流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別第七章理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)本章內(nèi)容：在許多工程實(shí)際問題中，流動(dòng)參數(shù)不僅在流動(dòng)方向上發(fā)生變化，而且在垂直于流動(dòng)方向的橫截面上也要發(fā)生變化。要研究此類問題，就要用多維流的分析方法。本章主要討論理想流體多維流動(dòng)的基本規(guī)律，為解決工程實(shí)際中類似的問題提供理論依據(jù)，也為進(jìn)一步研究粘性流體多維流動(dòng)奠定必要的基礎(chǔ)。

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別第一節(jié)流體流動(dòng)的連續(xù)性方程

當(dāng)把流體的流動(dòng)看作是連續(xù)介質(zhì)的流動(dòng)，它必然遵守質(zhì)量守恒定律。對(duì)于一定的控制體，必須滿足式（3－22）。它表示在控制體內(nèi)由于流體密度變化所引起的流體質(zhì)量隨時(shí)間的變化率等于單位時(shí)間內(nèi)通過控制體的流體質(zhì)量的凈通量。

首先推導(dǎo)在笛卡兒坐標(biāo)系中微分形式的連續(xù)性方程。

圖7-1

微元六面體

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別

設(shè)該微元六面體中心點(diǎn)O（x,y,z）上流體質(zhì)點(diǎn)的速度為、、，

密度為，于是和軸垂直的兩個(gè)平面上的質(zhì)量流量如圖所示。

在方向上，單位時(shí)間通過EFGH面流入的流體質(zhì)量為：

（a）

單位時(shí)間通過ABCD面流出的流體質(zhì)量：（b）

則在方向單位時(shí)間內(nèi)通過微元體表面的凈通量為（b）-（a），即（c1）

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別同理可得和方向單位時(shí)間通過微元體表面的凈通量分別為:（c2）（c3）因此，單位時(shí)間流過微元體控制面的總凈通量為:

（c）

微元六面體內(nèi)由于密度隨時(shí)間的變化而引起的質(zhì)量的變化率為：

（d）流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別

將式（c），（d）代入式（7-1），取→0，則可得到流場(chǎng)中任一點(diǎn)的連續(xù)性方程的一般表達(dá)式為:

或（7-1）（7-1a）

連續(xù)性方程表示了單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增量等于流體在控制體表面上的凈通量。它適用于理想流體和粘性流體、定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)。

在定常流動(dòng)中，由于

（7-2）（7-3）或（7-3a）

對(duì)于不可壓縮流體（=常數(shù)）流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別在其它正交坐標(biāo)系中流場(chǎng)中任一點(diǎn)的連續(xù)性方程和柱坐標(biāo)系中的表示式為：

(7-4)

對(duì)于不可壓縮流體

(7-4a)

式中為極徑；為極角。

球坐標(biāo)系中的表示式為:

(7-5)

（7-5a）

式中為徑矩；為緯度；為徑度。

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別【例7-1】已知不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)速度在，兩個(gè)軸方向的分量為，。且在處，有。試求軸方向的速度分量。

【解】對(duì)不可壓縮流體連續(xù)性方程為：將已知條件代入上式，有又由已知條件對(duì)任何，，當(dāng)時(shí)，。故有

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別第二節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析

流體與剛體的主要不同在于它具有流動(dòng)性，極易變形。因此，流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中不但象剛體那樣可以有移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而且還會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)。一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)。

圖7-2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)速度分量

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別

如圖7-2所示，在流場(chǎng)中任取一微元平行六面體，其邊長(zhǎng)分別為dx、dy、dz，微元體中心點(diǎn)沿三個(gè)坐標(biāo)軸的速度分量為、、。頂點(diǎn)E的速度分量可按照泰勒級(jí)數(shù)展開，略去二階以上無窮小項(xiàng)求得，如圖。

為了簡(jiǎn)化討論，先分析流體微團(tuán)的平面運(yùn)動(dòng)，如圖7-3。該平面經(jīng)過微元平行六面體的中心點(diǎn)且平行于xoy面。由于流體微團(tuán)各個(gè)點(diǎn)的速度不一樣，在dt時(shí)間間隔中經(jīng)過移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)（包括角變形運(yùn)動(dòng)和線變形運(yùn)動(dòng)），流體微團(tuán)的位置和形狀都發(fā)生了變化。具體分析如下：圖7-3

流體微團(tuán)的平面運(yùn)動(dòng)流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別（1）移動(dòng)

：由圖7-3看出，A、B、C、D各點(diǎn)速度分量中都含有、項(xiàng)，如果只考慮這兩項(xiàng)，則經(jīng)過時(shí)間dt，矩形ABCD向右移動(dòng)的距離，向上移動(dòng)的距離。移動(dòng)到新位置后，形狀保持不變，如圖7-4(a)所示。（2）線變形運(yùn)動(dòng)：如果只考慮AB邊和CD邊在x軸方向上的速度差，則經(jīng)過時(shí)間dt，AD邊和BC邊在x軸方向上伸長(zhǎng)了的距離；如果只考慮AD邊和BC邊在y軸方向上的速度差，則經(jīng)過時(shí)間dt，根據(jù)連續(xù)性條件，AB邊和CD邊在y軸方向上縮短了的距離，這就是流體微團(tuán)的線變形，如圖7-4(b)。每秒鐘單位長(zhǎng)度的伸長(zhǎng)或縮短量稱為線應(yīng)變速度，在x軸方向的線應(yīng)變速度分量為：同樣可得在y軸方向和z軸方向的分量分別為、。流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別圖7-4

流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分析

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別

（3）角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)：如圖7-4（c）、（d）所示，取圖7-3中的來分析。如果只考慮B′點(diǎn)和A″在y軸方向上的速度差，則經(jīng)過時(shí)間dt，B′點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B″點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)距離為，使A″B′邊產(chǎn)生了角變形運(yùn)動(dòng)，變形角度為；如果只考慮D′點(diǎn)和A″點(diǎn)在x軸方向上的速度差，則經(jīng)過時(shí)間dt，D′點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D″點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)距離為,使A″D′邊產(chǎn)生了角變形運(yùn)動(dòng)，變形角度為。變形角可按下列公式求得。

變形角速度為：流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別

上面只考慮了角變形運(yùn)動(dòng)，實(shí)際上流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)中變形和旋轉(zhuǎn)是同時(shí)完成的。設(shè)流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角度為，變形角度為，如圖7-4(d)所示①②由①、②式可得：

如果，則，，也就是只發(fā)生了角變形運(yùn)動(dòng)，矩形變成了平行四邊形。如果，則，矩形ABCD各邊都向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了同一微元角度，矩形只發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，形狀不變。一般情況是，即，矩形ABCD在發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，還要發(fā)生角變形運(yùn)動(dòng)，結(jié)果也變成了平行四邊形。流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別

在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中，流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度定義為每秒內(nèi)繞同一轉(zhuǎn)軸的兩條互相垂直的微元線段旋轉(zhuǎn)角度的平均值。于是流體微團(tuán)沿z軸的旋轉(zhuǎn)角速度分量：

同理，可求得流體微團(tuán)沿x軸和y軸的旋轉(zhuǎn)角速度分量和。于是，流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度分量為：寫成矢量形式為：(7-6)

（7-8）流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別

在角變形運(yùn)動(dòng)中，流體微團(tuán)的角變形速度定義為每秒內(nèi)一個(gè)直角的角度變化量，則在xoy面內(nèi)的角變形是。于是流體微團(tuán)在垂直于z軸的平面上的角變形速度分量，即

同樣可求得在垂直于x軸和y軸的平面上的角變形速度分量之半和。于是，流體微團(tuán)的角變形速度之半的分量是:(7-9)如果在式（7-10）的第一式右端加入兩組等于零的項(xiàng)和，其流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別值不變。經(jīng)過簡(jiǎn)單組合，可將該式寫成:同理，有:將式（7-6），（7-9）代入以上三式，得

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別上式中，各速度分量的第一項(xiàng)是移動(dòng)速度分量，第二、三、四項(xiàng)分別是由線變形運(yùn)動(dòng)、角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所引起的線速度分量。此關(guān)系也稱為亥姆霍茲(Helmholtz)速度分解定理，該定理可簡(jiǎn)述為：在某流場(chǎng)O點(diǎn)鄰近的任意點(diǎn)A上的速度可以分成三個(gè)部分，與O點(diǎn)相同的平移速度（移運(yùn)）；繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)在A點(diǎn)引起的速度（旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)）；由于變形（包括線變形和角變形）在A點(diǎn)引起的速度（變形運(yùn)動(dòng)）。亥姆霍茲速度分解定理對(duì)于流體力學(xué)的發(fā)展有深遠(yuǎn)的影響。由于把旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)從一般運(yùn)動(dòng)中分離出來，才使我們有可能把運(yùn)動(dòng)分成無旋運(yùn)動(dòng)和有旋運(yùn)動(dòng)。正是由于把流體的變形運(yùn)動(dòng)從一般運(yùn)動(dòng)中分離出來，才使我們有可能將流體變形速度與流體應(yīng)力聯(lián)系起來，這對(duì)于粘性流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究有重大的影響。流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別第三節(jié)有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)

根據(jù)流體微團(tuán)在流動(dòng)中是否旋轉(zhuǎn)，可將流體的流動(dòng)分為兩類：有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)。

數(shù)學(xué)條件：

當(dāng)

當(dāng)

無旋流動(dòng)

有旋流動(dòng)

通常以是否等于零作為判別流動(dòng)是否有旋或無旋的判別條件。

在笛卡兒坐標(biāo)系中：

（7-11）

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別即當(dāng)流場(chǎng)速度同時(shí)滿足：

時(shí)流動(dòng)無旋

需要指出的是，有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)僅由流體微團(tuán)本身是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)來決定，而與流體微團(tuán)本身的運(yùn)動(dòng)軌跡無關(guān)。

如圖7-5（a），流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)為旋轉(zhuǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)，其微團(tuán)自身不旋轉(zhuǎn)，流場(chǎng)為無旋流動(dòng)；圖7-5（b）流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)盡管為直線運(yùn)動(dòng)，但流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中自身在旋轉(zhuǎn)，所以，該流動(dòng)為有旋流動(dòng)。（a）（b）

圖7-5流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別【例7-2】

某一流動(dòng)速度場(chǎng)為，，其中是不為零的常數(shù)，流線是平行于軸的直線。試判別該流動(dòng)是有旋流動(dòng)還是無旋流動(dòng)?！窘狻?/p>

由于

所以該流動(dòng)是有旋運(yùn)動(dòng)。

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別第四節(jié)理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式歐拉積分和伯努里積分

一、運(yùn)動(dòng)微分方程

理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式是研究流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的重要理論基礎(chǔ)。可以用牛頓第二定律加以推導(dǎo)。

在流場(chǎng)中取一平行六面體，如圖7－6所示。其邊長(zhǎng)分別為dx，dy，dz，中心點(diǎn)為A(x,y,z)。中心點(diǎn)的壓強(qiáng)為p=p(x,y,z)，密度為ρ=ρ(x,y,z)。因?yàn)檠芯康膶?duì)象為理想流體，作用于六個(gè)面上的表面力只有壓力，作用于微元體上的單位質(zhì)量力沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量分別為。圖7－6理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程用圖

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別

微元體在質(zhì)量力和表面力的作用下產(chǎn)生的加速度，根據(jù)牛頓第二定律：兩端同除以微元體的質(zhì)量,并整理有：

(7-12)寫成矢量式：

(7-13)流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別將加速度的表達(dá)式代入（7－12）有：

（7－14）其矢量式為：（7－15）

公式（7－14）為理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式，物理上表示了作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力、表面力和慣性力相平衡。該式推導(dǎo)過程中對(duì)流體的壓縮性沒加限制，故可適用于理想的可壓流體和不可壓縮流體，適用于有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)。流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別

將（7－14）作恒等變形，便可以直接由運(yùn)動(dòng)微分方程判定流動(dòng)是有旋還是無旋流動(dòng)，在式（7-14）的第一式右端同時(shí)加減、，得:

由式（7-8）得:（7-16）

寫成矢量形式

（7-17）

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別

如果流體是在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，流場(chǎng)是正壓性的，則：

此時(shí)存在一壓強(qiáng)函數(shù):

（7－18）將壓強(qiáng)函數(shù)對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)有:將上述關(guān)系代入式（7-16），得:（7-19）寫成矢量形關(guān)系式

（7-20）理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下的運(yùn)動(dòng)微分關(guān)系流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別二、歐拉積分

當(dāng)理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下作定常無旋流動(dòng)時(shí)，式（7-19）右端為零。若在流場(chǎng)中任取一有向微元線段，其在三個(gè)坐標(biāo)軸的投影分別為dx、dy、dz，將它們分別依次乘式（7-19）并相加，得:

積分（7-21）

上式為歐拉積分的結(jié)果，表明理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下作定常無旋流動(dòng)時(shí)，單位質(zhì)量流體的總機(jī)械能在流場(chǎng)中保持不變。流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別三、伯努里積分

當(dāng)理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動(dòng)時(shí)，式（7-19）右端第一項(xiàng)等于零。由流線的特性知，此時(shí)流線與跡線重合，在流場(chǎng)中沿流線取一有向微元線段，其在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為，，，將它們的左、右端分別依次乘式（7-19）的左、右端，相加有積分有

（7-22）

該積分為伯努里積分。表明理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動(dòng)時(shí)，單位質(zhì)量流體的總機(jī)械能沿流線保持不變。通常沿不同流線積分常數(shù)值有所不同。流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別第五節(jié)理想流體的旋渦運(yùn)動(dòng)

本節(jié)主要講述理想流體有旋運(yùn)動(dòng)的理論基礎(chǔ)，重點(diǎn)是速度環(huán)量及其表征環(huán)量和旋渦強(qiáng)度間關(guān)系的斯托克斯定理。

一、渦線、渦管、渦束和旋渦強(qiáng)度

渦量用來描述流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。渦量的定義為：

(7-23)

渦量是點(diǎn)的坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。它在直角坐標(biāo)系中的投影為：(7-24)

在流場(chǎng)的全部或部分存在角速度的場(chǎng)，稱為渦量場(chǎng)。如同在速度場(chǎng)中引入了流線、流管、流束和流量一樣。在渦量場(chǎng)中同樣也引入渦線、渦管、渦束和旋渦強(qiáng)度的概念。

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別1．渦線:渦線是在給定瞬時(shí)和渦量矢量相切的曲線。如圖7-7所示。

圖7-7

渦線

圖7-8渦管根據(jù)渦通量矢量與渦線相切的條件，渦線的微分方程為:

(7-25)

2．渦管、渦束：在渦量場(chǎng)中任取一不是渦線的封閉曲線，在同一時(shí)刻過該曲線每一點(diǎn)的渦線形成的管狀曲面稱作渦管。如圖7-8所示。截面無限小的渦管稱為微元渦管。渦管中充滿著的作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的流體稱為渦束，微元渦管中的渦束稱為微元渦束或渦絲。流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別3．旋渦強(qiáng)度（渦通量）

在渦量場(chǎng)中取一微元面積dA，見圖7-9（a），其上流體微團(tuán)的渦通量為，為dA的外法線方向，定義

（7-26）

為任意微元面積dA上的旋渦強(qiáng)度，也稱渦通量。

任意面積A上的旋渦強(qiáng)度為：

（7-27）

如果面積A是渦束的某一橫截面積，就稱為渦束旋渦強(qiáng)度，它也是旋轉(zhuǎn)角速度矢量的通量。旋渦強(qiáng)度不僅取決于，而且取決于面積A。

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別二、速度環(huán)量、斯托克斯定理1．速度環(huán)量:在流場(chǎng)的某封閉周線上，如圖7-9（b），流體速度矢量沿周線的線積分，定義為速度環(huán)量，用符號(hào)表示，即:

(7-28)速度環(huán)量是一代數(shù)量，它的正負(fù)與速度的方向和線積分的繞行方向有關(guān)。對(duì)非定常流動(dòng)，速度環(huán)量是一個(gè)瞬時(shí)的概念，應(yīng)根據(jù)同一瞬時(shí)曲線上各點(diǎn)的速度計(jì)算，積分時(shí)為參變量。圖7-9微元面積、微元有向線段

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別

2．斯托克斯（Stokes）定理:在渦量場(chǎng)中，沿任意封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線所包圍曲面面積的旋渦強(qiáng)度，即:（7-29）

這一定理將旋渦強(qiáng)度與速度環(huán)量聯(lián)系起來，給出了通過速度環(huán)量計(jì)算旋渦強(qiáng)度的方法。

【例7-3】已知二維流場(chǎng)的速度分布為，，試求繞圓的速度環(huán)量。

【解】此題用極坐標(biāo)求解比較方便，坐標(biāo)變換為:

速度變換為

,流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別【例7-4】一二維元渦量場(chǎng)，在一圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑的圓區(qū)域內(nèi)，流體的渦通量。若流體微團(tuán)在半徑處的速度分量為常數(shù)，它的值是多少？

【解】由斯托克斯定理得：流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別三、湯姆孫定理、亥姆霍茲定理1．湯姆孫（Thomson）定理

理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，沿任何封閉流體周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間變化，即：證明：在流場(chǎng)中任取一由流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉周線K，它隨流體的運(yùn)動(dòng)而移動(dòng)變形，但組成該線的流體質(zhì)點(diǎn)不變。沿該線的速度環(huán)量可表示為式（7-28），它隨時(shí)間的變化率為：（7-30）流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別（7-30a）

由于質(zhì)點(diǎn)線K始終由同樣的流體質(zhì)點(diǎn)組成，

將其代入式（7-30a）等號(hào)右端第一項(xiàng)積分式：流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別

由理想流體的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程，式（7-30a）等號(hào)右端第二項(xiàng)積分式可表示為:

將上面的結(jié)果代入式（7-30a），并考慮到都是單值連續(xù)函數(shù)，得:

（7-30b）

或

斯托克斯定理和湯姆孫定理表明，理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，渦旋不會(huì)自行產(chǎn)生，也不會(huì)自行消失。流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別

2．亥姆霍茲（Helmholtz）定理

亥姆霍茲關(guān)于旋渦的三個(gè)定理，解釋了渦旋的基本性質(zhì)，是研究理想流體有旋流動(dòng)的基本定理。（1）亥姆霍茲第一定理：在理想正壓性流體的有旋流場(chǎng)中，同一渦管各截面上的旋渦強(qiáng)度相同。

如圖7－10所示，在同一渦管上任取兩截面A1、A2，在A1、A2之間的渦管表面上取兩條無限靠近的線段a1a2和b1b2。由于圖7－10

同一渦管上的兩截面

圖7－11

渦管上的封閉軸線流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別封閉周線a1a2b1b2a1所圍成的渦管表面無渦線通過，旋渦強(qiáng)度為零。根據(jù)斯托克斯定理，沿封閉周線的速度環(huán)量等于零，即：由于而，故得該定理說明，在理想正壓性流體中，渦管既不能開始，也不能終止。但可以自成封閉的環(huán)形渦管，或開始于邊界、終止于邊界。流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別（2）亥姆霍茲第二定理（渦管守恒定理）

理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，流場(chǎng)中的渦管始終由相同的流體質(zhì)點(diǎn)組成。如圖7－11所示，K為渦管表面上的封閉周線，其包圍的面積內(nèi)渦通量等于零。由斯托克斯定理知，周線K上的速度環(huán)量應(yīng)等于零；又由湯姆孫定理，K上的速度環(huán)量將永遠(yuǎn)為零，即周線K上的流體質(zhì)點(diǎn)將永遠(yuǎn)在渦管表面上。換言之，渦管上流體質(zhì)點(diǎn)將永遠(yuǎn)在渦管上，即渦管是由相同的流體質(zhì)點(diǎn)組成的，但其形狀可能隨時(shí)變化。

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別（3）亥姆霍茲第三定理（渦管強(qiáng)度守恒定理）

理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，任一渦管強(qiáng)度不隨時(shí)間變化。若周線K為包圍渦管任意的截面A的邊界線。由湯姆孫定理知，該周線上的速度環(huán)量為常數(shù)。根據(jù)斯托克斯定理截面A上的旋渦強(qiáng)度為常數(shù)。因?yàn)锳為任意截面，所以整個(gè)渦管各個(gè)截面旋渦強(qiáng)度都不瞬時(shí)間發(fā)生變化，即渦管的旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間變化。由亥姆霍茲三定理可知，粘性流體的剪切應(yīng)力將消耗能量，使渦管強(qiáng)度逐漸減弱。

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別第六節(jié)二維旋渦的速度和壓強(qiáng)分布假設(shè)在理想不可壓縮的重力流體中，有一象剛體一樣以等角速度繞自身軸旋轉(zhuǎn)的無限長(zhǎng)鉛垂直渦束，其渦通量為J。渦束周圍的流體在渦束的誘導(dǎo)下繞渦束軸等速圓周運(yùn)動(dòng)，由斯托克斯定理知。由于直線渦束無限長(zhǎng)，該問題可作一個(gè)平面問題研究。可以證明渦束內(nèi)的流動(dòng)為有旋流動(dòng)，稱為渦核區(qū)，其半徑為；渦束外的流動(dòng)區(qū)域?yàn)闊o旋流動(dòng)，稱為環(huán)流區(qū)。在環(huán)流區(qū)內(nèi)，速度分布為:在環(huán)流區(qū)內(nèi)，壓強(qiáng)分布由伯努里方程式導(dǎo)出。環(huán)流區(qū)內(nèi)半徑為的點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)處的伯努里方程:

（7-31）

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別式中的即為，為無窮遠(yuǎn)處的壓強(qiáng)。將代入上式得:由上式可知，在渦束外部的勢(shì)流區(qū)內(nèi)，隨著環(huán)流半徑的減小，流速上升而壓強(qiáng)降低；在渦束邊緣上，流速達(dá)該區(qū)的最高值，而壓強(qiáng)則是該區(qū)的最低值，即：渦束內(nèi)部的速度分布為:

（7-32）

（7-33）

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別

由于渦束內(nèi)部為有旋流動(dòng)，伯努利積分常數(shù)隨流線變化，故其壓強(qiáng)分布可由歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程導(dǎo)出。對(duì)于平面定常流動(dòng)，歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程為:

將渦核內(nèi)任意點(diǎn)的速度投影到直角坐標(biāo)上，則有，代入上式得:將和分別乘以以上二式，相加后得:

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別或

積分得:

在與環(huán)流區(qū)交界處，，代入上式，得積分常數(shù)：

得渦核區(qū)的壓強(qiáng)分布為：（7-30）

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別

由上式可知渦管中心的壓強(qiáng)最低，其大小為，渦核區(qū)邊緣至渦核中心的壓強(qiáng)差為

由以上討論可知，渦核區(qū)和環(huán)流區(qū)的壓強(qiáng)差相等，其數(shù)值均為。渦核區(qū)的壓強(qiáng)比環(huán)流區(qū)的的低。在渦束內(nèi)部,半徑愈小,壓強(qiáng)愈低，沿徑向存在較大的壓強(qiáng)梯度，所以產(chǎn)生向渦核中心的抽吸作用，渦旋越強(qiáng)，抽吸作用越大。自然界中的龍卷風(fēng)和深水旋渦就具有這種流動(dòng)特征，具有很大的破壞力。在工程實(shí)際中有許多利用渦流流動(dòng)特性裝置，如鍋爐中的旋風(fēng)燃燒室、離心式除塵器、離心式超聲波發(fā)生器、離心式泵和風(fēng)機(jī)、離心式分選機(jī)等。流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別第七節(jié)速度勢(shì)和流函數(shù)一速度勢(shì)函數(shù)對(duì)于無旋流場(chǎng)，處處滿足：，由矢量分析知，任一標(biāo)量函數(shù)梯度的旋度恒為零，所以速度一定是某個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度，即:因則有:

即流場(chǎng)的速度等于勢(shì)函數(shù)的梯度。因此，稱為速度勢(shì)函數(shù)，簡(jiǎn)稱速度勢(shì)；稱無旋流動(dòng)為有勢(shì)流動(dòng)，簡(jiǎn)稱勢(shì)流。這與單位質(zhì)量有勢(shì)力和有勢(shì)力場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)的關(guān)系相類似。（7－35）（7－36）流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別證明：結(jié)論：

無旋條件是速度有勢(shì)的充要條件。無旋必然有勢(shì)，有勢(shì)必須無旋。所以無旋流場(chǎng)又稱為有勢(shì)流場(chǎng)。速度勢(shì)的存在與流體是否可壓縮、流動(dòng)是否定常無關(guān)。

在笛卡兒坐標(biāo)系中：，由則，，代入或，，有所以得證流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別以上給出了在直角坐標(biāo)系中速度勢(shì)函數(shù)和速度的關(guān)系，在柱坐標(biāo)系中，，，

有勢(shì)流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)與速度的線積分有密切關(guān)系。若勢(shì)流中有一曲線AB，速度沿該曲線積分為

上式表明，有勢(shì)流動(dòng)中沿AB曲線的速度線積分等于終點(diǎn)B和起點(diǎn)A的速度勢(shì)之差。由于速度勢(shì)是單值的，則該線積分與積分路徑無關(guān)。這與力做的功和位勢(shì)的關(guān)系相類似。當(dāng)速度沿封閉軸線積分時(shí)即，周線上的速度環(huán)量等于零。（7-33）（7-34）（7-35）流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別

根據(jù)無旋條件，速度有勢(shì)：代入不可壓縮連續(xù)性條件 可得：或上述方程稱作不可壓無旋流動(dòng)的基本方程。在笛卡兒坐標(biāo)系中：

在柱坐標(biāo)系中：

式中為拉普拉斯算子。滿足拉普拉斯方程的函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，故速度勢(shì)是調(diào)和函數(shù)。

（7-36）（7-37）（7-38）流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別二流函數(shù)在笛卡兒坐標(biāo)系中，平面、不可壓縮流體的連續(xù)性方程可寫成:若定義某一個(gè)函數(shù)（流函數(shù)）令:

平面不可壓縮流體流函數(shù)的基本性質(zhì)1、等流函數(shù)線為流線當(dāng)常數(shù)時(shí)即：（7-39）,流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別2、流體通過兩流線間單位高度的體積流量等于兩條流線的流函數(shù)之差在x—y平面上任取A和B點(diǎn)，AB連線如圖7-12所示，則（A→B為使與同號(hào)）不論是理想流體還是粘性流體，不論是有旋的還是無旋的流動(dòng)，只要是不可壓縮（或定常可壓縮）流體的平面（或軸對(duì)稱）流動(dòng)，就存在流函數(shù)。圖7-12

流量與流函數(shù)的關(guān)系

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別由不可壓縮流體、平面、無旋流動(dòng)條件有：

將速度和流函數(shù)的關(guān)系代入上式得

在極坐標(biāo)系中：

故不可壓縮流體的平面無旋流動(dòng)流函數(shù)也滿足拉普拉斯方程，也是調(diào)和函數(shù)。（7-40）（7-41）流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別三速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的關(guān)系

對(duì)于不可壓縮流體的平面無旋流動(dòng)，速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)，且具有以下關(guān)系：該數(shù)學(xué)關(guān)系式稱為柯西—黎曼（Cauchy—Riemen）條件。由它可得：兩族曲線的正交條件。在平面上它們構(gòu)成處處正交的網(wǎng)絡(luò)，稱為流網(wǎng)。流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別【例7-6】已知不可壓縮流體平面勢(shì)流，其速度勢(shì)，試求速度投影和流函數(shù)?！窘狻坑伤俣葎?shì)可求得速度分量，由速度和流函數(shù)的關(guān)系，將速度代入流函數(shù)的關(guān)系式積分得將上式對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，并考慮速度和流函數(shù)的關(guān)系則有：上式對(duì)積分，得：代入原式有：流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別第八節(jié)幾種簡(jiǎn)單的平面勢(shì)流

一、均勻等速流二、點(diǎn)源和點(diǎn)匯

三、點(diǎn)渦流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別一均勻等速流流速的大小和方向沿流線不變的流動(dòng)為均勻流；若流線平行且流速相等，則稱均勻等速流。例如，其中為常數(shù)，便是這樣的流動(dòng)。由于積分得:（7-43a）由于積分得（7-43b）在以上二式中均取積分常數(shù)為零（下同），這對(duì)流動(dòng)的計(jì)算并無影響。流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別顯然，等勢(shì)線與流線是相互垂直的兩族直線，如圖7-13所示。若已知來流速度與x軸的夾角，則有:

由于流場(chǎng)中各點(diǎn)的速度相同，流動(dòng)無旋，故處處有

常數(shù)，即在流場(chǎng)中各點(diǎn)的總勢(shì)能保持不變。若是水平面上的均勻等勢(shì)流，或者不計(jì)重力的影響（例如大氣），則p=常數(shù)，即壓強(qiáng)在流場(chǎng)中處處相等。圖7-13

均勻等速流（7-43d）（7-43c）流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別二點(diǎn)源和點(diǎn)匯

無限大平面上，流體從一點(diǎn)沿徑向直線均勻地向外流出的流動(dòng)，稱為點(diǎn)源，這個(gè)點(diǎn)稱為源點(diǎn)；如果流體沿徑向均勻的流向一點(diǎn)，稱為點(diǎn)匯，這個(gè)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)。不論是點(diǎn)源還是點(diǎn)匯，流場(chǎng)中只有徑向速度，即圖7-14

源流和匯流

(a)(b)流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別根據(jù)流體的連續(xù)性原理，在極坐標(biāo)中流體流過任意單位高度圓柱面的體積流量（也稱為源流或匯流的強(qiáng)度）都相等，即

上式中點(diǎn)源取正號(hào)，點(diǎn)匯取負(fù)號(hào)。根據(jù)上式，只是的函數(shù)，所以積分得以上討論表明，當(dāng)時(shí)，，源點(diǎn)和匯點(diǎn)是奇點(diǎn)，以上和只有在＞0時(shí)才有意義。流函數(shù)和速度的關(guān)系為:（7-44a），流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別因此，只是的函數(shù)，故有

上式積分得根據(jù)以上得到的流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)可知，等勢(shì)線為不同半徑的同心圓，即=常數(shù)；流線為不同極角的徑線，即=常數(shù)。在水平面面上，對(duì)半徑處和無窮遠(yuǎn)處列伯努利方程

代入速度值后由上式可知，壓強(qiáng)隨著半徑的減小而降低。零壓強(qiáng)處的半徑為。以上各式僅適用于的區(qū)域。（7-44b）（7-44c）流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別三點(diǎn)渦若直線渦束的半徑，則垂直于該渦束的平面內(nèi)的流動(dòng)稱為點(diǎn)渦或自由渦流，渦流中心稱為渦點(diǎn)。渦點(diǎn)以外勢(shì)流區(qū)的速度分布仍為由以上關(guān)系式知，時(shí)，，所以渦點(diǎn)為奇點(diǎn)，該式僅適用于區(qū)域。由此式可見，只是的函數(shù)。故有積分得速度和流函數(shù)的關(guān)系為上式表明只是的函數(shù)，所以（7-45a）圖7-15點(diǎn)渦

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別上式積分得由上可知，點(diǎn)渦流場(chǎng)的等勢(shì)線為不同極角的徑線，即=常數(shù)；流線為不同半徑的同心圓，即=常數(shù)。與點(diǎn)源（或點(diǎn)匯）相反。點(diǎn)渦的強(qiáng)度即沿圍繞點(diǎn)渦軸線上的環(huán)量＞0時(shí)，環(huán)流為逆時(shí)針方向；＜0，環(huán)流為順時(shí)針方向。由斯托克斯定理知，點(diǎn)渦的強(qiáng)度取決于旋渦的強(qiáng)度。渦點(diǎn)以外勢(shì)流區(qū)的壓強(qiáng)和前述二維渦流流場(chǎng)壓強(qiáng)分布相同，其分布關(guān)系仍為式（7-32）。零壓強(qiáng)處的半徑為

上述各式的實(shí)際適用范圍為的區(qū)域。以上幾種簡(jiǎn)單的平面勢(shì)流實(shí)際中很少應(yīng)用，但它們是勢(shì)流的基本單元，若把幾種基本單元疊加在一起，可以形成許多有實(shí)際意義的復(fù)雜流動(dòng)。（7-45b）流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別第九節(jié)簡(jiǎn)單平面勢(shì)流的疊加

一、匯流和點(diǎn)渦疊加的流動(dòng)——螺旋流

二、源流和匯流疊加的流動(dòng)——偶極子流

幾個(gè)簡(jiǎn)單有勢(shì)流動(dòng)疊加得到的新的有勢(shì)流動(dòng)，其速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)分別等于原有幾個(gè)有勢(shì)流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的代數(shù)和，速度分量為原有速度分量的代數(shù)和。

研究勢(shì)流疊加原理的意義：將簡(jiǎn)單的勢(shì)流疊加起來，得到新的復(fù)雜流動(dòng)的流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)，可以用來求解復(fù)雜流動(dòng)。

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別一匯流和點(diǎn)渦疊加的流動(dòng)——螺旋流若點(diǎn)源和點(diǎn)渦均位于坐標(biāo)原點(diǎn)，組成一新的流場(chǎng)，其速度勢(shì)和流函數(shù)為（7-48）（7-49）（7-50）（7-51）圖7-16

螺旋流網(wǎng)

令以上的速度勢(shì)和流函數(shù)為常數(shù)，得到的等勢(shì)線和流線方程分別為：其圖像為圖7－16所示，等勢(shì)線和流線是兩組相互正交的對(duì)數(shù)螺旋線，故稱匯流和點(diǎn)渦疊加的流動(dòng)為螺旋流。其速度分布為:其適用范圍應(yīng)為：壓強(qiáng)分布可用前述方法導(dǎo)出，表達(dá)式為流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別二源流和匯流疊加的流動(dòng)——偶極子流（7-52）（7-53）圖7-17點(diǎn)源和點(diǎn)匯疊加

圖7-18偶極流

組合流動(dòng)的速度勢(shì)和流函數(shù)為兩個(gè)強(qiáng)度相等的位于點(diǎn)A(-a,0)的點(diǎn)源和位于點(diǎn)B(a,0)的點(diǎn)匯疊加，如圖7－17所示。由于是AP、BP之間的夾角，在流線上=常數(shù)，=常數(shù)。其圖像為經(jīng)過源點(diǎn)和匯點(diǎn)的圓線族流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別

當(dāng)時(shí)，源點(diǎn)和匯點(diǎn)無限接近，流量為無限增大，使得取有限值，稱這種流動(dòng)為偶極流。M為偶極子矩，其方向由源點(diǎn)指向匯點(diǎn)。當(dāng)為微量時(shí)，

故由式（7-52）（7-53）可得偶極流的速度勢(shì)和流函數(shù)分別為

即

即

（7-54）（7-55）

流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別若令式（7-54）等于常數(shù)，則得等勢(shì)線方程即等勢(shì)線的圖像為圓心在（）點(diǎn)上，半徑為并與y軸在原點(diǎn)相切的圓族，如圖7-18中虛線所示。令式（7-55）式等于常數(shù)時(shí)，可得流線方程：即流線的圖像是圓心為（）.半徑為并與x軸在原點(diǎn)相切的圓族，如圖7-18中實(shí)線所示。對(duì)速度勢(shì)函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，得出的偶極流的速度分布為（7-56），流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別第十節(jié)平行流繞過圓柱體無環(huán)流的平面流動(dòng)

平行流（均勻等速流）和偶極流疊加,可用來描述流體繞過圓柱體無環(huán)流的流動(dòng).若均勻等速流的速度為,沿x軸正向流動(dòng),偶極流的偶極矩為M。一、平行流與偶極流的疊加1.流網(wǎng)平行流：偶極流：疊加：（7－57）（7－58）流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別

流線方程為：當(dāng)常數(shù)C取不同的數(shù)值時(shí)，可得如圖7－19所示的流普。當(dāng)C＝0時(shí)對(duì)應(yīng)的流線，稱為零流線。圖7－19流體對(duì)圓柱體的無環(huán)量繞流

2、零流線

當(dāng)常數(shù)C＝0時(shí)，即零流線的流線方程：

由，得。

或

即：

可見，零流線為以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓和x軸。流體力學(xué)理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別二、平行繞流圓柱體無環(huán)流的流動(dòng)1、流函數(shù)和速度勢(shì)：2、流場(chǎng)中的速度分析（1）直角坐標(biāo)系：因?yàn)椋核裕海?－59a）（7－59b）（）（