d10-習(xí)題課 二重積分033122經(jīng)典案例

習(xí)題課一、重積分計(jì)算的根本方法二、重積分計(jì)算的根本技巧三、重積分的應(yīng)用第十章二重積分定義幾何意義性質(zhì)計(jì)算法二重積分內(nèi)容回憶直角坐標(biāo)下的計(jì)算極坐標(biāo)下的計(jì)算(1)體積(2)面積應(yīng)用假設(shè)D為X-型區(qū)域那么假設(shè)D為Y-型區(qū)域那么1)二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式設(shè)那么特別,對2)極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分被積函數(shù)呈常用極坐標(biāo)其它以直角坐標(biāo)為宜積分區(qū)域?yàn)閳A形、扇形、圓環(huán)形，積分次序一般是過極點(diǎn)O作任一極角為的射線從D的邊界曲線穿入穿出.極坐標(biāo)系下勿忘r.那么那么口訣：后積先定限,限內(nèi)畫條線,先交為下限，后交為上限.(1)畫出D的草圖.X-型:先對y積分時(shí),是縱向的由下而上,積分限是上下曲線

(3)由D的草圖定出積分限(關(guān)鍵)，下限小于等于上限.積分限可用穿線法確定.無論直角坐標(biāo)系還是極坐標(biāo)系,所以變量都是由小到大.(2)選擇積分次序.(3)由D的草圖定出積分限(關(guān)鍵)，(4)寫出二次積分.邊界曲線要表示成x的函數(shù).Y-型:先對x積分時(shí),是橫向的由左而右,積分限是左右曲線

邊界曲線要表示成y的函數(shù).θ-型:先對r積分時(shí),是放射型的由近到遠(yuǎn).邊界曲線要表示成θ的函數(shù).一、重積分計(jì)算的根本方法1.選擇適宜的坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡潔或變量別離.2.選擇易計(jì)算的積分序積分域分塊要少,累次積分易算為妙.圖示法列不等式法3.掌握確定積分限的方法—累次積分法二、重積分計(jì)算的根本技巧分塊積分法利用對稱性1.交換積分順序的方法2.利用對稱性或質(zhì)心公式簡化計(jì)算3.消去被積函數(shù)絕對值符號4.利用擴(kuò)展積分域進(jìn)行計(jì)算(1)交換積分次序一般步驟為：根據(jù)所給二次積分，將D表示為不等式，畫出積分域，將D用新的不等式表示，寫出新的二次積分其中同上.〔4〕如果D關(guān)于直線對稱,即D具有輪換對稱性,那么〔3〕如果D關(guān)于原點(diǎn)對稱,那么有稱為關(guān)于積分變量的輪換對稱性④假設(shè)D關(guān)于直線y=x對稱，那么簡述為“你對稱，我奇偶〞運(yùn)用對稱性是要兼顧被積分函數(shù)和積分區(qū)域兩個(gè)方面，D位于y=x軸右下方的局部為D1,那么那么解：1.求被積函數(shù)由二重積分的幾何意義得表示上半球面，利用幾何意義，只有一年沒考2.設(shè)D為那么原式3.設(shè)D是由所圍閉區(qū)域，那么=

.四、計(jì)算以下積分〔每題10分，共40分〕1415A1.其中D是由兩條拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:先對x后對y積分,那么四、計(jì)算以下積分〔每題10分，共40分〕解二:1.原式其中D是由兩條拋物線所圍成的閉區(qū)域.先對y后對x積分,2.

其中D是由圓周五、綜合題〔每題10分，共20分〕1415A所圍成的閉區(qū)域.并計(jì)算二重積分求冪級數(shù)解:在收斂域(-1,1)內(nèi)到和函數(shù)f(x);計(jì)算二重積分其中D是由圓周所圍成的閉區(qū)域.例1.計(jì)算二重積分在第一象限局部.解:(1)兩局部,那么其中D為圓域把D分成作輔助線(2)提示:兩局部說明:假設(shè)不用對稱性,需分塊積分以去掉絕對值符號.作輔助線將D分成例2.求拋物線所圍區(qū)域

D的面積A.解:如以下圖注:那么也可利用上述方法簡化計(jì)算.上可積,證明:提示:左端積分區(qū)域如圖,交換積分順序即可證得.P1865.解.積分域如圖.表示為X型區(qū)域例3.

解:積分域如圖.將化為極坐標(biāo)形式的原式1011B二次積分_____________.注：一般步驟為：根據(jù)所給二次積分，將D表示為不等式，畫出積分域，將D用新的不等式表示，寫出新的二次積分1213B例4.解:D用極坐標(biāo)表示計(jì)算二重積分所圍成的閉區(qū)域.例5.和解:D〔畫出積分區(qū)域草圖〕.其中D為

利用對稱性簡化計(jì)算,因?yàn)镈關(guān)于

y軸對稱，且1011B例6.解:其中在極坐標(biāo)系下原式1213B3.

P1851(2)

解:3.

P1851(2)

解:由于積分區(qū)域D關(guān)于y=x對稱,得交換x,y01(1,1)5.交換積分次序P1852(3)解.積分域如圖.表示為X–型區(qū)域一般步驟為：根據(jù)所給二次積分，將D表示為不等式，畫出積分域，將D用新的不等式表示，寫出新的二次積分6.計(jì)算二重積分其中D為圓周所圍成的閉區(qū)域.提示:利用極坐標(biāo)原式185

3(3)7.解:在極坐標(biāo)系下上連續(xù)，且設(shè)那么將此等式在D上積分,得P18677.上連續(xù)，且解:于是P1867

D關(guān)于x,y軸及原點(diǎn)及y=x對稱故故計(jì)算8.解:P1853(4)

原式計(jì)算7.解:P1863(4)

例1.

計(jì)算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)

利用對稱性.圍成.(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對稱性,得1.

設(shè)區(qū)域D為那么解:三、重積分的應(yīng)用1.幾何方面面積(平面域或曲面域),體積,形心質(zhì)量,轉(zhuǎn)動慣量,質(zhì)心證明某些結(jié)論等2.物理方面3.其它方面例6.證明證:左端=右端=為利用極坐標(biāo)計(jì)算，先把曲線方程化為極坐標(biāo)下的形式例7求，其中解由對稱性，得．聯(lián)立上述方程，解得，解由對稱性，得例6求，其中因此，有解由極坐標(biāo)計(jì)算公式，得例5求，其中解由對稱性，得例4求，其中．例2求，其中由，，所圍成．解根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)，采用先后的積分次序例3求，其中解根據(jù)積分區(qū)域的對稱性，得．記在第一象限部分的圖形為，則例1交換以下積分次序解根據(jù)積分區(qū)域的圖形，得二、例題選講⑴解根據(jù)積分區(qū)域的圖形，得⑵解根據(jù)積分區(qū)域的圖形，得⑶⑷解積分區(qū)域如圖所示，用將區(qū)域劃分成三個(gè)型區(qū)域，則例1.交換積分順序計(jì)算解：積分域如圖.一般步驟為：根據(jù)所給二次積分，將D表示為不等式，畫出積分域，將D用新的不等式表示，寫出新的二次積分曲面在xoy

面上投影為那么5.解:7.計(jì)算二重積分其中D是由曲所圍成的平面域.解:其形心坐標(biāo)為:面積為:積分區(qū)域線形心坐標(biāo)11.在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上,要接上一個(gè)一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個(gè)的另一邊長度應(yīng)為多少?提示:建立坐標(biāo)系如圖.由可知由此解得問接上去的均勻矩形薄片即有薄片的重心恰好落在圓心上,試求曲線所圍成的立體的體積.4.繞z軸

旋轉(zhuǎn)所得曲面與平面解:曲線繞z軸

旋轉(zhuǎn)所得曲面所圍的立體在xoy面上的投影：與其極坐標(biāo)表示1112B，0910B試求曲線所圍成的立體的體積.4.繞z軸

旋轉(zhuǎn)所得曲面與平面解:1112B，0910B用定積分計(jì)算旋轉(zhuǎn)體(繞z軸)的體積解：由對稱性，有原式2.8.計(jì)算其中與D是由所圍成.解：視為Y-型區(qū)域,那么(1).

解：積分域如圖.將化為極坐標(biāo)形式的二次積分，并計(jì)算積分值.原式1011B一般步驟為：根據(jù)所給二次積分，將D表示為不等式，畫出積分域，將D用新的不等式表示，寫出新的二次積分例10求由曲面，所圍立體的外表積．解曲面交線在

平面上的投影為設(shè)上、下曲面面積分別為和，易知這兩個(gè)曲面在平面上的投影區(qū)域?yàn)橐虼斯?，所求曲面面積為為三頂點(diǎn)的三角形區(qū)域.假設(shè)改變積分次序，計(jì)算繁.解:原式1.3.解:其中D為所圍成的閉區(qū)域.D的極坐標(biāo)表示原式特殊函數(shù)(分段)二重積分0809B例1.原式解:設(shè)(3)改變二次積分的積分次序?yàn)槎畏e分_______________.解.積分域如圖.表示為Y形區(qū)域1011B原式一般步驟為：根據(jù)所給二次積分，將D表示為不等式，畫出積分域，將D用新的不等式表示，寫出新的二次積分(4)交換積分次序?yàn)槎畏e分_____________.解.積分域如圖.表示為Y形區(qū)域?qū)?112B原式(5)交換積分次序?yàn)槎畏e分_____________.解.積分域如圖.表示為Y形區(qū)域?qū)?213A,那么5.

解:一般步驟為：根據(jù)所給二次積分，將D表示為不等式，畫出積分域，將D用新的不等式表示，寫出新的二次積分4.

那么提示:如圖,由對稱性知在上是關(guān)于y的奇函數(shù)在上是關(guān)于

x

的偶函數(shù)AP1852(2)

關(guān)于關(guān)于