考答案：D

10.已知集合A={x|－l≤x≤3}，集合B=|x|log2x<2}，則AB=

A．{x|1≤x≤3}

B．{x|－1≤x≤3}

C．{x|0<x≤3}

D．{x|－1≤x<0}參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知滿足：，若的最大值為2，則

．參考答案：

略12.已知AD是的中線，若，,則的最小值是____________．參考答案：1略13.已知的值是__________參考答案：14.已知圓M：，圓N:，直線分別過圓心，且與圓M相交于A,B,與圓N相交于C,D,P是橢圓上的任意一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為

.

參考答案：6【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；圓與圓錐曲線的綜合．解析：，同理：=，在橢圓上，所以，∴=故答案為：6【思路點(diǎn)撥】，，并且，所以便可得到，同理可得到．所以．=

15.如圖，在△ABC中，已知，D為邊BC的中點(diǎn)．若，垂足為E，則的值為__．參考答案：【詳解】，由余弦定理，得，得，，，所以，所以．點(diǎn)睛：本題考查平面向量的綜合應(yīng)用．本題中存在垂直關(guān)系，所以在線性表示的過程中充分利用垂直關(guān)系，得到，所以本題轉(zhuǎn)化為求長(zhǎng)度，利用余弦定理和面積公式求解即可．16.在中，若,，，則=

參考答案：由余弦定理可得，即，整理得，解得。17.在極坐標(biāo)系（）中，直線被圓截得的弦的長(zhǎng)是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）我校要用三輛校車從本校區(qū)把教師接到東校區(qū)，已知從本校區(qū)到東校區(qū)有兩條公路，校車走公路①堵車的概率為，不堵車的概率為；校車走公路②堵車的概率為，不堵車的概率為．若甲、乙兩輛校車走公路①，丙校車由于其他原因走公路②，且三輛車是否堵車相互之間沒有影響．（1）若三輛校車中恰有一輛校車被堵的概率為，求走公路②堵車的概率；（2）在（1）的條件下，求三輛校車中被堵車輛的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．學(xué)參考答案：解（Ⅰ）由已知條件得，……2分即，則．

……………………4分（Ⅱ）解：可能的取值為0，1，2，3．

……………5分

；

；；…………9分的分布列為：0123

………10分所以．…………12分19.已知sinθ、cosθ是關(guān)于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的兩個(gè)根．(1)求的值；(2)求tan(π－θ)－的值．參考答案：略20.（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=x2﹣bx+alnx．（Ⅰ）若曲線f（x）在點(diǎn)（1，）處的切線平行于x軸，求f（x）；（Ⅱ）f（x）存在極大值點(diǎn)x0，且a＜e2（其中e=2.71828…），求證：f（x0）＜0．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（I）令f（1）=，f′（1）=0即可解出a，b，得出f（x）的解析式；（II）根據(jù)f（x）有極大值點(diǎn)可得f（x）也有極小值點(diǎn)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組得出a，b的范圍和關(guān)系，求出x0的范圍，化簡(jiǎn)得f（x0）=﹣x02+alnx0﹣a，求出右側(cè)函數(shù)在x0的范圍內(nèi)恒小于0即可．【解答】解：（I）f′（x）=x﹣b+，∵曲線f（x）在點(diǎn)（1，）處的切線平行于x軸，∴，即，解得a=﹣2，b=﹣1．∴f（x）=x2+x﹣2lnx．（II）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．令f′（x）=x﹣b+=0得x2﹣bx+a=0，∵f（x）存在極大值點(diǎn)x0，且x→+∞時(shí)，f′（x）→+∞，∴f（x）存在極小值點(diǎn)x1，∴x2﹣bx+a=0有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x0，x1，∴，∴a＞0，b＞0，b＞2．∵x0是f（x）的極大值點(diǎn)，∴f′（x0）=x0﹣b+=0，即x02﹣bx0+a=0，∴bx0=x02+a．∵x0==，b，∴0＜x0＜，∴f（x0）=x02﹣bx0+alnx0=x02﹣（x02+a）+alnx0=﹣x02+alnx0﹣a，∴f′（x0）=﹣x0+=＞0，∴f（x0）在（0，）上單調(diào)遞增，∴f（x0）＜f（）=﹣a+aln﹣a=﹣+lna=（lna﹣3）＜0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)極值的關(guān)系，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的與判別式△之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．21.已知鈍角△中，角A、B、C的對(duì)邊分別為、、，且有。（1）求角B的大?。唬?）設(shè)向量=（，），

=（1，），且⊥，求的值。參考答案：（1）由正弦定理得，，，

代入，得，

從而，

因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以。?）因?yàn)橄蛄?（，），

=（1，），且⊥，

所以，即。

因?yàn)椤麾g角三角形，所以，從而，，。

所以。22.（12分）已知函