二項式系數(shù)的三個重要性質

X二項式系數(shù)的性質復習1.什么叫二項式定理？通項公式？1aan)(110--bCbaCbannn)(+++++=+NnbCCnnrrnrnnn……2.什么叫二項式系數(shù)？首先我們通過幾個小題，來鞏固所學的二項式定理。練一練寫出下列各式的二項展開式(1).(a+b)2(3).(a+b)4(4).(a+b)5(2).(a+b)3解：6ab22

a4b44ab34ab3++++3

a3ab2b33ab2+++5

a5ab45ab410ab2310ab23b5+++++2abb22

a++(1).(a+b)2(2).(a+b)3(3).(a+b)4(4).(a+b)5====我們的這位偉大的古代數(shù)學家究竟想告訴我們一些什么呢？這張表究竟有何寓意呢？?讓我們一起來探究這張“三角形”圖表的玄秘

一一一一二一一三三一一四六四一一五十十五一一六十五二十十五六一本積平方立方三乘四乘五乘商實NewLesson早在我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里記載著下面的這樣一張表：

一一一一二一一三三一一四六四一一五十十五一一六十五二十十五六一下面我們將剛才幾小題中的二項展開式與那張圖表放在一起觀察。經過觀察，同學們發(fā)現(xiàn)了什么呢？各項系數(shù)：15101051各項系數(shù)：14641各項系數(shù)：121各項系數(shù)：1331

(a+b)22abb22

a++=

(a+b)33

a3ab2b33ab2+++=(a+b)46ab22

a4b44ab34ab3++++=5

a5ab45ab410ab2310ab23b5+++++(a+b)5=21111051105461143113a+b11111?最后一行數(shù)字又表示什么呢?(a+b)=10

上述由我國南宋數(shù)學家楊輝所記述的“三角形”圖表揭示了二項展開式的二項式系數(shù)的排列規(guī)則。顯示了中華民族超凡智慧和中國古代輝煌的數(shù)學成就與科技水平。

我們把這個表稱為楊輝三角。在《詳解九章算法》一書里，楊輝指出這個方法出于《釋鎖》算書，且我國北宋數(shù)學家賈憲（約公元11世紀）已經用過它。這表明我國發(fā)現(xiàn)這個表不晚于11世紀。在歐洲，這個表被認為是法國數(shù)學家帕斯卡（BlaisePascal,1623年—1662年）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個表叫做帕斯卡三角。這就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的。

楊輝三角揭示了二項展開式的二項式系數(shù)的變化情況。那么楊輝三角有何特點？或者說二項展開式的二項式系數(shù)是如何變化的呢？?想一想

一一一一二一一三三一一四六四一一五十十五一一六十五二十十五六一能否用已學的數(shù)學知識加以說明呢？(a+b)1………11(a+b)2…121(a+b)3………………1331(a+b)4……………14641(a+b)5……………15101051(a+b)6…………1615201561………遞推法

一一一一二一一三三一一四六四一一五十十五一一六十五二十十五六一a).表中每行兩端都是1。b).除1外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和。21346104+6=102+1=3例如：crncr-1n+crn+1=當n不大時，可用該表來求二項式系數(shù)。C23C22C12+==3C25C24C14+==10因為：令d).nnnnnC,,,210CCC,……(a+b)n展開式的二項式系數(shù)依次是從函數(shù)角度看，Cnr可看成是以r為自變量的函數(shù)f(r),其定義域是{0,1,2,…,n}定義域{0,1,2,…,n}例如：當n=6時,其圖象是7個孤立點6361420Orf(r)二項式系數(shù)的三個重要性質1.對稱性

在二項展開式1aan)(110--bCbaCbannn)(+++++=+NnbCCnnrrnrnnn……中，尾項的二項式系數(shù)為cnn首項的二項式系數(shù)為c0n，倒數(shù)第二項的二項式系數(shù)為cn-1n第二項的二項式系數(shù)為c1n，第n-r+1項的二項式系數(shù)為cn-rn第r+1項的二項式系數(shù)為crn，cnnc0n=顯然，………c1ncn-1n=，同理cn-rncrn=則有，

二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等。結論：當時，二項式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性知它的后半部是逐漸減小的，且在中間取得最大值。

當n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大時；當n是奇數(shù)時，中間的兩項，相等，且同時取得最大值。由于Ckn=n(n-1)(n-2)(n-3)……(n-k+1)k?(k-1)=Ck-1n?kn–k+1Ck-1nkn–k+1Ckn所以相對于的增減情況由決定由于kn–k+1>1k<n+12因而2.增減性與最大值6361420Orf(r)r=n2隨堂練習：在(x+y)的展開式中，若第7項的系數(shù)最大，求n的值。n解：

當n

為偶數(shù)時，展開式共有奇數(shù)項，此時第7項恰為中間項，則共有13項，故n=12。當n

為奇數(shù)時，若第7項為兩項中的前一項，若第7項為兩項中的后一項，第7項為中間兩項中的一項，展開式共有偶數(shù)項，則第7、第8項為中間兩項，故共有14項，n=13，則第6、第7項為中間兩項，故共有12項。n=11。

n=11、12或131aan)(110--bCbaCbannn)(+++++=+NnbCCnnrrnrnnn……在上述二項式定理中，令a=b=1,則1同時，由于C0n=，上式還可寫成n2=-1n1C……nnCn2CnC3++++0Cnn1C……nnCn2CnC3+++++=n2我們往往稱這種方法為賦值法，賦即給予。其思想是若對于任意xA，命題

f均成立，那么對于特殊值xA，命題

f也成立。03.各二項式系數(shù)和解：設集合A的元素個數(shù)為n，則它的子集所含元素個數(shù)的情況為：0、2、1、而集合A的子集中，不含元素的子集（即空集?）的個數(shù)為C0n含1個元素的子集的個數(shù)為C1nC2n含2個元素的子集的個數(shù)為Cnn含n個元素的子集的個數(shù)為…4、n3、C1nC0nC2nC3nCnnC4n++++++…=n2拓展題：

試用例題中的結論說明含n個元素的集合的子集個數(shù)為,真子集個數(shù)為,非空真子集個數(shù)為。n2n2-1n2-2集合A的所有子集的個數(shù)等于：…………n-1

2集合A的真子集個數(shù)等于：n-2

2集合A的非空真子集個數(shù)等于：例一、已知的展開式中只有第10項系數(shù)最大，求第五項。

依題意，為偶數(shù)，且解：（1）

二項式系數(shù)的三個性質:

（2）

數(shù)學思想：函數(shù)思想。二項式系數(shù)之和:

最值:（3）

數(shù)學方法：賦值法、遞推法當時，二項式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性知,它的后半部是逐漸減小的。

當n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大時；當n是奇數(shù)時，中間的兩項，相等，且同時取得最大值。增減性:n2(由賦值法求得)小結：作業(yè)二、已知的展開式中第10項系數(shù)最大，求第五項。

書本P

習題10.4第9題

111一、思考題：已知二項式(a+b)15

（1）求二項展開式中的中間項；（2）比較T3，T7

，T12

，T13各項系數(shù)的大小，并說明理由。祝同學們學習進步,萬事如意!

一一一一三一一三三一一四六四一一五十十五一一六十五二十十五六一例二、證明的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和。ban)(+證明：1a10-CCn+rnan1-bban++++=bCCnnrnrnn……ban)(+在展開式中，1+=1n)(-Cnnn)(-10nC1nCC2n3nC--+…+b=-1，令a=1，則得++0nCC2n…-++1nC…3nC)(()0=++0nCC2n…++1nC…3nC=就是即在ban)(+的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項系數(shù)的和。證畢。上述證明過程中用到了什么方法？賦值法

（2）T3，T7

，T12

，T13

的系數(shù)分別為：例三、已知二項式(a+b)15

（1）求二項展開式中的中間項；（2）比較T3，T7

，T12

，T13各項系數(shù)的大小，并說明理由。1512151511CCCC==3415,因為15152C6154315CCC<<<因為又

（1）中間項有兩項：解：T3

<T13

<

T12<

T7例四、