第05講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（講義）（原卷版）

第05講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)名目考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析〔1〕理解對(duì)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)，能用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).〔2〕通過實(shí)例，了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，會(huì)畫對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特別點(diǎn).〔3〕了解指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(，且)互為反函數(shù)．2022年天津卷第6題，5分2022年浙江卷第7題，5分2022年I卷I卷第7題，5分從近五年的高考狀況來看，對(duì)數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)是高考的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，常與二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)綜合，考查數(shù)值大小的比擬和函數(shù)方程問題.1、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算(1)對(duì)數(shù)的定義：一般地，假如且，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，讀作以為底的對(duì)數(shù)，其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．(2)常見對(duì)數(shù)：①一般對(duì)數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對(duì)數(shù)；②常用對(duì)數(shù)：以為底，記為；③自然對(duì)數(shù)：以為底，記為；(3)對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法那么：①；；其中且；②(其中且，)；③對(duì)數(shù)換底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及圖像(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點(diǎn)，即時(shí)，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，【解題方法總結(jié)】1、對(duì)數(shù)函數(shù)常用技巧在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時(shí)，隨的增大，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近軸；當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象隨的增大而遠(yuǎn)離軸．(見以下圖)題型一：對(duì)數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)不等式【例1】〔2023·四川成都·成都七中校考模擬猜測(cè)〕______．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】〔2023·遼寧沈陽·沈陽二中?？寄M猜測(cè)〕，，那么______．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】〔2023·上海徐匯·位育中學(xué)校考模擬猜測(cè)〕方程的解集為________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】〔2023·山東淄博·統(tǒng)考二?！吃O(shè)，滿意，那么__________.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】〔2023·天津南開·統(tǒng)考二?！秤?jì)算的值為______.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕假設(shè)，，用a，b表示____________【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】〔2023·上海·高三校聯(lián)考階段練習(xí)〕假設(shè)，且，那么__________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕=____________；【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕解關(guān)于x的不等式解集為_____．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】〔2023·上海楊浦·高三上海市楊浦高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試〕函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么的解集是__________.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】〔2023·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)〕方程的解為_________．【解題方法總結(jié)】對(duì)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算問題要留意公式的順用、逆用、變形用等.對(duì)數(shù)方程或?qū)?shù)不等式問題是要將其化為同底，利用對(duì)數(shù)單調(diào)性去掉對(duì)數(shù)符號(hào)，轉(zhuǎn)化為不含對(duì)數(shù)的問題，但這里必需留意對(duì)數(shù)的真數(shù)為正.題型二：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像【例2】〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕函數(shù)〔a，b為常數(shù)，其中且〕的圖象如下圖，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔

〕A．， B．，C．， D．，【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)〔

〕A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】〔2023·北京·統(tǒng)考模擬猜測(cè)〕函數(shù)，那么不等式的解集為〔

〕A． B．C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】〔2023·北京·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試〕將函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，那么〔

〕A． B．C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】〔2023·北京海淀·清華附中?？寄M猜測(cè)〕不等式的解集為__________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】〔多項(xiàng)選擇題〕〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕當(dāng)時(shí)，，那么的值可以為〔

〕A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】爭論和爭論題中所涉及的函數(shù)圖像是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.圖像問題是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為爭論函數(shù)問題供應(yīng)了思維方向.題型三：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)〔單調(diào)性、最值〔值域〕〕【例3】〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕函數(shù)，假設(shè)在上為減函數(shù)，那么a的取值范圍為〔

〕A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】〔2023··統(tǒng)考三?！痴龜?shù)滿意，那么a與大小關(guān)系為______．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕函數(shù)在上的最大值是2，那么a等于_________【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕假設(shè)函數(shù)〔且〕在上的最大值為2，最小值為m，函數(shù)在上是增函數(shù)，那么的值是____________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕假設(shè)函數(shù)有最小值，那么的取值范圍是______．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】〔2023·河南·校聯(lián)考模擬猜測(cè)〕寫出一個(gè)同時(shí)具有以下性質(zhì)①②③的函數(shù):_____.①;②當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減;③為偶函數(shù).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】〔2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)〕函數(shù)的單調(diào)遞區(qū)間為〔

〕A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22】〔2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二?！澈瘮?shù)，那么〔

〕A．在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 B．在單調(diào)遞減C．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 D．有最小值，但無最大值【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕假設(shè)函數(shù)在上單調(diào)，那么a的取值范圍是〔

〕A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】爭論和爭論題中所涉及的函數(shù)性質(zhì)是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.性質(zhì)問題是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為爭論函數(shù)問題供應(yīng)了思維方向.題型四：對(duì)數(shù)函數(shù)中的恒成立問題【例4】〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕函數(shù)，，假設(shè)存在，任意，使得，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24】〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕假設(shè)，不等式恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25】〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕函數(shù)，，對(duì)任意的，，有恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26】〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕函數(shù)，假設(shè)對(duì)，使得，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練27】〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕函數(shù).(1)假設(shè)，求a的值；(2)假設(shè)對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練28】〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕，.〔1〕當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；〔2〕對(duì)任意，其中常數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解題方法總結(jié)】〔1〕利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像求解；〔2〕別離自變量與參變量，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.〔3〕涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，借助同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.題型五：對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問題【例5】〔多項(xiàng)選擇題〕〔2023·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬猜測(cè)〕，，，，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔

〕A． B．C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練29】〔2023·海南?？凇そy(tǒng)考模擬猜測(cè)〕正實(shí)數(shù)，滿意：，那么的最小值為______.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30】〔多項(xiàng)選擇題〕〔2023·廣東惠州·統(tǒng)考一?！臣僭O(shè)，那么〔

〕A． B．C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練31】〔2023·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)〕，分別是方程和的根，假設(shè)，實(shí)數(shù)a，，那么的最小值為〔

〕A．1 B． C． D．2【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練32】〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕假設(shè)滿意，滿意，那么等于〔

〕A．2 B．3 C．4 D．5【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練33】〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕是方程的根，是