2023新教材高中數(shù)學(xué)第5章三角函數(shù)5.5三角恒等變換5.5.1兩角和與差的正弦余弦和正切公式第3課時(shí)兩角和與差的正切公式教師用書新人教A版必修第一冊(cè)

第3課時(shí)兩角和與差的正切公式1．能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式．2．能利用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明．(重點(diǎn))3．熟悉兩角和與差的正切公式的常見變形，并能靈活應(yīng)用．(難點(diǎn))1．通過利用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、證明等問題，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．2．借助公式進(jìn)行求值，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)，怎樣由sin(α＋β)以及cos(α＋β)的公式將tan(α＋β)用tanα，tanβ來表示？如何將tan(α－β)用tanα，tanβ來表示？知識(shí)點(diǎn)兩角和與差的正切公式名稱簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件兩角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanα·tanβ≠1兩角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanα·tanβ≠－11．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立． ()(2)對(duì)任意α，β∈R，tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)都成立． ()[答案](1)√(2)×2．eq\f(tan56°－tan26°,1＋tan56°tan26°)＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\r(3)C[原式＝tan(56°－26°)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)．]類型1兩角和與差的正切公式的正用【例1】已知tanα＝eq\f(1,2)，tan(α－β)＝－eq\f(2,5)，求tan(β－2α)的值．[解]∵tan(α－β)＝－eq\f(2,5)，∴tan(β－α)＝eq\f(2,5)．又tanα＝eq\f(1,2)，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝eq\f(tanβ－α－tanα,1＋tanβ－αtanα)＝eq\f(\f(2,5)－\f(1,2),1＋\f(2,5)×\f(1,2))＝－eq\f(1,12)．給值求值問題的2種變換(1)式子的變換：分析已知式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)公式，通過變形，建立與待求式子間的聯(lián)系以實(shí)現(xiàn)求值．(2)角的變換：首先從已知角間的關(guān)系入手，分析已知角與待求角間的關(guān)系，如用α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等關(guān)系，把待求的三角函數(shù)與已知三角函數(shù)巧妙地建立等量關(guān)系，從而求值．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,4)))＝eq\f(1,5)，則tanα＝________．(2)已知角α，β均為銳角，且cosα＝eq\f(3,5)，tan(α－β)＝－eq\f(1,3)，則tanβ＝________．(1)eq\f(3,2)(2)3[(1)因?yàn)閠aneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,4)))＝eq\f(1,5)，所以tanα＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,4)＋\f(5π,4)))＝eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,4)))＋tan\f(5π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,4)))tan\f(5π,4))＝eq\f(\f(1,5)＋1,1－\f(1,5)×1)＝eq\f(3,2)．(2)因?yàn)閏osα＝eq\f(3,5)，α為銳角，所以sinα＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(4,3)，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝eq\f(tanα－tanα－β,1＋tanαtanα－β)＝eq\f(\f(4,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))),1＋\f(4,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝3．]類型2兩角和與差的正切公式的逆用【例2】(1)eq\f(tan75°－tan15°,1＋tan75°tan15°)＝________；(2)eq\f(1－\r(3)tan75°,\r(3)＋tan75°)＝________．(1)eq\r(3)(2)－1[(1)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝eq\r(3)．(2)原式＝eq\f(\f(\r(3),3)－tan75°,1＋\f(\r(3),3)tan75°)＝eq\f(tan30°－tan75°,1＋tan30°tan75°)＝tan(30°－75°)＝－tan45°＝－1．]公式T(α±β)的逆用一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu)，另一方面要注意常值代換，如taneq\f(π,4)＝1，taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)，taneq\f(π,3)＝eq\r(3)等．要特別注意taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)之間的互化或變形．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．計(jì)算：(1)eq\f(\r(3)－tan15°,1＋\r(3)tan15°)＝________；(2)eq\f(1－tan15°,1＋tan15°)＝________．(1)1(2)eq\f(\r(3),3)[(1)原式＝eq\f(tan60°－tan15°,1＋tan60°tan15°)＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1．(2)eq\f(1－tan15°,1＋tan15°)＝eq\f(tan45°－tan15°,1＋tan45°tan15°)＝tan(45°－15°)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)．]類型3兩角和與差的正切公式的變形應(yīng)用【例3】(1)tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝________．(2)已知△ABC中，tanB＋tanC＋eq\r(3)tanBtanC＝eq\r(3)，且eq\r(3)tanA＋eq\r(3)tanB＝tanAtanB－1，試判斷△ABC的形狀．當(dāng)代數(shù)式中同時(shí)出現(xiàn)“tanα＋tanβ”及“tanαtanβ”時(shí)可以考慮哪一些公式的應(yīng)用？當(dāng)同時(shí)出現(xiàn)“tanα－tanβ”及“tanαtanβ”呢？(1)1[∵tan67°－tan22°＝tan(67°－22°)(1＋tan67°tan22°)＝tan45°(1＋tan67°tan22°)＝1＋tan67°tan22°，∴tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1．](2)[解]∵eq\r(3)tanA＋eq\r(3)tanB＝tanAtanB－1，∴eq\r(3)(tanA＋tanB)＝tanAtanB－1，∴eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－eq\f(\r(3),3)，∴tan(A＋B)＝－eq\f(\r(3),3)．又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝eq\f(5π,6)，∴C＝eq\f(π,6)．∵tanB＋tanC＋eq\r(3)tanBtanC＝eq\r(3)，tanC＝eq\f(\r(3),3)，∴tanB＋eq\f(\r(3),3)＋tanB＝eq\r(3)，tanB＝eq\f(\r(3),3)，∴B＝eq\f(π,6)，∴A＝eq\f(2π,3)，∴△ABC為等腰鈍角三角形．[母題探究]1．將例3(1)中的角同時(shí)增加1°結(jié)果又如何？[解]∵tan45°＝tan(68°－23°)＝eq\f(tan68°－tan23°,1＋tan68°tan23°)，∴1＋tan68°tan23°＝tan68°－tan23°，即tan68°－tan23°－tan68°tan23°＝1．2．能否為例3(1)歸納出一個(gè)一般結(jié)論？若能，試證明．[解]一般結(jié)論：若α－β＝45°(α，β≠k×180°＋90°，k∈Z)，則tanα－tanβ－tanαtanβ＝1．證明：∵tan45°＝tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)，∴1＋tanαtanβ＝tanα－tanβ，即tanα－tanβ－tanαtanβ＝1．兩角和的正切公式的常見4種變形(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．(2)1－tanαtanβ＝eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)．(3)tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)．(4)tanα·tanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)．1．若tanα＝3，tanβ＝eq\f(4,3)，則tan(α－β)等于()A．3B．－3C．eq\f(1,3)D．－eq\f(1,3)C[tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(3－\f(4,3),1＋3×\f(4,3))＝eq\f(1,3)．故選C．]2．若tanβ＝3，tan(α－β)＝－2，則tanα＝()A．eq\f(1,7) B．－eq\f(1,7)C．1 D．－1A[tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－βtanβ)＝eq\f(－2＋3,1－－2×3)＝eq\f(1,7)．故選A．]3．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，則tanαtanβ等于()A．2B．1C．eq\f(1,2)D．4C[∵tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝4，且tanα＋tanβ＝2，∴eq\f(2,1－tanαtanβ)＝4，解得tanαtanβ＝eq\f(1,2)．故選C．]4．若taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝3，則tanα的值為________．eq\f(6－5\r(3),13)[tanα＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝eq\f(tan\f(π,3)－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)),1＋tan\f(π,3)tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)))＝eq\f(\r(3)－3,1＋\r(3)×3)＝eq\f(\r(3)－33\r(3)－1,3\r(3)2－1)＝eq\f(12－10\r(3),26)＝eq\f(6－5\r(3),13)．]5．計(jì)算tan72°－tan42°－eq\f(\r(3),3)tan72°tan42°＝________．eq\f(\r(3),3)[∵tan(72°－42°)＝eq\f(tan72°－tan42°,1＋tan72°tan42°)＝eq\f(\r(3),3)，∴tan72°－tan42°＝eq\f(\r(3),3)(1＋tan72°tan42°)，∴tan72°－tan42°－eq\f(\r(3),3)tan72°tan42°＝eq\f(\r(3),3)．]回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：1．你能分析一下T(α±β)公式的特征嗎？[提示]公式的