動量與角動量

關于動量與角動量1第1頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三3.1沖量與動量定理

1.力的沖量——無窮小時間間隔內的沖量沖量是反映力對時間的累積效應。作用力與作用時間的乘積。恒力的沖量：變力的沖量：單位：N·s2第2頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三2.質點的動量定理車輛超載容易引發(fā)交通事故車輛超速容易引發(fā)交通事故3第3頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三結論：物體的運動狀態(tài)不僅取決于速度，而且與物體的質量有關。動量：運動質點的質量與速度的乘積。單位：kg·m·s-1由n個質點所構成的質點系的動量：4第4頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三牛頓運動定律：動量定理的微分式：如果力的作用時間從，質點動量從5第5頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三質點動量定理：質點在運動過程中，所受合外力的沖量等于質點動量的增量。說明：（1）沖量的方向與動量增量的方向一致。動量定理中的動量和沖量都是矢量，符合矢量疊加原理。因此在計算時可采用平行四邊形法則?；虬褎恿亢蜎_量投影在坐標軸上以分量形式進行計算。（2）6第6頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三平均沖力：7第7頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三結論：物體動量變化一定的情況下，作用時間越長，物體受到的平均沖力越??；反之則越大。

海綿墊子可以延長運動員下落時與其接觸的時間，這樣就減小了地面對人的沖擊力。8第8頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三逆風行舟龍骨Vvvfmviupfpipf||ff9第9頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三河流拐彎處的堤壩河流拐彎處外側的堤壩要比內側堤壩更加堅固,這是由于內側堤壩僅需要承受流水的靜壓強.而外側堤壩,除了需要承受水的靜壓強外,由于河流彎曲,外側堤壩不僅受到水流的沖擊,還要承受附加的動壓強.《物理學原理在工程技術中的應用》P27補充！10第10頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三補充:質點系的動量定理設有n個質點構成一個系統(tǒng)第i個質點：外力內力初速度末速度質量由質點動量定理：i11第11頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三F1f12m1m2f21F2其中：系統(tǒng)總末動量：系統(tǒng)總初動量：合外力的沖量：12第12頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三質點系的動量定理：微分式：質點系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)總動量的增量。注意：系統(tǒng)的內力不能改變整個系統(tǒng)的總動量。

13第13頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三例1、質量m=1kg的質點從o點開始沿半徑R=2m的圓周運動。以o點為自然坐標原點。已知質點的運動方程為m。試求從s到s這段時間內質點所受合外力的沖量。解：mv2mv1o14第14頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三15第15頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三例2.一顆子彈在槍筒里前進時所受的合力大小為F=400-4105t/3，子彈從槍口射出時的速率為300m/s。設子彈離開槍口處合力剛好為零。求：（1）子彈走完槍筒全長所用的時間t。（2）子彈在槍筒中所受力的沖量I。（3）子彈的質量。解：（1）（2）（3）16第16頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三例3.一根柔軟鏈條長l,單位長度質量為λ.鏈條放在桌上,桌上有一小孔,鏈條的一端由小孔垂下,其余部份堆在桌面上小孔周圍.由于某種攏動,鏈條因自身重量開始下落.求鏈條下落速度與落下距離之間的關系.解：如圖在豎直向上方向建坐標0m2ym1Nm2gm1g系統(tǒng)沿y方向受到合外力的沖量為Fdt,由動量定理可得:17第17頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三18第18頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三例4.一輛裝煤車以v=3m/s的速率從煤斗下面通過,每秒鐘落入車廂的煤為Δm=500kg.如果使車廂的速率保持不變,應用多大的牽引力拉車廂?vdmmFx解：以m表示時刻t煤車和已落進煤車的煤的總質量.t+dt時刻水平總動量為:此后dt時間內又有質量為dm的煤落入車廂.取m與dm為研究的質點系,則在t時刻水平總動量為:19第19頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三dt時間內水平總動量的增量為:由此可得:不能單純從數(shù)學上來理解導數(shù)的形式,而是要加入物理思想!“單位時間質量變化”20第20頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三1.質點系的動量定理：3.2動量守恒定律當時，有系統(tǒng)所受合外力為零時，系統(tǒng)的總動量保持不變。條件：動量守恒定律：21第21頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三說明：（2）系統(tǒng)的總動量守恒并不意味著系統(tǒng)內各個質點的動量不變，而是指系統(tǒng)動量總和不變。（4）當外力作用遠小于內力作用時，可近似認為系統(tǒng)的總動量守恒。如：碰撞，打擊,爆炸等（5）系統(tǒng)內所有質點的動量都必須對同一個慣性參考系而言。（3）系統(tǒng)所受合外力不為零，但在某一方向上的分量為零，則在該方向上動量守恒。（6）動量守恒在微觀領域仍然適用,比牛頓定律意義更為深遠。（1）有內力的作用不改變系統(tǒng)的總動量

22第22頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三動量守恒的分量式：動量守恒定律是物理學中最重要、最普遍的規(guī)律之一，它不僅適合宏觀物體，同樣也適合微觀領域。23第23頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三例5.宇宙飛船在宇宙塵埃中飛行，塵埃密度為。如果質量為mo的飛船以初速vo穿過塵埃，由于塵埃粘在飛船上，致使飛船速度發(fā)生變化。求飛船的速度與其在塵埃中飛行的時間的關系。（設飛船為橫截面面積為S的圓柱體）解：某時刻飛船速度：v，質量：m動量守恒：質量增量：mv24第24頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三25第25頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三例6.在水平面上有一靜止的車,車長為l,質量為m0,車上有一質量為m的人站在車后端A,如圖所示,設人從車的后端A跑到車的前端B,求此時車相對地面移動的距離.解：yxOBAvv0yxOBAx0026第26頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三27第27頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三例7.如圖,一個1/4圓弧滑槽的大物體的質量為M,停在光滑的水平面上,另一質量為m的小物體自圓弧頂點由靜止下滑.求當小物體m滑到底時,大物體M在水平面上移動的距離?解：vXV系統(tǒng)在m下滑過程中,水平方向受合外力為零,水平方向動量守恒!yx28第28頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三由絕對位移,相對位移,牽連位移之間關系可得:思考：木塊離開滑槽瞬間對它的作用力?29第29頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三例8.如質量均為m的兩質點A,B.由長為L的不可伸長輕繩連接,B點限制在光滑軌道內,可自由滑動,開始A靜止于桌面,B靜止在軌道內,AB垂直于軌道距0.5L,如A以速度v在桌面上平行于軌道方向運動,求證:當B運動時速度大小為0.43v,并求出繩受到的沖量和軌道的反作用沖量.解：L300θvAA0.5LBA,B小球在水平方向受外為零,故動量守恒:30第30頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三對于B,繩不可伸長,故有:對于A,僅受于繩的拉力,故與繩正交方向動量守恒!31第31頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三3.3火箭飛行原理時刻：dm相對火箭體噴射速度32第32頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三質點系選：(M+dM,dm)設火箭在自由空間飛行，系統(tǒng)動量守恒：33第33頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三火箭體對噴射的氣體的推力：即噴射的氣體對火箭體的推力：34第34頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三3.4質心質心：——第i個質點的位矢——質點系的總質量——第i個質點的質量質點系中一個特殊的點，位矢為35第35頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三質心位置的分量式：連續(xù)體的質心位置：對于密度均勻，形狀對稱的物體，其質心都在它的幾何中心。說明：36第36頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三例9.一段均勻鐵絲,線質量密度為λ,現(xiàn)將其彎成半圓形,半徑為R,求此半圓形鐵絲的質心.解：dldθθRy37第37頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三3.5質心運動定理質心位置公式：結論：質點系的總動量等于總質量與其質心運動速度的乘積。由質點系動量定理的微分式可得：38第38頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三質心運動定理：作用于質點系上的合外力等于質點系的總質量與質心加速度的乘積。質心的兩個重要性質：系統(tǒng)在外力作用下，質心的加速度等于外力的矢量和除以系統(tǒng)的總質量。（2）系統(tǒng)所受合外力為零時，質心的速度為一恒矢量，內力既不能改變質點系的總動量,也就不能改變質心的運動狀態(tài)

。（1）39第39頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三例10.有質量為2m的彈丸，從地面斜拋出去，它的落地點為xc。如果它在飛行到最高點處爆炸成質量相等的兩碎片。其中一碎片鉛直自由下落，另一碎片水平拋出，它們同時落地。問第二塊碎片落在何處。解：在爆炸的前后，質心始終只受重力的作用，因此，質心的軌跡為一拋物線，它的落地點為xc。xcx2ox40第40頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三例11.在水平面上有一靜止的車,車長為l,質量為m0,車上有一質量為m的人站在車后端A,如圖所示,設人從車的后端A跑到車的前端B,求此時車相對地面移動的距離.解：yxOBAvv0yxOBAx0X`1XCCX`2X2X1x41第41頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三yxOBAvv0yxOBAx0X`1XCCX`2X2X1x42第42頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三例12.水平桌面上拉動紙，紙張上有一均勻球，球的質量M，紙被拉動時與球的摩擦力為F，求：t秒后球相對桌面移動多少距離？解：沿拉動紙的方向移動43第43頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三3.6質點的角動量和角動量定理1.質點對固定點的角動量設：t時刻質點的位矢質點的動量運動質點相對于參考原點O的角動量定義為：單位：Kg·m2·s-144第44頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三角動量大小：角動量的方向：位矢和動量的矢積方向成 右手螺旋如果質點繞參考點O作圓周運動角動量與所取的慣性系有關；角動量與參考點O的位置有關。注意：45第45頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三質點對參考點的角動量在通過點的任意軸線上的投影，稱為質點對軸線的角動量。質點系的角動量設各質點對O點的位矢分別為動量分別為46第46頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三2.力對固定點的力矩質點的角動量

隨時間的變化率為式中47第47頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三質點角動量的改變不僅與所受的作用力有關，而且與參考點O到質點的位矢有關。定義：外力對參考點O的力矩：力矩的大小：力矩的方向由右手螺旋關系確定，垂直于和確定的平面。48第48頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三設作用于質點系的作用力分別為：作用點相對于參考點O的位矢分別為：相對于參考點O的合力矩為：49第49頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三力對軸的矩力

對軸的力矩：力

對點的力矩

在過點的任一軸線上的投影。力

對軸OA的力矩：50第50頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三質點的角動量定理：質點對某一參考點的角動量隨時間的變化率等于質點所受的合外力對同一參考點的力矩。角動量定理的積分式：稱為“沖量矩”3.質點的角動量定理51第51頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三質點系的角動量：兩邊對時間求導：上式中上式中為什么?52第52頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三質點系對某一參考點的角動量隨時間的變化率等于系統(tǒng)所受各個外力對同一參考點力矩之矢量和。質點系角動量定理：質點系對z軸的角動量定理：53第53頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三質點系角動量定理的積分式：作用于質點系的沖量矩等于質點系在作用時間內的角動量的增量。54第54頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三如果則質點或質點系的角動量守恒定律：當系統(tǒng)所受外力對某參考點的力矩之矢量和始終為零時，質點系對該點的角動量保持不變。3.7/3.8(質點系)角動量守恒定律55第55頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三質點系對z軸的角動量守恒定律：系統(tǒng)所受外力對z軸力矩的代數(shù)和等于零，則質點系對該軸的角動量守恒。角動量守恒定律是自然界的一條普遍定律，它有著廣泛的應用。補充:質點所受外力的作用線始終通過某定點時,該外力稱為有心力,有心力對該定點的力矩為零,質點對該定點的角動量守恒。56第56頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三證明開普勒第二定律：行星和太陽之間的連線在相等時間內掃過的橢圓面積相等

。有心力作用下角動量守恒證畢證57第57頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三例14.哈雷慧星繞太陽運動的軌道是一個橢圓，它離太陽最近的距離為時，它距離太陽最遠時，，這時Ｍ解：能用萬有引力公式計算嗎？為什么?58第58頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三例15.一輕繩繞過一輕滑輪,兩個質量相同的人分別抓住輕繩的兩端,設開始時,兩人在同一高度上,此時左邊的人從靜止開始上爬,而右邊的人抓住繩不動,問哪個人先到達滑輪?如果兩個人質量不相等,情況又如何?解：將人與滑輪看成一個系統(tǒng).以滑輪中心為參考點,系統(tǒng)所受外力矩分別為兩人所受重力矩,大小相等,方向相反,故對中心點,系統(tǒng)角動量守恒!v1v2Rr59第59頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三故同時到達!若兩人質量相同,則有:故系統(tǒng)角動量不守恒!若:由角動量定理可知:假設:所以在任何情況下,體重輕的人先到達滑輪!方向?60第60頁，講稿共68頁，2023年5月2日，星期三例16.

三個物體Ａ、Ｂ、Ｃ，每個質量均為Ｍ，Ｂ、Ｃ靠在一起，放