聚類分析數(shù)學(xué)建模

聚類分析數(shù)學(xué)建模第一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五分類俗語說，物以類聚、人以群分。但什么是分類的根據(jù)呢？比如，要想把中國的縣分成若干類，就有很多種分類法；可以按照自然條件來分，比如考慮降水、土地、日照、濕度等各方面；也可以考慮收入、教育水準(zhǔn)、醫(yī)療條件、基礎(chǔ)設(shè)施等指標(biāo)；既可以用某一項(xiàng)來分類，也可以同時(shí)考慮多項(xiàng)指標(biāo)來分類。第二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五一、聚類分析的基本概念研究對(duì)樣品或指標(biāo)進(jìn)行分類的一種多元統(tǒng)計(jì)方法,是依據(jù)研究對(duì)象的個(gè)體的特征進(jìn)行分類的方法。聚類分析把分類對(duì)象按一定規(guī)則分成若干類，這些類非事先給定的，而是根據(jù)數(shù)據(jù)特征確定的。在同一類中這些對(duì)象在某種意義上趨向于彼此相似，而在不同類中趨向于不相似。職能是建立一種能按照樣品或變量的相似程度進(jìn)行分類的方法。第三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五聚類分析對(duì)于一個(gè)數(shù)據(jù)，人們既可以對(duì)變量（指標(biāo)）進(jìn)行分類(相當(dāng)于對(duì)數(shù)據(jù)中的列分類)，也可以對(duì)觀測(cè)值（事件，樣品）來分類（相當(dāng)于對(duì)數(shù)據(jù)中的行分類）。比如學(xué)生成績(jī)數(shù)據(jù)就可以對(duì)學(xué)生按照理科或文科成績(jī)（或者綜合考慮各科成績(jī)）分類，當(dāng)然，并不一定事先假定有多少類，完全可以按照數(shù)據(jù)本身的規(guī)律來分類。本章要介紹的分類的方法稱為聚類分析（clusteranalysis）。對(duì)變量的聚類稱為R型聚類，而對(duì)觀測(cè)值聚類稱為Q型聚類。這兩種聚類在數(shù)學(xué)上是對(duì)稱的，沒有什么不同。第四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五聚類分析的基本思想是認(rèn)為我們所研究的樣本或指標(biāo)（變量）之間存在著程度不同的相似性（親疏關(guān)系）。于是根據(jù)一批樣本的多個(gè)觀測(cè)指標(biāo)，具體找出一些彼此之間相似程度較大的樣本（或指標(biāo)）聚合為一類，把另外一些彼此之間相似程度較大的樣本（或指標(biāo)）又聚合為另一類，關(guān)系密切的聚合到一個(gè)小的分類單位，關(guān)系疏遠(yuǎn)的聚合到一個(gè)大的分類單位，直到把所有樣本（或指標(biāo)）都聚合完畢，把不同的類型一一劃分出來，形成一個(gè)由小到大的分類系統(tǒng)。最后把整個(gè)分類系統(tǒng)畫成一張譜系圖，用它把所有樣本（或指標(biāo)）間的親疏關(guān)系表示出來。這種方法是最常用的、最基本的一種，稱為系統(tǒng)聚類分析。第五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五飲料數(shù)據(jù)（drink.sav）16種飲料的熱量、咖啡因、鈉及價(jià)格四種變量第六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五如何度量遠(yuǎn)近？如果想要對(duì)100個(gè)學(xué)生進(jìn)行分類，如果僅僅知道他們的數(shù)學(xué)成績(jī)，則只好按照數(shù)學(xué)成績(jī)來分類；這些成績(jī)?cè)谥本€上形成100個(gè)點(diǎn)。這樣就可以把接近的點(diǎn)放到一類。如果還知道他們的物理成績(jī)，這樣數(shù)學(xué)和物理成績(jī)就形成二維平面上的100個(gè)點(diǎn)，也可以按照距離遠(yuǎn)近來分類。三維或者更高維的情況也是類似；只不過三維以上的圖形無法直觀地畫出來而已。在飲料數(shù)據(jù)中，每種飲料都有四個(gè)變量值。這就是四維空間點(diǎn)的問題了。第七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五兩個(gè)距離概念按照遠(yuǎn)近程度來聚類需要明確兩個(gè)概念：一個(gè)是點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離，一個(gè)是類和類之間的距離。點(diǎn)間距離有很多定義方式。最簡(jiǎn)單的是歐氏距離，還有其他的距離。當(dāng)然還有一些和距離相反但起同樣作用的概念，比如相似性等，兩點(diǎn)越相似度越大，就相當(dāng)于距離越短。由一個(gè)點(diǎn)組成的類是最基本的類；如果每一類都由一個(gè)點(diǎn)組成，那么點(diǎn)間的距離就是類間距離。但是如果某一類包含不止一個(gè)點(diǎn)，那么就要確定類間距離，類間距離是基于點(diǎn)間距離定義的：比如兩類之間最近點(diǎn)之間的距離可以作為這兩類之間的距離，也可以用兩類中最遠(yuǎn)點(diǎn)之間的距離作為這兩類之間的距離；當(dāng)然也可以用各類的中心之間的距離來作為類間距離。在計(jì)算時(shí)，各種點(diǎn)間距離和類間距離的選擇是通過統(tǒng)計(jì)軟件的選項(xiàng)實(shí)現(xiàn)的。不同的選擇的結(jié)果會(huì)不同，但一般不會(huì)差太多。第八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五二、距離用表示第i個(gè)樣本與第j個(gè)樣本之間的距離。一切距離應(yīng)滿足以下條件：每個(gè)樣本有p個(gè)指標(biāo)，因此每個(gè)樣本可以看成p維空間中的一個(gè)點(diǎn)，n個(gè)樣本就組成p維空間中的n個(gè)點(diǎn)，這時(shí)很自然想到用距離來度量n個(gè)樣本間的接近程度。第九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五常見的距離有：minkowskidistance（明氏距離）：當(dāng)q=1blockdistance絕對(duì)值距離:當(dāng)q=2squaredeuclideandistance平方歐式距離ú?ùê?é-?==ptqjtitxxdq11當(dāng)q=chebychevdistance切比雪夫距離第十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五明氏距離在實(shí)際中應(yīng)用的很多，

但也存在一些缺點(diǎn)：處理辦法：標(biāo)準(zhǔn)化2、指標(biāo)間的相關(guān)問題；1、量綱的問題；第十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五Mahalanobis馬氏距離改進(jìn)的辦法，采用馬氏距離第十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五⒉相似系數(shù)夾角余弦相關(guān)系數(shù)第十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五①夾角余弦兩變量的夾角余弦定義為：

第十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五②相關(guān)系數(shù)兩變量的相關(guān)系數(shù)定義為：

第十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五16系統(tǒng)聚類方法1、最短距離（NearestNeighbor)x21?x12?x22?x11?第十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五三、系統(tǒng)聚類法基本步驟1.選擇樣本間距離的定義及類間距離的定義；2.計(jì)算n個(gè)樣本兩兩之間的距離，得到距離矩陣

3.構(gòu)造個(gè)類，每類只含有一個(gè)樣本；4.合并符合類間距離定義要求的兩類為一個(gè)新類；5.計(jì)算新類與當(dāng)前各類的距離。若類的個(gè)數(shù)為1，則轉(zhuǎn)到步驟6，否則回到步驟4;6.畫出聚類圖；

7.決定類的個(gè)數(shù)和類。第十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)聚類分析的方法系統(tǒng)聚類法的聚類原則決定于樣品間的距離以及類間距離的定義，類間距離的不同定義就產(chǎn)生了不同的系統(tǒng)聚類分析方法。以下用dij表示樣品X(i)和X(j)之間的距離，當(dāng)樣品間的親疏關(guān)系采用相似系數(shù)Cij時(shí)，令；以下用D(p,q)表示類Gp和Gq之間的距離。第十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五3.重心法(CENtroidmethod)第十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五4.類平均法(AVEragemethod)第二十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五例為了研究遼寧等5省1991年城鎮(zhèn)居民生活消費(fèi)情況的分布規(guī)律，根據(jù)調(diào)查資料做類型分類，用最短距離做類間分類。數(shù)據(jù)如下：x1x2x3x4x5x6x7x8遼寧17.9039.778.4912.9419.2711.052.0413.29浙江27.6850.3711.3513.3019.2514.592.7514.87河南39.4227.938.208.1416.179.421.559.76甘肅49.1627.989.019.3215.999.101.8211.35青海510.0628.6410.5210.0516.188.391.9610.81第二十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五將每一個(gè)省區(qū)視為一個(gè)樣本，先計(jì)算5個(gè)省區(qū)之間的歐式距離，用D0表示距離矩陣（對(duì)稱陣，故給出下三角陣）因此將3.4合并為一類，為類6，替代了3、4兩類類6與剩余的1、2、5之間的距離分別為：

d(3,4)1=min(d31,d41)=min(13.80,13.12)=13.12d(3,4)2=min(d32,d42)=min(24.63,24.06)=24.06d(3,4)5=min(d35,d45)=min(3.51,2.21)=2.21第二十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五得到新矩陣合并類6和類5，得到新類7類7與剩余的1、2之間的距離分別為：

d(5,6)1=min(d51,d61)=min(12.80,13.12)=12.80d(5,6)2=min(d52,d62)=min(23.54,24.06)=23.54第二十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五得到新矩陣合并類1和類2，得到新類8此時(shí)，我們有兩個(gè)不同的類：類7和類8。它們的最近距離d(7,8)

=min(d71,d72)=min(12.80,23.54)=12.80第二十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五得到矩陣最后合并為一個(gè)大類。這就是按最短距離定義類間距離的系統(tǒng)聚類方法。最長距離法類似！第二十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五26最長距離（FurthestNeighbor）???x11?x21????第二十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五27??????組間平均連接（Between-groupLinkage)第二十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五28組內(nèi)平均連接法（Within-groupLinkage)x21?x12?x22?x11?第二十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五29重心法（Centroidclustering):均值點(diǎn)的距離??第二十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五類的個(gè)數(shù)的確定由適當(dāng)?shù)拈撝荡_定；根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的散布直觀地確定類的個(gè)數(shù)；根據(jù)統(tǒng)計(jì)量確定分類個(gè)數(shù)；第三十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五類的個(gè)數(shù)的確定根據(jù)譜系圖確定分類個(gè)數(shù)的準(zhǔn)則：各類重心間的距離必須很大；類中保包含的元素不要太多；類的個(gè)數(shù)必須符合實(shí)際應(yīng)用；如果采用幾種不同的聚類方法處理，則在各種聚類圖中應(yīng)該發(fā)現(xiàn)相同的類。第三十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五聚類分析1、系統(tǒng)聚類法------（分層聚類）系統(tǒng)聚類法是應(yīng)用最廣泛的一種（HierarchicalCluster過程）1）、聚類原則：都是相近的聚為一類，即距離最近或最相似的聚為一類。2）、分層聚類的方法可以用于樣本聚類（Q）型，也可以用于變量聚類（R型）。2、非系統(tǒng)聚類法-----（快速聚類法----K-均值聚類法）（K-meansCluster)3、兩步聚類法-----一種探索性的聚類方法（TwoStepCluster）第三十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五四、系統(tǒng)聚類的參數(shù)選擇㈠聚類類別：㈡統(tǒng)計(jì)㈢圖：樹型譜系圖冰柱譜系圖㈣聚類方法1.Between-groupslinkage類間平均法兩類距離為兩類元素兩兩之間平均平方距離2.Within-groupslinkage類內(nèi)平均法兩類距離為合并后類中可能元素兩兩之間平均平方距離3.Nearestneighbor最短距離法4.Furthestneighbor最長距離法5.Centroidclustering重心法(歐式距離)6.Medianclustering中間距離法(歐式距離)7.WardMethod離差平方法(歐式距離)第三十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五第三十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理：第三十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五存儲(chǔ)中間過程數(shù)據(jù)第三十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理，并存儲(chǔ)。第三十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五第三十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五指定5類第三十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五收斂標(biāo)準(zhǔn)值第四十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五存儲(chǔ)最終結(jié)果輸出情況，在數(shù)據(jù)文件中（QCL-1、QCL-2）第四十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五初始聚心選項(xiàng)，輸出方差分析表第四十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五初始聚類中心表第四十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五具體城市看后表最終聚類中心表第四十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五聚類結(jié)果：QCL-1說明聚類結(jié)果，QCL-2說明聚類的長度情況第四十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五主要城市日照時(shí)數(shù)第四十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五注：連續(xù)變量第四十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五第四十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五SPSS提供不同類間距離的測(cè)量方法1、組間連接法2、組內(nèi)連接法3、最近距離法4、最遠(yuǎn)距離法5、重心法6、中位數(shù)法7、Ward最小偏差平方和法第四十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五觀測(cè)量概述表第五十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五聚類步驟，與圖結(jié)合看！第五十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五第五十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五研究各種飲料在市場(chǎng)消費(fèi)的分配規(guī)律，試確定各種飲料消費(fèi)類型第五十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五第五十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五第五十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五第五十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五第五十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五第五十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五第五十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五聚類分析的第幾步哪兩個(gè)樣本或小類聚成一類相應(yīng)的樣本距離或小類距離指明是樣本(0)還是小類(n)下面第幾步用到第六十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五垂直冰柱圖顯示層次聚類分析從冰柱圖最后一行開始觀察，第一列表示類數(shù)第六十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五兩步聚類法TwoStepCluster

一種探索性的聚類方法，是隨著人工智能的發(fā)展起來的智能聚類方法中的一種。用于解決海量數(shù)據(jù)或具有復(fù)雜類別結(jié)構(gòu)的聚類分析問題。兩步聚類法特點(diǎn)：1、同時(shí)處理離散變量和連續(xù)變量的能力2、自動(dòng)選擇聚類數(shù)3、通過預(yù)先選取樣本中的部分?jǐn)?shù)據(jù)構(gòu)建聚類模型4、可以處理超大樣本量的數(shù)據(jù)第六十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期五簡(jiǎn)單介紹基本原理分兩步進(jìn)行第一步：預(yù)聚類。對(duì)記錄進(jìn)