微分方程數(shù)值解試題庫(kù)2011

/《常分方程數(shù)值解法》試題一及答案1．用歐拉法解初值問題.取步長(zhǎng)h=0.2.計(jì)算過程保留4位小數(shù)。解：h=0.2,f<x>=－y－xy2.首先建立歐拉迭代公式 當(dāng)k=0.x1=0.2時(shí).已知x0=0,y0=1.有y<0.2>y1=0.2×1<4－0×1>＝0.8000當(dāng)k＝1.x2=0.4時(shí).已知x1=0.2,y1=0.8.有y<0.4>y2=0.2×0.8×<4－0.2×0.8>＝0.6144當(dāng)k=2.x3=0.6時(shí).已知x2=0.4,y2=0.6144.有y<0.6>y3=0.2×0.6144×<4－0.4×0.4613>＝0.80002．對(duì)于初值問題試用<1>歐拉法；<2>歐拉預(yù)報(bào)－校正公式；<3>四階龍格－庫(kù)塔法分別計(jì)算y<0.2>,y<0.4>的近似值. 3．證明求解初值問題的梯形公式是yk+1=yk+,h=xk+1－xk<k=0,1,2,…,n－1>.4．將下列方程化為一階方程組〔1〔2〔35．取步長(zhǎng)h=0.2再用四階龍格――庫(kù)塔方法解初值并用前題比較結(jié)果。6．下列各題先用龍格――庫(kù)塔法求表頭.然后用阿當(dāng)姆斯法繼續(xù)求以后各值 〔1 〔27．試確定公式中的系數(shù).使之成為一個(gè)四階方法．8.,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.解：對(duì)原式進(jìn)行變量分離得9.并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.解：對(duì)原式進(jìn)行變量分離得：《常分方程數(shù)值解法》試題二及答案1．用歐拉預(yù)報(bào)－校正公式求解初值問題.取步長(zhǎng)h=0.2,計(jì)算y<0.2>,y<0.4>的近似值.計(jì)算過程保留5位小數(shù).l解：步長(zhǎng)h=0.2,此時(shí)f<x,y>=－y－y2sinx. 歐拉預(yù)報(bào)－校正公式為： 有迭代公式： 當(dāng)k=0.x0=1,y0=1時(shí).x1=1.2.有 當(dāng)k=1.x1=1.2,y1=0.71549時(shí).x2=1.4.有=0.526082．試寫出用歐拉預(yù)報(bào)－校正公式求解初值問題的計(jì)算公式.并取步長(zhǎng)h=0.1.求y<0.2>的近似值.要求迭代誤差不超過10－5.3．證明求解初值問題的梯形公式是yk+1=yk+,h=xk+1－xk<k=0,1,2,…,n－1>.4．求出梯形格式的絕對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域．5．取步長(zhǎng)h=0.2再用四階龍格――庫(kù)塔方法解初值并用前題比較結(jié)果。6．用差分法求方程的數(shù)值解〔h=0.27解：原式可化為：《常分方程數(shù)值解法》試題三及答案1．寫出用四階龍格－庫(kù)塔法求解初值問題的計(jì)算公式.取步長(zhǎng)h=0.2計(jì)算y<0.4>的近似值.計(jì)算過程保留4位小數(shù).解：此處f<x,y>=8－3y,四階龍格－庫(kù)塔法公式為其中1=f<xk,yk>；2=f<xn+h.yk+h1>；3=f<xk+h.yn+h2>；4=f<xk+h.yk+h3>本例計(jì)算公式為：其中1=8－3yk；2=5.6－2.1yk；3=6.32－2.37yk;4=4.208＋1.578yk 當(dāng)x0=0,y0==2,2．對(duì)于初值問題試用<1>歐拉法；<2>歐拉預(yù)報(bào)－校正公式；<3>四階龍格－庫(kù)塔法分別計(jì)算y<0.2>,y<0.4>的近似值. 3．用法解初值問題.證明：其截?cái)嗾`差為.這里.是法的近似解.4．求出梯形格式的絕對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域．5．取步長(zhǎng)h=0.2再用四階龍格――庫(kù)塔方法解初值并用前題比較結(jié)果。6．用差分法求方程的數(shù)值解〔h=0.27．試確定公式中的系數(shù).使之成為一個(gè)四階方法．8.9.《常分方程數(shù)值解法》試題四及答案1．設(shè)初值問題.證明用梯形公式求解該問題的近似解為證明：解初值問題的梯形公式為<k=0,1,2,…,n－1>∴整理成顯式<k=0,1,2,…,n－1>用k=n,n－1,n－2,…,1,0反復(fù)代入上式.得到2．試寫出用歐拉預(yù)報(bào)－校正公式求解初值問題的計(jì)算公式.并取步長(zhǎng)h=0.1.求y<0.2>的近似值.要求迭代誤差不超過10－5.3．將下列方程化為一階方程組〔1〔2〔34．取步長(zhǎng)h=0.2用四階龍格――庫(kù)塔方法解5．求出梯形格式的絕對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域．6．用經(jīng)典的四階公式解初值問題取.7．用二階展開法求初值問題的解在時(shí)的近似值〔取步長(zhǎng).小數(shù)點(diǎn)后至少保留5位.8．9．解：.這是齊次方程.令《常分方程數(shù)值解法》試題五及答案1選擇填空題： 1．取步長(zhǎng)h=0.1,用歐拉法求解初值問題的計(jì)算公式是答案：解答：歐拉法的公式此處.迭代公式為2．對(duì)于初值問題試用<1>歐拉法；<2>歐拉預(yù)報(bào)－校正公式；<3>四階龍格－庫(kù)塔法分別計(jì)算y<0.2>,y<0.4>的近似值. 3．證明求解初值問題的梯形公式是yk+1=yk+,h=xk+1－xk<k=0,1,2,…,n－1>.4．用法解初值問題.證明：其截?cái)嗾`差為.這里.是法的近似解.5．用改進(jìn)的Euler公式求解初值問題.證明其近似解為.并證明當(dāng)時(shí).它收斂于原初值問題的準(zhǔn)確解．6．取步長(zhǎng)h=0.2用四階龍格――庫(kù)塔方法解7．用四步顯式公式求解初值問題取步長(zhǎng).小數(shù)點(diǎn)后至少保留六位.8.解：原方程化為令方程組則有令當(dāng)當(dāng)另外9.《常分方程數(shù)值解法》試題六及答案1．改進(jìn)歐拉法的平均形式公式是<><A><B><C><D>2．試寫出用歐拉預(yù)報(bào)－校正公式求解初值問題的計(jì)算公式.并取步長(zhǎng)h=0.1.求y<0.2>的近似值.要求迭代誤差不超過10－5.3．試證線性二步法當(dāng)時(shí)方法為二階.當(dāng)時(shí)方法為三階．4．取步長(zhǎng)h=0.2用四階龍格――庫(kù)塔方法解5．用差分法求方程的數(shù)值解〔h=0.26．用四步顯式公式求解初值問題取步長(zhǎng).小數(shù)點(diǎn)后至少保留六位.7．用經(jīng)典的四階公式解初值問題取.8.已知f<x>.解：設(shè)f<x>=y,則原方程化為兩邊求導(dǎo)得9.求具有性質(zhì)x<t+s>=的函數(shù)x<t>,已知x’<0>存在。解：令t=s=0x<0>==若x<0>0得x=-1矛盾。所以x<0>=0.x’<t>=>兩邊積分得arctgx<t>=x’<0>t+c所以x<t>=tg[x’<0>t+c]當(dāng)t=0時(shí)x<0>=0故c=0所以x<t>=tg[x’<0>t]《常分方程數(shù)值解法》試題七及答案1．求解初值問題歐拉法的局部截?cái)嗾`差是<>;改進(jìn)歐拉法的局部截?cái)嗾`差是<>;四階龍格－庫(kù)塔法的局部截?cái)嗾`差是<><A>O<h2><B>O<h3><C>O<h4><D>O<h5>2．用平均形式改進(jìn)歐拉法公式求解初值問題在x=0.2,0.4,0.6處的近似值.3．將下列方程化為一階方程組〔1〔2〔34．取步長(zhǎng)h=0.1用改進(jìn)歐拉法解初值問題試將計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確解相比較。5．試建立求解初值問題的如下數(shù)值解法．其中.〔．6．用四步顯式公式求解初值問題取步長(zhǎng).小數(shù)點(diǎn)后至少保留六位.《常分方程數(shù)值解法》試題八及答案1．改進(jìn)歐拉預(yù)報(bào)－校正公式是改進(jìn)歐拉法平均形式公式為yp=,yc=.yk+1=試說明它們是同一個(gè)公式.2．用平均形式改進(jìn)歐拉法公式求解初值問題在x=0.2,0.4,0.6處的近似值.3．試證線性二步法當(dāng)時(shí)方法為二階.當(dāng)時(shí)方法為三階．4．取步長(zhǎng)h=0.1用改進(jìn)歐拉法解初值問題試將計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確解相比較。5．下列各題先用龍格――庫(kù)塔法求表頭.然后用阿當(dāng)姆斯法繼續(xù)求以后各值 〔1 〔26．求方程的數(shù)值解〔取h=0.2。7．試建立求解初值問題的如下數(shù)值解法．其中.〔．《常分方程數(shù)值解法》試題九及答案1．設(shè)四階龍格－庫(kù)塔法公式為其中1=f<xk,yk>；2=f<xn+h.yk+h1>；3=f<xk+h.yn+h2>；4=f<xk+h.yk+h3>取步長(zhǎng)h=0.3.用四階龍格－庫(kù)塔法求解初值問題的計(jì)算公式是.2．用法解初值問題.證明：其截?cái)嗾`差為.這里.是法的近似解.3．取步長(zhǎng)h=0.1用改進(jìn)歐拉法解初值問題試將計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確解相比較。4．用改進(jìn)的Euler公式求解初值問題.證明其近似解為.并證明當(dāng)時(shí).它收斂于原初值問題的準(zhǔn)確解．5．求方程的數(shù)值解〔取h=0.2。6．試建立求解初值問題的如下數(shù)值解法．其中.〔．7．用二階展開法求初值問題的解在時(shí)的近似值〔取步長(zhǎng).小數(shù)點(diǎn)后至少保留5位.《常分方程數(shù)值解法》試題十及答案1．用歐拉法解初值問題.取步長(zhǎng)h=0.2.計(jì)算過程保留4位小數(shù)。解：h=0.2,f<x>=－y－xy2.首先建立歐拉迭代公式 當(dāng)k=0.x1=0.2時(shí).已知x0=0,y0=1.有y<0.2>y1=0.2×1<4－0×1>＝0.8000當(dāng)k＝1.x2=0.4時(shí).已知x1=0.2,y1=0.8.有y<0.4>y2=0.2×0.8×<4－0.2×0.8>＝0.6144當(dāng)k=2.x3=0.6時(shí).已知x2=0.4,y2=0.6144.有y<0.6>y3=