新編高等數(shù)學(xué)PPT全套教學(xué)課件

第一章

函數(shù)高等數(shù)學(xué)是從研究函數(shù)開始的。本章將在已有函數(shù)知識的基礎(chǔ)上，進一步理解函數(shù)概念，并介紹反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)及初等函數(shù)的主要性質(zhì)，為高等數(shù)學(xué)后續(xù)幾章的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。1高等數(shù)學(xué)-第1章函數(shù)2高等數(shù)學(xué)-第2章極限與連續(xù)3高等數(shù)學(xué)-第3章導(dǎo)數(shù)與微分4高等數(shù)學(xué)-第4章中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用5高等數(shù)學(xué)-第5章不定積分6高等數(shù)學(xué)-第6章定積分及其應(yīng)用7高等數(shù)學(xué)-第7章微分方程8高等數(shù)學(xué)-第8章無窮級數(shù)1函數(shù)及其表示法2函數(shù)的特性3初等函數(shù)第一節(jié)函數(shù)及其表示法4函數(shù)的概念是德國數(shù)學(xué)家狄利克萊在1837年抽象出的，至今仍為人們易于接受，并且較為合理的函數(shù)概念。定義設(shè)x和y是兩個變量。D是一個給定的數(shù)集，如果對于每個數(shù)x

D，變量按照一定的法則總有確定的數(shù)值和它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記作因變量自變量y=f(x)數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域。對應(yīng)的y值的變化范圍叫做函數(shù)的值域，記作5由函數(shù)的定義可以看出，函數(shù)概念有兩個要素：定義域和對應(yīng)法則。如果兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)法則也相同，則這兩個函數(shù)就是相同的，否則是不同的。求函數(shù)定義域的常見方法：①分式的分母不為零；②偶次根式中被開方數(shù)非負；③對數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1，真數(shù)大于零；④實際問題要考慮使問題有實際意義；⑤若函數(shù)由多個式子表示，求出它們的交集。6例1-1

求下列函數(shù)的定義域：（1）解：由解得所以函數(shù)定義域為（2）解：由解得所以函數(shù)定義域為7求函數(shù)解析式常見方法有定義法、待定系數(shù)法、換元法、配湊法。函數(shù)的表示方法一般有三種：公式法，圖示法，表格法。公式法也叫解析法，常用于理論研究，是我們使用最多的方法。

例1-2求，求。解：令，則，且由得。將代入中，得所以，注意：利用換元法時要考慮新變量的取值范圍。8

例1-3函數(shù)y=x2，

定義域D=(–，+)，值域W=[0，+)yxy=x2OxOy=x3y

例1-4函數(shù)y=x3，

定義域D=(–，+)，值域W=(–，+)9

例1-5函數(shù)

，定義域D

和值域W

都是除去數(shù)0

之外的全體實數(shù)，圖像為等軸雙曲線。yxOOyxy=|x|

例1-6函數(shù)，這是絕對值函數(shù)，定義域D=(–，+)，值域W=[0，+)10

例1-7符號函數(shù)

定義域D=(–，+)，值域W={–1，0，1}y=sgn

x1-1xyO11例1-8分段函數(shù)：在自變量的不同變化范圍中，用不同的解析式表示的函數(shù)。分段函數(shù)是定義域上的一個函數(shù)，不是多個函數(shù)，分段函數(shù)需要分段求值，分段作圖。y=x2-1y=2x-1yxO1-1-1第二節(jié)函數(shù)的特性131.函數(shù)的有界性定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)

的定義域為D，區(qū)間

。如果存在正數(shù)M，使得對于任意

x∈I，恒有則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界；如果這樣的M不存在，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上無界。y=f(x)XM-MyxoxM-MyoX有界無界14顯然，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界，使上述不等式成立的常數(shù)M不是唯一的，有界性體現(xiàn)在常數(shù)M的存在性。函數(shù)的有界性依賴于區(qū)間，例如：在區(qū)間（1，2）內(nèi)有界，而在區(qū)間（0，1）內(nèi)無界。函數(shù)函數(shù)的有界性還可以表述為：如果存在常數(shù)M1、M2，使得對于任意

x∈I，恒有則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界，M1

稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的下界，有界，M2

稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的上界。152.函數(shù)的單調(diào)性定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)

的定義域為D，區(qū)間

。如果對于區(qū)間I

內(nèi)的任意兩點x1

及x2，當(dāng)x1

<

x2時，恒有則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)是單調(diào)增加的（簡稱遞增）；如果對于區(qū)間I

內(nèi)的任意兩點x1

及x2，當(dāng)x1

<

x2時，恒有則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)是單調(diào)減少的（簡稱遞減）。單調(diào)增加函數(shù)和單調(diào)減少函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。使函數(shù)保持單調(diào)的區(qū)間叫做單調(diào)區(qū)間。16xyoxyo單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)增加函數(shù)的圖像是沿x

軸正向逐漸上升的，可以用符號↗表示；單調(diào)減少函數(shù)的圖像是沿x

軸正向逐漸下降的，可以用符號↘表示。例如：判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有觀察圖像法、定義法、求導(dǎo)法等。函數(shù)y=x3，在區(qū)間(–，+)上↗；而函數(shù)y=x2，在區(qū)間(–，0)上↘，在區(qū)間(0，+)上↗。173.函數(shù)的奇偶性定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域D關(guān)于原點對稱（即若x∈D，則-x∈D），如果對于任意

x∈D，有f(-

x)=f(x)則稱f(x)為偶函數(shù)；f(-

x)=-f(x)則稱f(x)為奇函數(shù)。yxOx–xyxOx–x18奇函數(shù)的圖形是關(guān)于原點中心對稱的，偶函數(shù)的圖形是關(guān)于軸對稱的。兩個奇函數(shù)之和仍是奇函數(shù)，兩個偶函數(shù)之和仍是偶函數(shù)；兩個奇函數(shù)之積是偶函數(shù)，兩個偶函數(shù)之積也是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之積是奇函數(shù)。

例如：y=x3、y=sinx、y=tanx是奇函數(shù)；

y=x2

、y=cosx是偶函數(shù)。

而有：y=x3+sinx是奇函數(shù)；

y=x2+cosx是偶函數(shù)；

y=x3sinx、y=x2cosx都是偶函數(shù)；y=x3cosx是奇函數(shù)。194.函數(shù)的周期性定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D。如果存在一個不為零的實數(shù)T，使得對于任意的

x∈D，有

x±T∈D，且f(x)

=f(x±T)

恒成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，T為函數(shù)的周期。通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期。

例如：y=sinx、y=cosx是以2π

為周期的周期函數(shù)；

y=tanx是以π

為周期的周期函數(shù)。上述四種特性中，有界性和單調(diào)性是函數(shù)的局部特性，奇偶性和周期性是函數(shù)的整體特性。這四種特性是從不同角度來研究函數(shù)的。第三節(jié)初等函數(shù)21一、反函數(shù)在函數(shù)關(guān)系中，自變量和因變量的地位往往是相對的，可以把任意一個變量看作是自變量或因變量。定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D，值域為W。如果對于W中的每一個

y，都有唯一的

x∈D，使得

f(x)

=y

，此時得到一個定義在W上的新函數(shù)，此函數(shù)稱為y=f(x)的反函數(shù)，記作而y=f(x)稱為直接函數(shù)。由定義可見，反函數(shù)的定義域是直接函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是直接函數(shù)的定義域。22一、反函數(shù)函數(shù)的實質(zhì)在于它的定義域和對應(yīng)法則，而用什么字母表示自變量和因變量是無關(guān)緊要的。習(xí)慣上常以x

表示自變量，y

表示因變量，因此常常對調(diào)x與y，把反函數(shù)改寫成今后提到的反函數(shù)，一般就是指這種經(jīng)過改寫的反函數(shù)。函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱。yxOy=f-1

(x)y=f(x)y=xP(a,b)Q(b,a)23一、反函數(shù)例1-9求函數(shù)（）的反函數(shù)。解：由，解得，將

x與y互換，得一般地，求y=f(x)的反函數(shù)的步驟為：（1）先從y=f(x)中解出

x=f

–1

(y)；（2）再交換x，y，同時求出新的定義域（即直接函數(shù)的值域）。24二、基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)是最常見、最基本的函數(shù)?；境醯群瘮?shù)包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。1.常數(shù)函數(shù)（C

為常數(shù)）y=Cy

xOC稱為常數(shù)函數(shù)。其定義域為(–，+)，

值域為{C}。圖像為一條垂直于y

軸的直線。函數(shù)25二、基本初等函數(shù)2.冪函數(shù)（k

為常數(shù)）稱為冪函數(shù)。對于任意的k，xk

在(0，+)內(nèi)都有定義；對于不同的k，xk的定義域有所不同。

冪函數(shù)的圖像過點（1，1）。函數(shù)O11y=xy=x2xy26二、基本初等函數(shù)3.指數(shù)函數(shù)（a

為常數(shù)且a>0，a

≠1）稱為指數(shù)函數(shù)。其定義域為(–，+)，

值域為(0，+)。函數(shù)的圖像過點（0，1）。函數(shù)yxO(0,1)y=axa>1y=ax0<a<1當(dāng)0<a<1時，函數(shù)ax

單調(diào)減少；當(dāng)a>1時，函數(shù)ax

單調(diào)增加。特別的，當(dāng)a=e

時，指數(shù)函數(shù)為y=ex

（不提底數(shù)時默認特指）。27二、基本初等函數(shù)4.對數(shù)函數(shù)（a

為常數(shù)且a>0，a

≠1）稱為對數(shù)函數(shù)，它是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。其定義域為(0，+)，

值域為(–，+)。函數(shù)的圖像過點（1，0）。函數(shù)當(dāng)0<a<1時，函數(shù)logax

單調(diào)減少；當(dāng)a>1時，函數(shù)logax

單調(diào)增加。特別的，當(dāng)a=e

時，對數(shù)函數(shù)為y=lnx

（不提底數(shù)時默認特指）。yxO(1,0)y=logaxa>1y=logax

0<a<128二、基本初等函數(shù)5.三角函數(shù)正弦函數(shù)y=sinx的定義域為(–，+)，

值域為[–1，1]。它是奇函數(shù)，是周期為2π

的周期函數(shù)。三角函數(shù)有六個，它們是正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)，余切函數(shù)，正割函數(shù)secx，余割函數(shù)cscx。yx-11余弦函數(shù)y=cosx的定義域為(–，+)，

值域為[–1，1]。它是偶函數(shù)，是周期為2π

的周期函數(shù)。yx-1129二、基本初等函數(shù)正切函數(shù)y=tanx的定義域為，

值域為(–，+)。它是奇函數(shù)，是周期為π

的周期函數(shù)。余切函數(shù)y=cotx的定義域為，

值域為(–，+)。它是奇函數(shù)，是周期為π

的周期函數(shù)。yxyx30二、基本初等函數(shù)6.反三角函數(shù)反正弦函數(shù)y=arcsinx是y=sinx的反函數(shù)，其定義域為[–1，1]，值域為，是單調(diào)增加的奇函數(shù)。yxO1-1反余弦函數(shù)y=arccosx是y=cosx（x∈[0，π]）的反函數(shù)，其定義域為[–1，1]，值域為[0，π]，是單減函數(shù)。1-1yxO31二、基本初等函數(shù)反正切函數(shù)y=arctanx是y=tanx的反函數(shù)，其定義域為(–，+)，值域為，是單調(diào)增加的奇函數(shù)。yxOxyO反余切函數(shù)y=arccotx是y=cotx（x∈(0，π)

）的反函數(shù)，其定義域為(–，+)，值域為(0，π)

，是單減函數(shù)。32三、復(fù)合函數(shù)簡單函數(shù)就是基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的加減乘除四則運算得到的函數(shù)。例如就是簡單函數(shù)。而若設(shè)

y=u3

，u=1+2x，則后者代入前者可得函數(shù)

定義設(shè)函數(shù)y=f(u)的定義域為D，而函數(shù)u=φ(x)的值域為Z

；若D

∩

Z，則稱函數(shù)y=f

[φ(x)]為變量x

的復(fù)合函數(shù)。此函數(shù)即為由

y=u3

、u=1+2x復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。33三、復(fù)合函數(shù)解：（1）復(fù)合函數(shù)可以看作由簡單函數(shù)復(fù)合而成，其定義域為[–1，1]。例1-10將復(fù)合函數(shù)分解成簡單函數(shù)：

（1）；（2）及

（2）復(fù)合函數(shù)可以看作由簡單函數(shù)復(fù)合而成，其定義域為(–，+)。及注意：不是任何兩個簡單函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)。34三、復(fù)合函數(shù)解：（1）復(fù)合函數(shù)可以看作由下面三個簡單函數(shù)復(fù)合而成：例1-11將復(fù)合函數(shù)分解成簡單函數(shù)：

（1）；（2）

（2）復(fù)合函數(shù)可以看作由下面四個簡單函數(shù)復(fù)合而成：復(fù)合函數(shù)不僅可以由兩個簡單函數(shù)復(fù)合而成，也可以由三個或三個以上的簡單函數(shù)復(fù)合而成。，，，，，

這種將一個復(fù)合函數(shù)分解成多個簡單函數(shù)的復(fù)合，在后面函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算中是十分重要的。

35三、復(fù)合函數(shù)

定義

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并且可以用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。

例如等都是初等函數(shù)。而分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)，如符號函數(shù)y=sgnx就不是初等函數(shù)。絕對值函數(shù)函數(shù)y=|x|雖可分段表示，但由于故仍是初等函數(shù)。今后我們遇到的函數(shù)有許多不是初等函數(shù)，但在本課程中具體討論的大都是初等函數(shù)。Thank!第二章

極限與連續(xù)高等數(shù)學(xué)是研究函數(shù)變化性質(zhì)的一門學(xué)科，極限理論是基礎(chǔ)，極限方法是基本方法，高等數(shù)學(xué)的重要概念都是通過極限來定義的。本章介紹極限的概念、性質(zhì)及運算法則，在此基礎(chǔ)上建立函數(shù)連續(xù)的概念，討論連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。1數(shù)列的極限2函數(shù)的極限3無窮小與無窮大4極限的運算法則5兩個重要極限6函數(shù)的連續(xù)性第一節(jié)數(shù)列的極限40極限的概念是由于求某些問題的精確解而產(chǎn)生的，我們先介紹古代數(shù)學(xué)家劉徽（魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家），利用圓的內(nèi)接正多邊形來推算圓的面積的方法——割圓術(shù)。設(shè)有一圓，先做內(nèi)接正六邊形，其面積記為A1，再作內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A2，再作內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A3，依次逐漸將邊數(shù)加倍。這樣就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積：這就是一個數(shù)列。“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”。一、數(shù)列的概念A(yù)1，A2，A3，……，An，……41一般地說，按自然數(shù)1，2，3，……編號依次排列的一列數(shù)稱為一個無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列。其中的每一個數(shù)稱為數(shù)列的一個項，xn，稱為數(shù)列的通項或一般項。通項為xn

的數(shù)列可以簡記為數(shù)列{xn}。數(shù)列{xn}可以看成自變量為正整數(shù)的函數(shù)：一、數(shù)列的概念x1，x2，x3，……，xn，……在幾何上，數(shù)列{xn}可以看作數(shù)軸上的一個動點，它依次取數(shù)軸上的點x1，x2

，x3，……，

xn

，……42例如，以下都是數(shù)列：一、數(shù)列的概念一般項是一般項是一般項是43對于數(shù)列，當(dāng)n無限增大時，它能否無限趨向于一個常數(shù)，如果能的話，這個常數(shù)又是什么，如何求出？二、數(shù)列極限的定義割圓術(shù)中的數(shù)列A1，A2，A3，……，

An，……，從其幾何意義上可知，隨著n無限增大，

An

的值也逐漸增大，并且無限的接近圓的面積A。定義

設(shè)有數(shù)列{xn}，如果存在常數(shù)a，當(dāng)n

無限增大時，xn無限趨近于a

，則稱數(shù)列{xn}以a為極限，或稱數(shù)列{xn}收斂于a

，記作如果這樣的常數(shù)a不存在，則稱數(shù)列{xn}發(fā)散。或（）44二、數(shù)列極限的定義（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）；例2-1觀察下列數(shù)列{xn}的極限：解：（1）；（2）；（3）發(fā)散；（4）；（5）當(dāng)n→∞時，數(shù)列發(fā)散（無限增大）；（6）45為了方便起見，有時也將當(dāng)n→∞

時|

xn|

無限增大的情況說成是數(shù)列{xn}趨向于∞，或稱其極限為∞（但這不表示數(shù)列是收斂的），記作二、數(shù)列極限的定義或（）如果當(dāng)n足夠大時能夠限定xn的正負，且當(dāng)n→∞

時|

xn|

無限增大，則可記作或（）例如46下面給出數(shù)列極限的嚴格定義（ε—N

定義）：二、數(shù)列極限的定義恒成立，則稱數(shù)列{xn}以a為極限，或稱數(shù)列{xn}收斂于a；如果這樣的常數(shù)a

不存在，則稱數(shù)列{xn}發(fā)散。數(shù)列{xn}收斂于a

的幾何意義為：對于任意給定的ε>0

，當(dāng)n>N時，所有的點xn

落在（a–ε，a+ε）內(nèi)，數(shù)列中只有有限個點（至多只有N個）落在其外。定義

設(shè)有數(shù)列{xn}，如果存在常數(shù)a，使得對于任意給定的正數(shù)ε

（無論它多么?。?，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時，不等式xx2xN+2xN

+1aa+a-47性質(zhì)1（極限的唯一性）收斂數(shù)列的極限是唯一的。三、收斂數(shù)列的基本性質(zhì)性質(zhì)2（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列{xn}收斂，則數(shù)列{xn}一定有界。推論

無界數(shù)列一定是發(fā)散的。注意：數(shù)列有界數(shù)列收斂的必要而非充分條件。如數(shù)列{(-1)n+1

}有界，但卻是散數(shù)列。

第二節(jié)函數(shù)的極限49數(shù)列是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù)，它的極限只是一種特殊的整標(biāo)函數(shù)的極限。

現(xiàn)在我們討論定義在實數(shù)集合上的一般的函數(shù)的極限。關(guān)于函數(shù)的極限，我們主要討論兩種情形：（1）自變量x

的絕對值|x|無限增大或者說趨于無窮大（記作x→∞）時，對應(yīng)函數(shù)值

f(x)

的總的變化趨勢；（2）自變量x

無限接近于有限值x0

或者說趨于有限值x0（記作x→

x0

）時，對應(yīng)函數(shù)值f(x)

的總的變化趨勢；50定義

設(shè)函數(shù)f(x)

的在|x|>M（M

為某一正數(shù)）時有定義，如果存在常數(shù)A，當(dāng)|x|

無限增大時，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)

無限的接近于A

，則稱A為函數(shù)f(x)

當(dāng)x→∞時的極限，或簡稱為f(x)

在無窮大處的極限，記作一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限考慮函數(shù)，當(dāng)|x|

無限增大時，它所對應(yīng)的函數(shù)值y

就無限的趨近于0

，我們稱當(dāng)x

趨于無窮大時，函數(shù)以0

為極限。或（）如果這樣的常數(shù)A

不存在，則稱當(dāng)x→∞時函數(shù)f(x)

沒有極限（或稱極限不存在）。51定義

設(shè)函數(shù)f(x)

的在|x|>M（M為某一正數(shù)）時有定義，如果存在常數(shù)A，使得對于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么?。?，總存在正整數(shù)X，使得當(dāng)

|x|

>X時，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式類似于數(shù)列的極限，也可以給出嚴格的ε—X

定義：一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限如果定義中限制

x只取正值或者只取負值，我們就分別記為或稱為f(x)在正無窮大處或負無窮大處的極限。則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時的極限。52對于一些簡單函數(shù)，通過觀察函數(shù)值或圖形就可以得到函數(shù)當(dāng)

x→∞時的極限，如：一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限定義中的

|x|

>X如果改為x

>X（x<–X），就可得到

f(x)在正無窮大處或負無窮大處的極限。于是容易得到：一般來講，如果（或），則直線

y=A就是函數(shù)y=f(x)的圖像的水平漸近線。53注意：定義不要求f(x)

的在點

x0

有定義，因為當(dāng)x→x0時x≠x0

。二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限定義

設(shè)函數(shù)f(x)

在點

x0

的附近有定義，若存在常數(shù)A，當(dāng)x無限趨向于x0時，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限的接近于A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0

時的極限，記作或（）如果這樣的常數(shù)A不存在，則稱當(dāng)x→x0

時函數(shù)f(x)沒有極限（或稱極限不存在）。上述定義也可以解釋為：只要x與x0足夠接近（即|x–x0|足夠?。?，就可以使f(x)

與A任意接近（即|f(x)

–A|任意?。?4點a稱為這個鄰域的中心，δ

稱為這個鄰域的半徑。并且可以看出，U(a，δ

)也就是以點

a為中心，長度為2δ

的開區(qū)間(a–δ，a+δ

)。二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限定義

設(shè)a與δ

是兩個實數(shù)，數(shù)集{x

||x–a|<δ}稱為點a

的

δ

鄰域，記作U(a，δ

)，即為了闡述函數(shù)的局部性態(tài)，還經(jīng)常用到鄰域的概念，它表示某點附近的所有點的集合。aa–δa+δxaa–δa+δx55二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限

U(a，δ

)表示與點

a的距離小于δ

的點的全體。有時用到的鄰域需要把中心去掉，將U(a，δ

)的中心a去掉后，稱為點a

的去心δ

鄰域，記作由此，也可以給出函數(shù)在一點處極限的嚴格的ε—δ

定義：定義

設(shè)函數(shù)f(x)在點

x0

的某去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，使得對于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么?。?，總存在正整數(shù)δ，使得當(dāng)

0<|x–x0

|

<δ

時，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0

時的極限。56二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限其幾何意義為：對于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ

，當(dāng)x落在x0

的去心δ

鄰域內(nèi)時，函數(shù)y=f(x)的圖形完全落在以為y=A中心線，寬為2ε

的帶狀區(qū)域內(nèi)。例2-2對于一些簡單的函數(shù)，可以根據(jù)觀察判斷出它的極限：y=f(x)A+

AA–yx

x0–x0

x0

+O（1）（C為常數(shù)）；（2）；（3）（4）57前面給出的x→

x0

時函數(shù)f(x)的極限，自變量x是從左右兩側(cè)趨近于的，但有時我們只能或只需考慮x是僅從左側(cè)趨近于x0（即x<

x0

）的情形，或是僅從右側(cè)趨近于x0（即x>

x0

）的情形，為此，通常將類似可以定義右極限為三、單側(cè)極限

x<

x0

時，x→

x0

時的情況記作

x>

x0

時，x→

x0

時的情況記作定義

設(shè)函數(shù)f(x)

在點

x0

的左側(cè)附近有定義，若存在常數(shù)A，使得當(dāng)x從左側(cè)無限趨向于x0時，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限的接近于A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于x0

時的左極限，記作58左極限與右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限。右極限為三、單側(cè)極限定理

當(dāng)x→x0時函數(shù)f(x)以A為極限的充分必要條件是f(x)在點x0處的左、右極限存在且都等于

A，即例2-3設(shè)，求1Oxy解左極限為所以59因此；又由于三、單側(cè)極限例2-4設(shè)，討論x→0

時及x→1

時f(x)的極限。解由于，所以x→1

時f(x)的極限不存在，或稱不存在。60性質(zhì)1（函數(shù)極限的唯一性）如果存在，則極限唯一。性質(zhì)2（有極限函數(shù)的局部有界性）如果存在，則函數(shù)f(x)在點

x0

的某個鄰域內(nèi)有界，即存在常數(shù)M，使得在點x0

的某個鄰域內(nèi)有第三節(jié)無窮小與無窮大62一、無窮小無窮小的概念在極限的研究中有及其重要的作用。定義在自變量x的某個變化過程中，若函數(shù)

f(x)的極限為零，則稱f(x)在該變化過程中為無窮小量，簡稱無窮小。例2-5因為，所以函數(shù)是當(dāng)x→∞時的無窮小。例2-6因為，所以函數(shù)(x–

1)是當(dāng)x→1

時的無窮小。例2-7因為，所以函數(shù)sinx

是當(dāng)x→0

時的無窮小。注意：不要把無窮小與絕對值很小的數(shù)混為一談，無窮小是一個以0為極限的函數(shù)，能作為無窮小的常數(shù)只有0，其它任何常數(shù)，無論其絕對值多么小，也不是無窮小。63一、無窮小下面定理說明了無窮小與函數(shù)極限的密切關(guān)系：由無窮小的定義，不難理解無窮小的下列性質(zhì)：性質(zhì)1

有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小。性質(zhì)2

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。性質(zhì)3

有限個無窮小的乘積是無窮小。推論

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。定理在自變量x的某個變化過程中，函數(shù)

f(x)有極限A的充分必要條件為：f(x)可以表示為A與一個同一變化過程中的無窮小

的和，即64一、無窮小注意：無窮多個無窮小的代數(shù)和不一定是無窮??；兩個無窮小的商不一定是無窮小。例2-8求極限解：由于，，所以例2-9求極限解：由于，，所以65二、無窮小的比較兩個無窮小的和、差、積仍是無窮小，但無窮小的商就不易確定了?？梢妰蓚€無窮小的商，可以是無窮小，可以是無窮大，也可以是常數(shù)或極限為常數(shù)的變量，這是因為無窮小在趨于零的過程中快慢不同。例如，當(dāng)x→0

時，x，2x，x2，x3，x

+x2都是無窮小，而此時為了比較無窮小，我們引入無窮小的階的概念。66二、無窮小的比較定義

設(shè)及是自變量同一變化過程中的無窮小，且，則

（1）如果，則稱是比高階的無窮小，記作；

（2）如果，則稱是比低階的無窮小；

（3）如果，則稱與是同階的無窮?。?/p>

（4）如果，則稱與是等價無窮小，記作。顯然，等價無窮小是同階無窮小的特殊情形。67二、無窮小的比較由定義可見，當(dāng)x→0

時，x2是x的高階無窮小，即x2=o(x)

，而x2是x3的低階無窮小，x與2x是同階無窮小。關(guān)于等價無窮小，有下面定理：定理

在自變量同一變化過程中，如果，，且存在，則證68二、無窮小的比較求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可以用等價無窮小來代替；在求分式的極限時，分子及分母中的無窮小因子也可以用等價無窮小來代替。如果用來代替的無窮小選取適當(dāng)?shù)脑?，可以使計算簡化。在后面的極限計算中我們會遇到利用等價無窮小代換來求極限的例子。需要注意的是，當(dāng)分子或分母是若干項的和或差時，一般不能對其中某一項作等價無窮小的代換。69三、無窮大（1）limf(x)=∞并不表示f(x)有極限，無窮大“∞”不是數(shù)，只是一個符號；

（2）無窮大是無界函數(shù)，但是無界函數(shù)不一定是無窮大；

（3）無窮大是一個絕對值無限大的變量，任何絕對值很大的常數(shù)都不是無窮大。定義在自變量x的某個變化過程中，若函數(shù)

f(x)的絕對值無限增大，則稱f(x)在該變化過程中為無窮大量，簡稱無窮大，可以記作limf(x)=∞。例如，當(dāng)x→0

時，

，cotx

都是無窮大；當(dāng)x→0+

時，

，lnx

都是無窮大；當(dāng)x→+∞

時，x3，ex

，lnx

都是無窮大。注意70三、無窮大定義如果（或），則直線x=x0是函數(shù)y=

f(x)的圖像的鉛直漸近線。例2-10因為，所以直線x=1是曲線的鉛直漸近線。無窮大與無窮小有如下關(guān)系：定理

在自變量的同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，則為無窮小；反之，如果f(x)為無窮小且f(x)≠0，則為無窮大。例2-11當(dāng)x→0

時，x3是無窮小，而是無窮大。例2-12當(dāng)x→∞

時，x

+1是無窮大，而是無窮小。第四節(jié)極限的運算法則72一、極限的四則運算在下面的討論中，極限過程的自變量的趨向沒有標(biāo)出，表示對任何一個自變量的變化過程都成立，只要在同一問題中自變量的趨向相同即可。并且這些運算法則對于數(shù)列的極限也是同樣適用的。注意：定理中的（1）（2）都可以推廣到有限個函數(shù)的情形，但不可應(yīng)用到無窮多個數(shù)列的情形。定理

如果，，則

（1）

（2）

（3）當(dāng)B≠0時，73一、極限的四則運算由（2）可得下面推論：下面計算一些函數(shù)的極限。推論如果limf(x)存在，c為常數(shù)，n為正整數(shù)，則

（1）

（2）例2-13求解74一、極限的四則運算由上例可以看出，求多項式函數(shù)當(dāng)x→x0時的極限，只要用x0

代替函數(shù)中的x即可（代入法），即例2-14求解75一、極限的四則運算例2-15求解這里分母的極限不為零，于是可見，求有理分式函數(shù)（其中P(x)，Q(x)都是多項式函數(shù)）當(dāng)x→x0時的極限，如果Q(x0)≠0，也只需用x0

代替函數(shù)中的x即可（代入法），即76一、極限的四則運算例2-16求解這里分母的極限不為零，于是例2-17求解x→3時，分子分母的極限都為零，不能分別取極限再求商，注意到分子分母都具有公因子x–3，而x→3

時x≠3，可以消去公因子后再求極限，于是注意：對于這種Q(x0)=0且P(x0)=0的有理分式函數(shù)，在求當(dāng)x→x0時的極限時，分子分母一定都具有公因子x–x0，由于當(dāng)x→x0時x≠x0，所以分子分母可以消去不為零的公因子后再求極限。77例2-18求解一、極限的四則運算78一、極限的四則運算例2-19求解當(dāng)x→1

時，分母的極限為零，分子的極限為3，不能用商的極限運算法則，但由于于是由無窮小與無窮大的關(guān)系可得79一、極限的四則運算例2-20求解注意：對于Q(x0)=0且P(x0)≠0的有理分式函數(shù)，求當(dāng)x→x0時的極限時，可以先求其倒數(shù)的極限，再利用無窮小與無窮大的關(guān)系得到結(jié)果。再來看一些當(dāng)x→∞時有理分式函數(shù)的極限。80一、極限的四則運算例2-21求解由于分子分母的極限都是∞，所以不能用商的極限運算法則。做適當(dāng)變形，即分子分母同時除以它們的最高次冪x3，然后取極限，得81一、極限的四則運算例2-22求解分子、分母同時除以x3，然后取極限，得82一、極限的四則運算例2-23求解由上例，以及無窮小與無窮大的關(guān)系可得一般地，對于當(dāng)x→∞時有理分式函數(shù)的極限，當(dāng)a0≠0，b0≠0，m，n為非負整數(shù)時有以下結(jié)論：83二、復(fù)合函數(shù)求極限對于多項式函數(shù)和有理分式函數(shù)f(x)，只要f(x)在點x0處有定義，則當(dāng)x→x0時f(x)的極限值就是f(x)在點x0處的函數(shù)值。這里我們指出，一切基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點處都具有這樣的性質(zhì)，即如果f(x)是基本初等函數(shù)，定義域為D，而x∈D，則例如，f(x)=sinx是基本初等函數(shù)，而點在它的定義域內(nèi)，所以下面給出一個復(fù)合函數(shù)求極限的定理。84二、復(fù)合函數(shù)求極限定理

設(shè)函數(shù)u=

φ(x)當(dāng)x→x0時的極限等于a，即，而函數(shù)y=f(u)在點u=a

處有定義且，則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]當(dāng)x→x0時的極限存在且等于f(a)，即定理表明，滿足定理條件的情況下，函數(shù)符號可以和極限符號交換次序。例2-24求解85二、復(fù)合函數(shù)求極限例2-25求解例2-26求解86二、復(fù)合函數(shù)求極限注意：在求一些無理分式函數(shù)的極限時，如果分子分母都是趨于零的，可以通過先進行有理化，再約去公因子的方法求極限。例2-27求解87二、復(fù)合函數(shù)求極限例2-28求解雖然此題不是無理分式，但由于相減的兩項都是趨于無窮的，因此也需要用有理化的方法來做。88二、復(fù)合函數(shù)求極限例2-29求解此題相減的兩項都是趨于無窮大的，因此需要通分后再計算。第五節(jié)兩個重要極限90一、準則Ⅰ和第一個重要極限準則I

設(shè)在變量的某一變化過程中，對于函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)，有g(shù)(x)≤f(x)≤h(x)且limg(x)=

limh(x)=A，則lim

f(x)=A。這個準則對于數(shù)列的極限也是同樣適用的。利用這個準則，可以證下列重要極限：91一、準則Ⅰ和第一個重要極限證明：如圖2-6，設(shè)單位圓O，圓心角∠AOB=x，過A點作圓的切線，與OB的延長線交于D點，再作BC⊥OA，于是可得：，，這里（

）

顯然：

?AOB的面積<扇形AOB的面積<?AOD的面積而?AOB的面積扇形AOB的面積?AOD的面積92一、準則Ⅰ和第一個重要極限從而有（），即（）兩邊同時除以sinx，得，于是由于cosx與都是偶函數(shù)，則上式當(dāng)時也成立。（）因為，，所以由準則I93一、準則Ⅰ和第一個重要極限對于第一個重要極限，其一般形式為：（方框□代表同一變量）例2-30求解例2-31求解94例2-32求解例2-33求解一、準則Ⅰ和第一個重要極限95例2-34求解利用變量代換，令x=sint，則當(dāng)x→0

時t→0，且arcsinx=t，于是類似的，也可以得到由第一個重要極限，以及上面幾個例子，我們得到了一些常用的等價無窮?。阂弧蕜tⅠ和第一個重要極限（x→0）（x→0）（x→0）（x→0）（x→0）96例2-35求解由于當(dāng)x→0

時，sin3x~3x，tan5x~5x，所以例2-36求解由于當(dāng)x→0

時，sinx~x，arctanx~x，所以一、準則Ⅰ和第一個重要極限97二、準則Ⅱ和第二個重要極限如果數(shù)列{xn}滿足x1≤x2≤…≤xn≤xn+1

≤…，則稱數(shù)列{xn}是單調(diào)增加數(shù)列；如果數(shù)列{xn}滿足x1≥x2≥…≥xn

≥xn+1

≥…，則稱數(shù)列{xn}是單調(diào)減少數(shù)列。單調(diào)增加數(shù)列和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。準則II

如果無窮數(shù)列{xn}單調(diào)且有界，則數(shù)列必收斂。前面曾經(jīng)講過，收斂數(shù)列必有界，但有界數(shù)列不一定收斂，現(xiàn)在由準則II說明：如果數(shù)列有界并且是單調(diào)的，就一定收斂。利用這個準則，可以證明下列重要極限：98二、準則Ⅱ和第二個重要極限考慮數(shù)列的情形，設(shè)，由下表可以看出，xn是單調(diào)增加的，且越來越接近某一常數(shù)：可以證明無窮數(shù)列{xn}是單調(diào)增加且有界的（小于3），所以是存在的，這個極限是無理數(shù)，通常用記號e

來表示，即1210100100010000100000……22.252.593742.704812.716922.718142.71827……99二、準則Ⅱ和第二個重要極限無理數(shù)e的值為2.71828182845904523536…，以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)?？梢宰C明，當(dāng)x趨向于+∞或–∞時，函數(shù)的極限都存在且都等于e，所以利用變量代換，令，則當(dāng)x→∞時，z→0，于是可得100二、準則Ⅱ和第二個重要極限對于第二個重要極限，其一般形式為：例2-37求解（三角?代表同一變量）101二、準則Ⅱ和第二個重要極限例2-38求解102二、準則Ⅱ和第二個重要極限例2-39求解103二、準則Ⅱ和第二個重要極限例2-40求解104二、準則Ⅱ和第二個重要極限例2-41求解例2-42求解令

u=ex–1，即x=ln(1+u)，則當(dāng)x→0

時，u→0，于是由上面兩例，我們又得到了常用的等價無窮?。簂n(1+x)~x（x→0），ex–1~x

（x→0）105三、冪指函數(shù)的極限形如f(x)g(x)（其中f(x)>0）的函數(shù)叫做冪指函數(shù)。第二個重要極限就是冪指函數(shù)的極限。冪指函數(shù)的極限的一般計算方法為：在自變量同一變化過程中，如果limf(x)=A>0，limg(x)=B，則106三、冪指函數(shù)的極限例2-43求解107三、冪指函數(shù)的極限例2-44求解108三、冪指函數(shù)的極限例2-45求解第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性110一、函數(shù)連續(xù)性的概念自然界中有許多現(xiàn)象都是連續(xù)變化的，如氣溫的變化，行星的運動，植物的生長等，都是連續(xù)變化的。這種現(xiàn)象反映在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的連續(xù)性，高等數(shù)學(xué)中所討論的主要是連續(xù)變化的量。我們先引入改變量的概念，設(shè)變量u從初值u1

改變到終值u2，終值與初值的差u2

–u1就叫做變量u的改變量（也叫增量），記作注意：?u是一個整體記號，是變量u的改變量，它可以是正的，也可以是負的。但自變量的改變量不能為零。下面討論函數(shù)的連續(xù)性。111一、函數(shù)連續(xù)性的概念定義

設(shè)函數(shù)y=

f(x)

在點

x0

的某鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量的增量?x=x–x0趨于零時，對應(yīng)函數(shù)的增量?y=f(x0+?x)

–f(x0)也趨于零，即則稱函數(shù)y=

f(x)

在點

x0

處連續(xù)。如果記x=x0+?x，則f(x0+?x)

=f(x)，而?x→0等價于x→x0，?y→0（即f(x)

–f(x0)→0）等價于f(x)

→

f(x0)

，因此函數(shù)y=

f(x)

在點

x0

處連續(xù)的定義也可敘述如下：或112一、函數(shù)連續(xù)性的概念則稱函數(shù)y=

f(x)

在點

x0

處連續(xù)。定義

設(shè)函數(shù)y=

f(x)

在點

x0

的某鄰域內(nèi)有定義，若函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0

時的極限存在，且等于它在點x0處的函數(shù)值，即由定義可知，函數(shù)f(x)

在點

x0

處連續(xù)則f(x)

在點

x0

處必有極限，但f(x)

在點

x0

處有極限時不一定在點

x0

處連續(xù)，甚至f(x)

在點

x0

處可能沒有定義。相應(yīng)于函數(shù)左、右極限的概念，給出函數(shù)左、右連續(xù)的概念。113一、函數(shù)連續(xù)性的概念則稱函數(shù)y=

f(x)

在點

x0

處左（右）連續(xù)。如果函數(shù)f(x)

在點

x0處及其左（右）側(cè)附近有定義，且滿足顯然可見，函數(shù)在一點處連續(xù)的充要條件為函數(shù)在該點既是左連續(xù)的，又是右連續(xù)的。在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)，叫做該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。如果區(qū)間包括端點，則函數(shù)在左端點連續(xù)是指右連續(xù)，在右端點連續(xù)是指左連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線。114一、函數(shù)連續(xù)性的概念現(xiàn)在此結(jié)論可以表述為：在前面我們曾指出，基本初等函數(shù)f(x)

在其定義域內(nèi)的任何一點

x0處都滿足基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的每點處都是連續(xù)的。也就是說，基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。如果函數(shù)在一點不連續(xù)，那么該點也叫做間斷點。定義

如果函數(shù)f(x)

在點

x0不連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在點x0間斷。相應(yīng)的點x0稱為函數(shù)f(x)的間斷點。115一、函數(shù)連續(xù)性的概念由函數(shù)在某點連續(xù)的概念可知，設(shè)函數(shù)f(x)

在點

x0的某鄰域內(nèi)（至多除了點x0本身）有定義，如果f(x)

在點

x0處有下列情形之一，則點x0是f(x)的一個間斷點。（1）在點

x0處沒有定義，即f(x0)不存在；通常把f(x)

在點

x0的左、右極限都存在的間斷點稱為第一類間斷點，除第一類間斷點以外的間斷點稱為第二類間斷點。（2）不存在；（3）在點

x0處有定義，且存在，但是。116二、初等函數(shù)的連續(xù)性根據(jù)連續(xù)函數(shù)的定義及極限的四則運算，容易知道：定理設(shè)函數(shù)f(x)

與g(x)在點

x0處連續(xù)，則，在點

x0處有（1）f(x)±g(x)在點

x0處連續(xù)；（2）f(x)·g(x)在點

x0處連續(xù)；（3）

當(dāng)g(x0)≠0

時，在點

x0處連續(xù)；另外，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的定義及復(fù)合函數(shù)求極限的法則，也可以得到：定理

設(shè)函數(shù)u=φ(x)在點x=x0處連續(xù)，且

φ(x0)=u0，而函數(shù)y=f(u)在點u=u0處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]在點x=x0處也是連續(xù)的。117二、初等函數(shù)的連續(xù)性最后，我們也指出：單調(diào)增加（減少）的連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)也是單調(diào)增加（減少）且連續(xù)的。前面已經(jīng)指出，基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，現(xiàn)在又給出了連續(xù)函數(shù)的四則運算及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，因此可以得到重要結(jié)論：

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。有了初等函數(shù)的連續(xù)性，當(dāng)我們求初等函數(shù)在其定義域內(nèi)某點的極限時，只需求函數(shù)在該點的函數(shù)值即可。118二、初等函數(shù)的連續(xù)性例2-46設(shè)，是連續(xù)函數(shù)，求實數(shù)a

的值。解由于函數(shù)3–cosx在(–∞，0)上連續(xù)，ae2x

在(

0，+∞)上連續(xù)，所以只需考察函數(shù)

f(x)在分段點x=0

處的連續(xù)性。由于而且f(0)=a

因此，如果

f(x)在點x=0

處連續(xù)，只需，即a=2119三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有一些重要性質(zhì)，包括有界性定理、最值定理、介值定理等。定理（有界性定理）若函數(shù)

f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則它在閉區(qū)間[a，b]上一定有界。定理（最大值最小值定理）若函數(shù)

f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則它在閉區(qū)間[a，b]上一定有最大值和最小值。如果x0使f(x0)=0，我們就稱x0是函數(shù)f(x)的零點。定理（零點定理）若函數(shù)

f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，則在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個零點。120三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)零點定理也可表述為：

如果函數(shù)

f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則至少存在一點ξ（a<ξ

<b），使得從幾何上看，定理表示：如果連續(xù)的曲線y=f(x)的兩個端點位于x軸的不同側(cè)，則曲線與x軸至少有一個交點。f(ξ

)=0（a<ξ

<b）ab