第04講充分條件與必要條件（人教A版2019）

第04講充分條件與必要條件【人教A版2019】·模塊一命題·模塊二充分、必要與充要條件·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一命題1．命題及相關概念【考點1命題的概念】【例1.1】（2023·高一課時練習）下列語句中：①?1<2；②x>1；③x2?1=0有一個根為0；④高二年級的學生；⑤今天天氣好熱?、抻凶钚〉馁|數嗎？其中是命題的是（A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③【解題思路】根據命題的定義即可求解.【解答過程】命題是能判斷真假的陳述句，由于⑤⑥不是陳述句，故不是命題，②④無法判斷真假，故不是命題，①③可以判斷真假且是陳述句，故是命題，故選：D.【例1.2】（2023春·四川綿陽·高二校考階段練習）下列語句是命題的是（

）A．二次函數的圖象太美啦！ B．這是一棵大樹C．求證：1+1=2 D．3比5大【解題思路】根據命題的定義逐一判斷即可.【解答過程】能夠判斷成立或不成立的陳述句叫命題，只有選項D能夠判斷出真假，3比5大顯然不成立，是假命題，故選：D.【變式1.1】（2022秋·高一課時練習）下列命題：①矩形既是平行四邊形又是圓的內接四邊形;②菱形是圓的內接四邊形且是圓的外切四邊形;③方程x2④周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等;⑤集合A∩B是集合A的子集，且是A∪B的子集．其中真命題的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據矩形以及菱形的性質即可判斷①②，根據一元二次方程的判別式即可判斷③，根據三角形全等的判斷即可判斷④，根據集合的關系即可判斷⑤.【解答過程】對于①，矩形是平行四邊形，同時矩形有外接圓，故正確;對于②，菱形不一定有外接圓，故錯誤，對于③，方程x2?3x?4=0的判別式為對于④，周長或者面積相等的三角形不一定全等，故錯誤，對于⑤，A∩B?A,A?A∪B,故正確;故選：C．【變式1.2】（2023秋·上海黃浦·高一?？茧A段練習）設a∈R，關于x,y的方程組x?ay=1ax+y=a.對于命題：①存在a，使得該方程組有無數組解；②對任意A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題【解題思路】通過解方程組的知識求得正確答案.【解答過程】由x?ay=1得x=ay+1，則aay+1+y=a，a2則x=1ax=a，解得x=1所以關于x,y的方程組x?ay=1ax+y=a有唯一解x=1所以①為假命題，②為真命題.故選：D.模塊二模塊二充分、必要與充要條件1．充分條件與必要條件一般地，數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件．數學中的每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件．2．充要條件如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，記作p?q.此時p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件．【注】：“?”的傳遞性若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件．3．充分、必要與充要條件的判定(1)如果既有p?q，又有q?p，則p是q的充要條件，記為p?q.(2)如果p?且q?，則p是q的既不充分也不必要條件.(3)如果p?q且q?，則稱p是q的充分不必要條件.(4)如p?且q?p，則稱p是q的必要不充分條件.(5)設與命題p對應的集合為A={x|p(x)}，與命題q對應的集合為B={x|q(x)}，若AB，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若A=B，則p是q的充要條件.【考點1充分條件、必要條件及充要條件的判定】【例1.1】（2023·高一課時練習）若a<b<c，則“a+b+c=0”是“ac<0”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據充分不必要條件的定義判斷可得出答案.【解答過程】因為a<b<c，a+b+c=0，所以a<0,c>0，所以ac<0，若a<b<c，ac<0，則a+b+c不一定等于0，如a=?2,b=3,c=4，則a+b+c=5≠0，所以若a<b<c，則“a+b+c=0”是“ac<0”的充分不必要條件.故選：A.【例1.2】（2023·四川遂寧·四川省?？寄M預測）明——羅貫中《三國演義》第49回“欲破曹公，宜用火攻;萬事倶備，只欠東風”，比喻一切都準備好了，只差最后一個重要的條件.你認為“東風”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據充分條件、必要條件的定義，結合題意即可下結論.【解答過程】“東風”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的必要條件，但不是充分條件.故選：B.【變式1.1】（2023·高一課時練習）已知p是r的充分不必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，下列命題中：①r是q的充要條件；②p是q的充分不必要條件；③r是q的必要不充分條件；④r是s的充分不必要條件．正確命題的序號是（

）A．①④ B．①②C．②③ D．②④【解題思路】由充分必要條件的定義和傳遞性，可得結論．【解答過程】由p是r的充分不必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，可得p?r，r推不出p，q?r，r?s，s?q，所以r?q，故r是q的充要條件，①正確；p?q，q推不出p，故p是q的充分不必要條件，②正確；r?q，故r是q的充要條件，③錯誤；r?s，故r是s的充要條件，④錯誤．故選：B.【變式1.2】（2023·高一單元測試）若a,b∈R，則“a>1,b>1”的充分不必要條件是（

A．ab>1且a+b>2 B．ab>1且(a?1)(b?1)>0C．a+b>2且(a?1)(b?1)>0 D．a+b>3且(a?1)(b?1)>0【解題思路】對于選項A和B，可通過對a,b取特殊值進行驗證判斷，從而判斷出正誤；對于選項C，利用選項C中的條件，得出a>1,b>1，從而得出選項C是充要條件，從而判斷出不符合結果，進而得出結論.【解答過程】對于A，當a=12,b=4時，有ab>1且a+b>2對于B，當a=?2,b=?3時，有ab>1且(a?1)(b?1)>0，但得不出a>1,b>1，故B錯誤；對于C，由(a?1)(b?1)>0，得到a>1且b>1或a<1且b<1，又a+b>2，故a>1且b>1，此時是充要條件，故C錯誤；綜上，可知符合條件的為選項D.故選：D.【考點2充分條件、必要條件及充要條件的探索】【例2.1】（2023·高一課時練習）已知a,b∈R，則“a>b”的一個必要條件是（

）A．|a|>|b| B．aC．a>b+1 D．a>b?1【解題思路】根據不等式的性質即可求解.【解答過程】由于a>b可得a>b?1，故“a>b?1”是“a>b”的必要條件，由a>b不能得到|a|>|b|，a2>b2，故選：D.【例2.2】（2023·上海普陀·統考二模）設a,b為實數，則“a>b>0”的一個充分非必要條件是（

）A．a?1>b?1 C．1b>1【解題思路】由充分非必要條件定義，根據不等式的性質判斷各項與a>b>0推出關系即可.【解答過程】由a?1>b?1，則a?1>b?1b?1≥0，可得a>b≥1由a2>b2，則由1b>1a，則a>b>0或b>0>a或由a?b>b?a，則a>b，推不出a>b>0，反向可推出，不滿足；故選：A.【變式2.1】（2023秋·遼寧·高一校聯考期末）給出的下列條件中能成為xx?3≥0的充分不必要條件是（A．x≤0或x>3 B．x<?1或x>3 C．x≤?1或x≥3 D．【解題思路】根據充分條件，必要條件的定義，結合集合的包含關系解決即可.【解答過程】由題知，xx?3所以xx?3≥0x?3≠0，解得x≤0對于A，能成為xx?3對于B,能成為xx?3對于C，能成為xx?3對于D，能成為xx?3故選：B.【變式2.2】（2023春·遼寧鞍山·高一校聯考階段練習）“關于x的不等式x2?2ax+a>0的解集為R”的一個必要不充分條件是（A．0<a<1 B．0≤a<1 C．0<a<13 【解題思路】根據不等式x2?2ax+a>0的解集為R求得【解答過程】解：關于x的不等式x2?2ax+a>0的解集為R，則解得0<a<1，所以“關于x的不等式x2?2ax+a>0的解集為R”的一個必要不充一個分條件“故選：B.【考點3由充分條件、必要條件求參數】【例3.1】（2023秋·廣東廣州·高一校聯考期末）若不等式?a+1<x<a+1的一個充分條件為0<x<1，則實數a的取值范圍是（

）A．a>0 B．a≥0 C．a>1 D．a≥1【解題思路】結合充分條件的定義列出不等式組，求解即可．【解答過程】若不等式?a+1<x<a+1的一個充分條件為0<x<1，則0,1??a+1,a+1，所以0≥?a+1?a+1<a+1則實數a的取值范圍是a≥1.故選：D.【例3.2】（2023·福建福州·高三校考階段練習）設p：4x?3<1；q：x?（2a+1）A．a>0 B．a>1 C．a≥0 D．a≥1【解題思路】化簡p,q，根據充分不必要的定義列不等式求a的范圍.【解答過程】由已知可得p:x<1,q:x<2a+1，因為p是q的充分不必要條件，所以2a+1>1，所以a>0，故選：A．【變式3.1】（2023·全國·高三專題練習）已知集合A=?2,5，B=m+1,2m?1．若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，則m的取值范圍是（A．?∞,3 B．2,3 C．? 【解題思路】若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，則BA，列出不等式組求解即可.【解答過程】若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，則BA，所以m+1<2m?1m+1≥?22m?1≤5，解得2<m≤3，即m的取值范圍是故選：B.【變式3.2】（2023·全國·高三專題練習）如果不等式x?a<1成立的充分不必要條件是12<A．12,32 B．12,【解題思路】解絕對值不等式，得到a?1<x<1+a，結合題干條件得到x1【解答過程】x?a<1所以a?1<x<1+故x12<所以a?1≤12解得：12故實數a的取值范圍是12故選：B.【考點4充要條件的證明】【例4.1】（2023秋·福建寧德·高一?？计谀┣笞C：x=1是一元二次方程ax2【解題思路】先證明充分性，再證明必要性.【解答過程】證明：（1）充分性：由a+b+即x=1滿足方程a∴x=1是方程（2）必要性：∵x=1是方程將x=1代入方程ax2故x=1是一元二次方程a是a+【例4.2】（2022秋·高一課時練習）已知x,y都是非零實數，且x>y，求證：1x<1【解題思路】根據充要條件的定義進行證明即可．【解答過程】（1）必要性：由1x<1y，得又由x>y，得y?x<0，所以xy>0.（2）充分性：由xy>0及x>y，得xxy>y綜上所述，1x<1【變式4.1】（2023·全國·高三專題練習）設a,b,c∈R證明:a2+b【解題思路】分別證明充分性與必要性即可.【解答過程】證明:(1)充分性:如果a=b=c,那么(a?b)2∴a(2)必要性:如果a2那么a2∴(a?b)2+由(1)(2)知,a2+b【變式4.2】（2022秋·湖北武漢·高一校考階段練習）設a，b，c分別是三角形ABC的三條邊長，且a≤b≤c，請利用邊長a，b，【解題思路】根據所給條件類比勾股定理得到a2【解答過程】a2充分性：∵a2+b2>∵a≤b≤c，∴???∠過點A作BC的垂線，交BC的延長線于點D，由勾股定理，得c==b2+∴△ABC為銳角三角形.必要性：∵△ABC為銳角三角形，∴∠B<90°，∠C<90°°，過點A作由勾股定理知，得c==b綜上，△ABC為銳角三角形的一個充要條件為a模塊模塊三課后作業(yè)1．（2023春·上海黃浦·高一?？计谥校┤鬭,b,c∈R，則“ac=bc”是“a=b”的（

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據充分條件、必要條件的定義即可得解.【解答過程】若c=0，令a=2,b=1，滿足ac=bc，但a≠b；若a=b，則ac=bc一定成立，所以“ac=bc”是“a=b”的必要不充分條件.故選：B.2．（2023秋·甘肅蘭州·高一?？计谀┟}“?x>1,?x2A．m<1 B．m<2 C．m≤2 D．m<3【解題思路】將問題轉化為x2>m?1在【解答過程】因為命題“?x>1,?所以x2>m?1在所以m?1≤1，即m≤2，所以命題“?x>1,?x2故選：C.3．（2023春·山西晉中·高一?？茧A段練習）杜甫在《奉贈韋左丞丈二十二韻》中有詩句：“讀書破萬卷，下筆如有神.”對此詩句的理解是讀書只有讀透書，博覽群書，這樣落實到筆下，運用起來才有可能得心應手，如有神助一般，由此可得，“讀書破萬卷”是“下筆如有神”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據充分條件和必要條件的定義分析判斷.【解答過程】杜甫的詩句表明書讀得越多，文章未必就寫得越好，但不可否認的是，一般寫作較好的人，他的閱讀量一定不會少，而且所涉獵的文章范疇也會比一般讀書人廣泛.因此“讀書破萬卷”是“下筆如有神”的必要不充分條件.故選：C.4．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）設x,y∈R，下列說法中錯誤的是（

）A．“x>1”是“x2B．“xy=0”是“x2C．“x>1,y>1”是“x+y>2,xy>1”的充要條件D．“x>y”是“x2【解題思路】根據充分條件，必要條件的概念依次判斷各選項即可.【解答過程】解：對于A，因為x2>1的解集為?∞,?1∪對于B，“xy=0”時，“x2+y2=0”不一定成立，反之“x2+對于C，“x>1,y>1”時，“x+y>2,xy>1”一定成立，反之“x+y>2,xy>1”成立時，x>1,y>1不一定成立，例如x=12,y=3，所以“x>1,y>1對于D，當x=1,y=?2時，滿足“x>y”，但不滿足“x2>y2”；當x=?2,y=?1時，滿足“x2>y故選：C.5．（2022秋·遼寧·高一校聯考期末）對任意實數a，b，c，下列命題中真命題是（

）A．“a=b”是“ac=bc”的充要條件B．“a+32是無理數”是“C．“a2>bD．“a<5”是“a<3”的充分條件【解題思路】通過反例可知ACD錯誤；根據充要條件和必要條件的定義可知B正確.【解答過程】對于A，當c=0時，ac=bc，此時可以對于B，當a+32為無理數時，根據32當a為無理數時，根據32為有理數可得a+∴“a+32是無理數”是“對于C，當a=?2,b=?1時，a2>b故“a2>b對于D，當a=4時，a<5，但是a>3，所以“a<5”不是“a<3”的充分條件，D錯誤.故選：B.6．（2023·天津·校聯考二模）已知a≠0，命題p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根，命題q:a+b+c=0，則p是qA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據充分、必要性的定義判斷命題間的推出關系，即可得答案.【解答過程】對于命題p，x=1為方程的根，則a+b+c=0，充分性成立；對于命題q，a+b+c=0且a≠0，則x=1必是題設方程的一個根，必要性成立；所以p是q的充分必要條件.故選：C.7．（2023春·新疆烏魯木齊·高一?？奸_學考試）設p:2<x<3，q:x>a，若p是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是（

）A．[2,+∞) B．?∞,2 C．【解題思路】由p是q的充分不必要條件得到兩個范圍對應集合之間的包含關系，進而得到實數a的取值范圍.【解答過程】因為p是q的充分不必要條件，所以x2<x<3所以a≤2，即實數a的取值范圍是?∞故選：B.8．（2023·高一課時練習）一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0A．a<0 B．a>0 C．a<?1 D．a>1【解題思路】先由方程根的情況可得4?4a>01a<0【解答過程】因為一元二次方程ax2+2x+1=0所以4?4a>01a<0所以一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0故選：C.9．（2023·四川綿陽·?？寄M預測）若x>m2?3?是1<xA．?2,2 B．?2,2? C．?3,3? D．2,3【解題思路】根據前者是后者得必要不充分條件，得到(1,6]m2?3,+∞，再利用數軸得到不等式，得到【解答過程】∵x>m2?3是1<∴m2?3≤1故選：B.10．（2023·全國·高三專題練習）若對于任意實數x，x表示不超過x的最大整數，例如2=1，3=1，?1.6=?2，那么“x=yA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據高斯函數的定義以及充分必要條件的定義推導即可.【解答過程】如果x=y=∴x?y=d1反之，如果x?y＜1，比如x根據定義，x=3,故x=y是故選：A.11．（2023春·山東濱州·高二?？茧A段練習）指出下列各組命題中，p是q的什么條件？q是p的什么條件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中選一種作答）(1)p：x為自然數，q：x為整數；(2)p：a<2，q：a<1；(3)p：同位角相等，q：兩直線平行；(4)p：四邊形的兩條對角線相等，q：四邊形是平行四邊形．【解題思路】（1）由自然數和整數的概念作出判斷；（2）a<2?a<1，而（3）兩者可互相推出，故可得到結論；（4）舉出反例，得到結論.【解答過程】（1）x為自然數，則x為整數，但x為整數，不妨令x=?1故p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；（2）a<2?a<1，而故p是q的必要不充分條件；q是p的充分不必要條件；（3）同位角相等，可得到兩直線平行，反之，兩直線平行，可得到同位角相等，p是q的充要條件；q是p的充要條件；（4）若四邊形的兩條對角線相等，則四邊形可能為等腰梯形，故充分性不成立，若四邊形是平行四邊形但不是矩形，則兩條對角線不相等，故必要性不成立.故p是q的既不充分也不必要條件；q是p的既不充分也不必要條件.12．（2023春·江西新余·高一?？茧A段練習）已知p：關于x的方程x2?2ax+a2+a?2=0(1)若命題?p是真命題，求實數a的取值范圍；(2)若p是q的必要不充分條件，求實數m的取值范圍．【解題思路】（1）由命題?p是真命題，可得命題p是假命題，再借助Δ<0，求出a（2）由p是q的必要不充分條件，可得出兩個集合的包含關系，由此列出不等式求解作答.【解答過程】（1）因為命題?p是真命題，則命題p是假命題，即關于x的方程x2因此Δ=4a2所以實數a的取值范圍是a>2.（2）由（1）知，命題p是真命題，