函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性

關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性第1頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三特點(diǎn):一、泰勒公式的建立以直代曲在微分應(yīng)用中已知近似公式:需要解決的問題如何提高精度?如何估計(jì)誤差?x的一次多項(xiàng)式第2頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三1.求

n

次多項(xiàng)式要求:故令則近似等于第3頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三2.余項(xiàng)估計(jì)令(稱為余項(xiàng)),則有第4頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三第5頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三公式①稱為的n

階泰勒公式.公式②稱為n

階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng).泰勒中值定理:階的導(dǎo)數(shù),時(shí),有①其中②則當(dāng)?shù)?頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三公式③稱為n

階泰勒公式的佩亞諾(Peano)余項(xiàng).在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí),泰勒公式可寫為注意到③④*可以證明:④式成立第7頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三特例:(1)當(dāng)n=0時(shí),泰勒公式變?yōu)?2)當(dāng)n=1

時(shí),泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理可見誤差第8頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三稱為麥克勞林（Maclaurin）公式.則有在泰勒公式中若取則有誤差估計(jì)式若在公式成立的區(qū)間上由此得近似公式第9頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式其中第10頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三其中第11頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三42246420246泰勒多項(xiàng)式逼近第12頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三42246420246泰勒多項(xiàng)式逼近第13頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三類似可得其中第14頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三其中第15頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三已知其中類似可得第16頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三三、泰勒公式的應(yīng)用1.在近似計(jì)算中的應(yīng)用

誤差M

為在包含0,x的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1)已知x和誤差限,要求確定項(xiàng)數(shù)

n;2)已知項(xiàng)數(shù)

n和x,計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;3)已知項(xiàng)數(shù)n和誤差限,確定公式中x的適用范圍.第17頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三已知例1.計(jì)算無(wú)理數(shù)e的近似值,使誤差不超過(guò)解:令x=1,得由于欲使由計(jì)算可知當(dāng)

n=9

時(shí)上式成立,因此的麥克勞林公式為第18頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三說(shuō)明:注意舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響.本例若每項(xiàng)四舍五入到小數(shù)點(diǎn)后6位,則

各項(xiàng)舍入誤差之和不超過(guò)總誤差為這時(shí)得到的近似值不能保證誤差不超過(guò)因此計(jì)算時(shí)中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位.第19頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三2.利用泰勒公式求極限例3.求解:由于用洛必塔法則不方便

!用泰勒公式將分子展到項(xiàng),第20頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三3.利用泰勒公式證明不等式例4.證明證:第21頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三內(nèi)容小結(jié)1.泰勒公式其中余項(xiàng)當(dāng)時(shí)為麥克勞林公式.第22頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三2.常用函數(shù)的麥克勞林公式

(P140~P142)3.泰勒公式的應(yīng)用(1)近似計(jì)算(3)其他應(yīng)用求極限,證明不等式等.(2)利用多項(xiàng)式逼近函數(shù),第23頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三思考與練習(xí)

計(jì)算解:原式第24頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三由題設(shè)對(duì)證:例.有且第25頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三下式減上式,得令第26頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三兩邊同乘

n!=整數(shù)+假設(shè)

e

為有理數(shù)(p,q

為正整數(shù)),則當(dāng)

時(shí),等式左邊為整數(shù);矛盾!2.證明e為無(wú)理數(shù)

.

證:時(shí),當(dāng)故e為無(wú)理數(shù).等式右邊不可能為整數(shù).第27頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三泰勒

(1685–1731)英國(guó)數(shù)學(xué)家,他早期是牛頓學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《線性透視論》(1719)他在1712年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式.他是有限差分理論的奠基人.第28頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三麥克勞林(1698–1746)英國(guó)數(shù)學(xué)家,著作有:《流數(shù)論》(1742)《有機(jī)幾何學(xué)》(1720)《代數(shù)論》(1742)在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的麥克勞林級(jí)數(shù).第29頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三一、函數(shù)單調(diào)性的判定法二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與

曲線的凹凸性第30頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三一、函數(shù)單調(diào)性的判定法第31頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三那么函數(shù)在[a,b]上單調(diào)增加；(2)如果在(a,b)內(nèi)那么函數(shù)在[a,b]上單調(diào)減少.1.判定定理：定理1.設(shè)函數(shù)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).(1)如果在(a,b)內(nèi)(1)證明：設(shè)：則由中值定理：第32頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三1)若函數(shù)在駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào),則不改變函數(shù)的單調(diào)性.說(shuō)明:2)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)也可能是不可導(dǎo)點(diǎn).

一般地,如果在某區(qū)間內(nèi)的有限個(gè)點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)處均為正(或負(fù))時(shí),在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加(或單調(diào)減少)的.那么第33頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三求函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的駐點(diǎn)以駐點(diǎn)為端點(diǎn)將定義域劃分成若干個(gè)子區(qū)間；在各子區(qū)間內(nèi)分別判別導(dǎo)數(shù)的符號(hào),寫出各單調(diào)區(qū)間.2.函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解步驟:導(dǎo)數(shù)為0或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)從而確定其單調(diào)性；第34頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三例2.討論函數(shù)的單調(diào)性.在區(qū)間上的單調(diào)性.例1.判斷函數(shù)解：令：?jiǎn)握{(diào)增在得：解：令：得：函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)為單調(diào)增當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)第35頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三例3.確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：令：得：所以函數(shù)為單調(diào)減區(qū)間為函數(shù)為單調(diào)增區(qū)間為第36頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三例4.確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：令：得：所以函數(shù)為單調(diào)減區(qū)間為函數(shù)為單調(diào)增區(qū)間為第37頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三例5.

當(dāng)時(shí)成立.3.應(yīng)用:利用函數(shù)的單調(diào)性可以證明不等式證明：當(dāng)時(shí),試證：時(shí)有即：函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)第38頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三例6.當(dāng)時(shí)證明：當(dāng)時(shí),試證：時(shí)有即：為單調(diào)增函數(shù)無(wú)法判斷正負(fù)號(hào)為單調(diào)增函數(shù)時(shí)所以有：第39頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三例7.

證明方程只有一個(gè)實(shí)根.證明方程根的唯一性:證明:在連續(xù)至少存在一點(diǎn)使得為原方程的根又所以函數(shù)在為單調(diào)增函數(shù)與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn)證畢第40頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三上則或的大小順序是()B1.設(shè)在思考與練習(xí)2.證明：當(dāng)時(shí)，第41頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)對(duì)于單調(diào)增函數(shù)圖形可以形如ACB也可以形如ADB第42頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三定義.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱的圖形是凹的;(2)若恒有則稱的圖形是凸的.1.曲線凹凸性的定義：第43頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三例.利用定義判斷曲線的凹凸性.解：所以凹的.第44頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三第45頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三(1)在I內(nèi)則在I內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凸的.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I

上有二階導(dǎo)數(shù)2.曲線凹凸性的判定：定理2.(凹凸判定法)第46頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三證明:設(shè):則所以：其中凹的第47頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三曲線的凹凸區(qū)間的求解步驟:從而判斷曲線弧的凹凸性；求函數(shù)一階二階導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；

令：以駐點(diǎn)為端點(diǎn)將定義域劃分成若干個(gè)子區(qū)間；在各子區(qū)間內(nèi)分別判別二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào),第48頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三例８.判斷曲線的凹凸性.解：令：得：時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)函數(shù)圖形為凸.函數(shù)圖形為凹.第49頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三1)定義:

連續(xù)曲線上凹弧和凸弧的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn).3.曲線的拐點(diǎn)及其判定：2)拐點(diǎn)的必要條件:

定理3.如果內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),在是拐點(diǎn),則注:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過(guò)曲線.

且點(diǎn)第50頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三說(shuō)明:1)若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),2)函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是曲線的拐點(diǎn).第51頁(yè)，講稿共55頁(yè)，2023年5月2日，星期三例９.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).