《空間向量的夾角》教學(xué)設(shè)計

《空間向量的夾角》教學(xué)設(shè)計——第二冊（下）“空間向量的坐標運算”第三課時蔣敏慧一、教材分析1、教材的地位與作用本節(jié)課是在已完成了“平面向量的數(shù)量積公式、夾角公式，空間向量的坐標表示，空間向量的數(shù)量積”等內(nèi)容的教學(xué)以后進行的，是《空間向量的坐標運算》的第3課時，是空間向量在立體幾何中的簡單應(yīng)用。這節(jié)課的教學(xué)，為向量在數(shù)學(xué)和物理上的綜合運用奠定了基礎(chǔ)。按照傳統(tǒng)方法解立體幾何題，需要有較強的空間想象能力、演繹推理能力以及作圖能力，學(xué)生往往由于這些能力的不足造成解題困難。用向量法處理立體幾何問題，把對空間圖形的研究從“定性推理”轉(zhuǎn)化為“定量計算”，有助于學(xué)生克服空間想象力的障礙而順利解題。2、教學(xué)重點難點重點：空間向量夾角公式及其坐標表示法；選擇恰當?shù)姆椒ㄇ髢蓷l異面直線的夾角。難點：兩條異面直線的夾角與兩個空間向量的夾角之間的區(qū)別；恰當?shù)臉?gòu)建空間直角坐標系，并正確求出點的坐標及向量的坐標。關(guān)鍵：建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，正確寫出空間向量的坐標，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。二、教學(xué)目標1、知識目標：①使學(xué)生掌握空間向量的夾角公式及其簡單應(yīng)用；②提高學(xué)生選擇恰當?shù)姆椒ㄇ髢蓷l異面直線夾角的技能；2、能力目標：①在與平面向量的夾角公式的比較基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、類比轉(zhuǎn)化的能力；②通過對空間幾何圖形的探究，使學(xué)生會恰當?shù)亟⒖臻g直角坐標系；通過空間向量的坐標表示法的學(xué)習，使學(xué)生經(jīng)歷對空間圖形的研究從“定性推理”到“定量計算”的轉(zhuǎn)化過程，從而提高分析問題、解決問題的能力。3、情感目標：①通過自主探究與合作交流的教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)置，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習熱情和求知欲，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位；②通過數(shù)形結(jié)合的思想和方法的應(yīng)用，讓學(xué)生感受和體會數(shù)學(xué)的魅力，培養(yǎng)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的習慣和熱情。三、教學(xué)方法與手段1、教學(xué)方法：采用啟發(fā)式講解、互動式討論、研究式探索、反饋式評價等授課方式，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，營造生動活潑的課堂教學(xué)氛圍。2、學(xué)習方法：自主探索、觀察發(fā)現(xiàn)、類比猜想、合作交流。3、教學(xué)手段：借助多媒體計算機（幾何畫板、實物投影、幻燈片等）輔助教學(xué)，增強課堂教學(xué)的生動性與直觀性。四、教學(xué)程序教學(xué)程序教學(xué)內(nèi)容設(shè)計說明1、創(chuàng)設(shè)情境復(fù)習引F1F1A1EDC1CB1D1BA情境：如圖1已知正方體ABCD-A1B1C1D中，，求證與垂直。問題1:若將E點在AA1，A1B1上移動，若移至A1B1的E1處，如圖2，又如何確定與的夾角？DDC1CB1A1D1F1E1BAE圖1圖2學(xué)生活動——復(fù)習回顧1、學(xué)生回顧上節(jié)課學(xué)習的:兩個非零向量2、由教師提出當點E在AA1、A1B1上移動時，與還是否垂直?3、以將點E移至E1處為例，我們又將如何確定與的夾角？從而很自然的引出本節(jié)課的課題，拉開了本節(jié)課教學(xué)的序幕。2、建構(gòu)數(shù)學(xué)（學(xué)生歸納，教師總結(jié)）類比推廣類比：對于平面內(nèi)兩個向量的夾角問題我們是如何求得的?問題2：是否可以將平面內(nèi)求得兩個向量的夾角公式推廣到空間?公式的形式有何變化？學(xué)生活動——類比推廣通過與平面向量的夾角公式的類比，讓學(xué)生猜想空間兩個非零向量的夾角公式，然后推廣到空間。希望提高學(xué)生的類比轉(zhuǎn)化能力。對于空間兩個非零向量，其夾角為θ，仍有，用坐標表示為。（將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，讓學(xué)生體驗將空間形式的研究，從“定性”推理到“定量”計算的轉(zhuǎn)化。提高學(xué)生的類比轉(zhuǎn)化能力，讓學(xué)生感受知識貨的的過程）練習求下列兩個向量夾角的余弦值（1），（2）。學(xué)生活動——及時鞏固為了及時鞏固空間向量的夾角公式，我設(shè)計了以下兩道直接利用公式求空間向量夾角的練習題，以達到學(xué)以致用，熟能生巧的目的。3、知識運用（學(xué)生活動為主，教師活動為輔）例題例1．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，，求BE1與DF1所成角的ABABDC1CB1A1D1F1E1zyzyDC1CB1A1D1F1E1BAxDDAC1CBB1A1D1F1E1EF學(xué)生活動——例題講解（發(fā)散性思維）一方面解決課題引入中的問題，一方面體現(xiàn)空間向量的應(yīng)用。學(xué)生可能想到的解法有：方法一：傳統(tǒng)的幾何法-—平移法，即將兩條異面直線平移直至構(gòu)成一個三角形，利用余弦定理而求得；方法二：向量法由學(xué)生建立空間直角坐標系，求出相關(guān)點的坐標，從而求得對應(yīng)向量的坐標，代入公式，由于學(xué)生所取向量的方向不一樣，求出而有的學(xué)生求出的是突破難點學(xué)生提問：此題所求的是兩條異面直線的夾角，而不是兩個空間向量的夾角，兩者有什么區(qū)別？我們又如何轉(zhuǎn)化為本題的結(jié)論？由師生共同比較兩條異面直線的夾角與兩個空間向量的夾角的區(qū)別，以突破本節(jié)課的難點之一。小結(jié)評價問題3：利用空間向量解決立體幾何中求夾角問題的一般步驟是什么？當?shù)臉?gòu)建空間直角坐標系，求得所對應(yīng)點的坐標；(2)用坐標表示空間向量及其數(shù)量積；(3)代入空間向量夾角公式的坐標形式；(4)提煉共性，轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論。使學(xué)生養(yǎng)成對新的一種方法及時總結(jié)的學(xué)習習慣，使得學(xué)生達到系統(tǒng)掌握的目的。同時將利用向量求兩條異面直線的夾角的方法推廣到一般。為學(xué)生解決異面直線夾角問題提供新視角。題組練習一DAC1CBB1A1D1M如圖，在正方體ABCD-A1B1C1DAC1CBB1A1D1M學(xué)生活動——掌握理解讓學(xué)生分組討論，尋求解決某個問題的多種途徑，再對各種途徑進行比較。歸納學(xué)生的方法，大致可分為幾何法、向量法兩類。通過本題，建議學(xué)生在實際運用中，選擇恰當?shù)姆椒?，使得我們解題過程變得更簡單。倡導(dǎo)一種自主探索、動手實踐、合作交流的學(xué)習數(shù)學(xué)的方式。例題DAC1CBB1A1D1例2.沿著正方體ABCD-A1B1C1D1相鄰的三個面的對角線去截正方體，得到一個新的幾何體B1-ADAC1CBB1A1D1FFEC1BB1A1問題4：如何正確放置幾何體，可以構(gòu)建恰當?shù)目臻g直角坐標系？學(xué)生活動——例題講解從我們較為熟悉的正方體中截出一個我們不熟悉的新的幾何體，如何在一個新的幾何體中研究兩條異面直線所成的角?由于學(xué)生初次接觸到這樣一個幾何體，學(xué)生開始時可能會感到有些茫然不知所措，所以教師將通過提出問題4將學(xué)生帶入到一個建系的過程中去，建系是本節(jié)課的一個難點，同時也是關(guān)鍵。優(yōu)化方案DADAC1CBB1A1D1FEzyxB1B1A1BC1FEzyx通過學(xué)生探究幾何圖形,并思考討論,由學(xué)生的認知水平,學(xué)生可能給出以下兩種方法：方法一：補形——將問題轉(zhuǎn)化為正方體中的兩條異面直線的夾角問題。方法二：翻轉(zhuǎn)——將圖形翻轉(zhuǎn)，以B1為原點,建立空間直角坐標系。課后思考：是否有其它建系的方法。建系之后，將求空間內(nèi)相關(guān)點的坐標轉(zhuǎn)化為求平面內(nèi)點的坐標。再求得對應(yīng)向量的坐標，代入夾角公式，求得或加強學(xué)生對兩個空間向量的夾角與兩條異面直線的夾角的概念的理解。突破了本節(jié)課的另一個難點，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。題組練習二必做題：1.設(shè)點O(0，0，0)，A(0，1，1)，B(1，1，1)，C(0，0，1)，異面直線OA與BC夾角為θ，則θ的值為（）A.60°B.120°C.-60°D.240°DAC1CBB1A1D1DAC1CBB1A1D1選做題：沿著正方體ABCD-A1B1C1D1對角面A1BCD1去截正方體，得到一個新的幾何體D1CC1-A1BB1，E、F分別是A1D1，D1C1的中點，求異面直線BE與ACC1CBB1A1D1FEDDAC1CBB1A1D1學(xué)生活動——鞏固提高我設(shè)計了兩組不同層次的練習題：必做題和選做題，讓學(xué)生自主選擇，然后由學(xué)生利用實物投影展示自己的解答，并分析解題思路。設(shè)計意圖：1、鼓勵學(xué)生選擇不同的解題方法，提倡創(chuàng)新思維；2、通過學(xué)生對題目和方法的自主選擇，為不學(xué)生習能力的學(xué)生提供廣闊的空間；3、充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，發(fā)展學(xué)生的個性；4、培養(yǎng)學(xué)生善于分析、樂于探索的鉆研精神。反饋評價：對學(xué)生在動手實踐過程中勇于思考、積極探索的學(xué)習態(tài)度給予充分的肯定；同時指出學(xué)生在練習中值得注意的以下幾個問題：1、將求空間點的坐標正確轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)點的坐標；2、理解兩個空間向量的夾角與兩條異面直線夾角的區(qū)別；3、選擇恰當?shù)姆椒ㄇ髪A角，理解向量法不是求夾角的唯一方法，也不一定是最佳途徑。4、歸納總結(jié)（師生共同歸納）總結(jié)（1）空間向量的夾角公式及其坐標表示；（2）構(gòu)建恰當?shù)目臻g直角坐標系，正確寫出點的坐標及向量的坐標；（3）兩條異面直線的夾角與兩個向量的夾角之間的區(qū)別；（4）掌握類比猜想的方法，將平面問題向空間問題推廣，將幾何問題向代數(shù)問題轉(zhuǎn)化，提高類比轉(zhuǎn)化的能力。學(xué)生活動——歸納總結(jié)通過對本節(jié)課的知識和方法的回顧，讓學(xué)生自己歸納小結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力。5．鞏固作業(yè)鞏固作業(yè)感受·理解：1.如圖，在正方ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是AA1、BB1的中點，求直線CM與D1思考·運用：DAC1CBB1A1D1MNCDAC1CBB1A1D1MNC1ACBB1A1題1圖題2圖探究·拓展：3.利用空間向量是否可以求直線與平面所成的角，二面角，點到平面的距離，兩異面直線之間的距離等其它空間夾角與距離問題？學(xué)生活動——理解掌握從三個不同的層次布置鞏固作業(yè)，通過自主解決作業(yè)中的問題，既讓學(xué)生體會到收獲成功的喜悅，又能在層層提高的作業(yè)中讓學(xué)生檢查自己對知識和方法的掌握程度，并且培養(yǎng)學(xué)生課后復(fù)習，課前預(yù)習的良好學(xué)習習慣。五、教學(xué)評價1、教學(xué)過程中以問題為載體，學(xué)生活動為主線，重視為學(xué)生提供了探究問題、分析問題、解決問題的活動空間；空間向量是教材新增加的內(nèi)容，它將復(fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，具有相對的優(yōu)越性，但不是絕對的，實際應(yīng)用時要恰當選擇，合理運用。2、注意觀察學(xué)生在教學(xué)各環(huán)節(jié)中的表現(xiàn)，看其是否能做到積極的探究和主動地與他人合作交流。對學(xué)生在學(xué)習過程的良好表現(xiàn)及時鼓勵；通過對學(xué)生解題方法的收集與評價，及時肯定學(xué)生表現(xiàn)出的創(chuàng)新能力和解決問題的能力；通過設(shè)置不同層次的變式訓(xùn)練、題組練習和課后作業(yè)，對學(xué)生學(xué)習能力和學(xué)習效果進行及時檢驗，為補償性教學(xué)提供依據(jù)。設(shè)計說明一、對教材的地位與作用的說明本節(jié)課是《空間向量的坐標運算》的第三課時，有平面向量的數(shù)量積公式及其變形公式的知識基礎(chǔ)，是在學(xué)習了空間向量的坐標表示，以及空間向量的數(shù)量積以后，對空間向量的簡單應(yīng)用，為后面向量在物理和數(shù)學(xué)上的綜合運用奠定了基礎(chǔ)。按照傳統(tǒng)方法解立體幾何題，需要有較強的空間想象能力、邏輯推理能力以及作圖能力，學(xué)生往往由于這些能力的不足造成解題困難。用向量處理立體幾何問題，可使學(xué)生克服空間想象力的障礙而順利解題。尤其是向量用坐標表示后，可使空間結(jié)構(gòu)系統(tǒng)地代數(shù)化，把空間形式的研究從“定性”推理轉(zhuǎn)化為“定量”計算，有助于學(xué)生克服空間想象力的障礙而順利解題。二、對教法與學(xué)法的說明本節(jié)課的目的是希望學(xué)生通過對空間立體幾何圖形的探究，進一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，通過與平面向量的類比運算，和空間向量的坐標運算將幾何問題代數(shù)化，培養(yǎng)學(xué)生的類比轉(zhuǎn)化思想，從而提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。所以在教學(xué)方法和教學(xué)手段的選擇上，遵循“以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的原則，充分調(diào)動學(xué)生的積極性，倡導(dǎo)學(xué)生“自主探索、動手實踐、合作交流”的學(xué)習數(shù)學(xué)的方式，力求體現(xiàn)教師的設(shè)計者、組織者、幫助者的地位，突出學(xué)生的主體地位。三、對教學(xué)流程的說明本節(jié)課的教學(xué)過程以問題為載體，學(xué)生活動為主線，有意識地留給學(xué)生適度的思維空間，讓學(xué)生在思考與實踐中探索、類比、猜想、發(fā)現(xiàn)并獲得新知，主要流程是：通過創(chuàng)設(shè)情境，以師生的活動為主線，將構(gòu)建數(shù)學(xué)——知識運用——鞏固提高——總結(jié)作業(yè)等環(huán)節(jié)串聯(lián)一體。利用多媒體輔助教學(xué)，為學(xué)生營造一種良好的探究、創(chuàng)新的學(xué)習氛圍，激發(fā)學(xué)生學(xué)習的興趣，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。并從不同的角度訓(xùn)練不同層次的學(xué)生的學(xué)習，使傳授知識和培養(yǎng)能力融為一體。四、對評價的說明1、教學(xué)過程中以問題為載體，學(xué)生活動為主線，為學(xué)生提供了探究問題、分析問題、解決問題的活動空間；空間向量作為新增加的內(nèi)容，將復(fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)