第六章常微分方程

第六章常微分方程第一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五第八章微分方程精品課程序言第1章函數(shù)第2章導數(shù)第3章定積分第4章求導方法第5章導數(shù)應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程內容導航什么是微分方程分離變量法

微分方程的應用（1）二階常系數(shù)線性微分方程數(shù)學建模：微分方程應用（2）

第二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五8-1什么是微分方程精品課程序言第1章函數(shù)第2章導數(shù)第3章定積分第4章求導方法第5章導數(shù)應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

引例1：曲線過點（1，2），且在該曲線上任意一點M(x,y)處的切線的斜率為2x，求這曲線的方程?解設所求曲線y=f(x)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得（1）此外還應滿足條件把方程（1）兩邊積分，得即把條件代入（2），得C=1把C=1代入（2）式，即得所求曲線方程第三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五8-1什么是微分方程精品課程序言第1章函數(shù)第2章導數(shù)第3章定積分第4章求導方法第5章導數(shù)應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

引例2：質量為M的物體，受重力作用自由下降，試求物體下落的運動規(guī)律?解

設所求運動規(guī)律為s=s(t)，根據(jù)導數(shù)的力學意義，未知函數(shù)s=s(t)應滿足方程(4)由于自由落體的初始位置和初始速度均為零，未知函數(shù)s=s(t)滿足條件

把方程（4）兩邊積分，得(5)再積分一次，得(6)其中都是任意常數(shù).將條件分別代入（5）、（6）內，得于是所求的運動規(guī)律為第四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五8-1什么是微分方程精品課程序言第1章函數(shù)第2章導數(shù)第3章定積分第4章求導方法第5章導數(shù)應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

5、特解通常可以按照問題的條件從通解中確定任意常數(shù)的特定值而得到，用來確定特解的條件，稱為初始條件1、含有未知函數(shù)的導數(shù)(或微分)的方程叫做微分方程

相關概念2、微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導數(shù)的階數(shù)，叫做微分方程的階3、如果把某個函數(shù)代入微分方程，能使方程恒等，這個方程稱為微分方程的解；求微分方程的解的過程，叫做解微分方程

4、微分方程的解有不同的形式，常用的兩種形式是：一種是解中含有任意常數(shù)并且獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解稱為微分方程的通解；另一種是解不含任意常數(shù)，稱為特解第五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五8-2可分離變量法精品課程序言第1章函數(shù)第2章導數(shù)第3章定積分第4章求導方法第5章導數(shù)應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

解簡單微分方程常用的方法：將方程進行變形，然后等式兩邊進行積分。例：求解一階微分方程解變形為然后兩邊積分，得于是即，其中C為任意常數(shù)，可以驗證，函數(shù)是方程的通解。第六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五8-2可分離變量法精品課程序言第1章函數(shù)第2章導數(shù)第3章定積分第4章求導方法第5章導數(shù)應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

一般地，形如的微分方程稱為可分離變量的微分方程。求解基本方法是：先變形、后積分。第七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五8-2可分離變量法精品課程序言第1章函數(shù)第2章導數(shù)第3章定積分第4章求導方法第5章導數(shù)應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

例3求微分方程的通解

解原方程可改寫為

分離變量，得

兩邊積分，得于是即，這就是所求的微分方程的通解。第八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五8-2可分離變量法精品課程序言第1章函數(shù)第2章導數(shù)第3章定積分第4章求導方法第5章導數(shù)應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

例4求方程滿足初始條件的特解解原方程可改寫為分離變量，得兩邊積分，得化簡，得令于是這就是所求的微分方程的通解。把初始條件代入上式，求得C=11，于是所求微分方程的特解為。第九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五8-3微分方程應用（1）精品課程序言第1章函數(shù)第2章導數(shù)第3章定積分第4章求導方法第5章導數(shù)應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

增長與衰減用分離變量法解實際中經常出現(xiàn)的方程分離變量，得兩邊積分，得即其中，于是系數(shù)A為正值，所以

所以，微分方程總是聯(lián)系于指數(shù)增長或指數(shù)衰減。第十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五8-3微分方程應用（1）精品課程序言第1章函數(shù)第2章導數(shù)第3章定積分第4章求導方法第5章導數(shù)應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

例5當一次謀殺發(fā)生后，尸體溫度從原來的370C，按照牛頓冷卻定律（一塊熱的物體其溫度下降的速度是與其自身溫度同外界溫度的差值成正比的關系），開始變涼，假設兩小時后尸體溫度變?yōu)?50C，并且假定周圍空氣的溫度保持200C不變（1）求出自打謀殺發(fā)生后尸體溫度是如何作為時間的函數(shù)而變化的；（2）畫出溫度—時間曲線；（3）最終尸體的溫度將如何？用圖像和代數(shù)兩種方式表示出最終結果；（4）如果尸體被發(fā)現(xiàn)時的溫度為300C，時間為下午4點整，那么謀殺時何時發(fā)生的？第十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五8-3微分方程應用（1）精品課程序言第1章函數(shù)第2章導數(shù)第3章定積分第4章求導方法第5章導數(shù)應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

解（1）按冷卻定律建立方程溫度變化率=a×溫度差=a(H-20),其中a為比例常數(shù)，H為尸體溫度于是考慮a的正負號，如果溫度差是正的（即H>20）、則是H下降的，所以溫度的變化率就應是負的，因此a應為負的，于是分離變量求解，得代入初始值（t=0時，H=37）求B，于是為了求K的值，我們根據(jù)兩小時后尸體溫度為350C這一事實，有化簡，取對數(shù)得，

于是溫度函數(shù)為第十二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五8-3微分方程應用（1）精品課程序言第1章函數(shù)第2章導數(shù)第3章定積分第4章求導方法第5章導數(shù)應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

（2）作草圖如下：（3）“最終趨勢”指,取極限（4）求多長時間尸體溫度達到300C，即

令H=30，代入得，

兩邊取自然對數(shù)得即t≈8.4（小時）于是，謀殺一定發(fā)生在下午4點這一尸體被發(fā)現(xiàn)時的前8.4小時（即8小時24分），所以謀殺是在上午7點36分發(fā)生的。

t0H20H=20+17e-0.063t37第十三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五8-4二階微分方程精品課程序言第1章函數(shù)第2章導數(shù)第3章定積分第4章求導方法第5章導數(shù)應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

形如的二階微分方程稱為二階常系數(shù)線性齊次微分方程。如

例６：求的通解分析：解微分方程是求未知函數(shù)y，觀察分析此題，常見函數(shù)中什么函數(shù)的是同一類函數(shù)呢？聯(lián)想到是ex類型，用待定法設y=erx，代入變形為則只須，稱此代數(shù)方程為微分方程的特征方程，其根設為特征根。第十四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五8-4二階微分方程精品課程序言第1章函數(shù)第2章導數(shù)第3章定積分第4章求導方法第5章導數(shù)應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

解解特征方程得

于是微分方程的通解

（可以證明，二階常系數(shù)線性齊次微分方程的兩個特解，只要他們不成比例，則為該方程的通解）例7求方程的通解

解特征方程則通解為重根時，得一個特解，再用待定法令或等等，求得另一個特解第十五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五8-4二階微分方程精品課程序言第1章函數(shù)第2章導數(shù)第3章定積分第4章求導方法第5章導數(shù)應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

例８求微分方程的通解

解特征方程為

共軛虛根為

原方程的通解

（共軛虛根時，由歐拉公式有再根據(jù)該方程的線性組合仍是解而消去i）

第十六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五8-4二階微分方程精品課程序言第1章函數(shù)第2章導數(shù)第3章定積分第4章求導方法第5章導數(shù)應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

于是二階線性齊次微分方程的特解形式：特征方程的兩個根

微分方程的通解

(1)兩個不相等實根r1,r2

(2)兩個相等實根r1=r2=r(3)共軛虛根

第十七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五8-4二階微分方程精品課程序言第1章函數(shù)第2章導數(shù)第3章定積分第4章求導方法第5章導數(shù)應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

二階常系數(shù)線性非齊次微分方程

例9：求的通解分析：這類微分方程叫二階常系數(shù)線性非齊次微分方程

可以證明：其通解為“齊次通解+非齊特解”。即可先求的通解，再求的特解。解特征方程

齊次通解為

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用待定系數(shù)法求解（由方程右邊的特點）

令y=ax+b代入原方程，得

即解之所以原方程的通解

說明：求非齊次方程的特解時，由f(x)的特點如指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)等用待定法求解，即類似可解

等等．第十九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五8-5數(shù)學建模：微分方程應用(2)精品課程序言第1章函數(shù)第2章導數(shù)第3章定積分第4章求導方法第5章導數(shù)應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

微分方程組與相平面分析，微分方程是常用的數(shù)學模型，微分方程建模解決問題有其特點：

①直接研究一個變量y=f(x)常常不容易，而考慮其系數(shù)及其關系更容易一些，這就產生微分方程；

②一個主要原因是，事物都在變化，也就有變化率，事物的變化又常以時間t為自變量，這就考慮等等;

③事物的關系又通常是對立統(tǒng)一關系，x與y相互聯(lián)系，這就得到微分方程組。看下面的實例。第二十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五8-5數(shù)學建模：微分方程應用(2)精品課程序言第1章函數(shù)第2章導數(shù)第3章定積分第4章求導方法第5章導數(shù)應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

戰(zhàn)爭模型

用x(t)和y(t)表示甲乙交戰(zhàn)雙方在時刻t的兵力，可視為雙方的士兵人數(shù)，一個簡化模型是,假設一支軍隊參站人數(shù)減少（死亡或受傷）的比率(如)是與另一支軍隊集中向其開火的次數(shù)成正比，而這開火的次數(shù)又與該方軍隊中參戰(zhàn)人數(shù)成正比。于是x、y服從微分方程：

（１）

下面分析求解此微分方程組

第二十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五8-5數(shù)學建模：微分方程應用(2)精品課程序言第1章函數(shù)第2章導數(shù)第3章定積分第4章求導方法第5章導數(shù)應用第6章求積分方法第7章定積分應用第8章微分方程

由復合求導法則

分離變量求得(2)

此方程在圖像上是雙曲線