數(shù)學(xué)33幾何概型2課時(shí)

3.3幾何概型

3.3.1幾何概型

問題提出1.計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些方法?〔1〕通過做試驗(yàn)或計(jì)算機(jī)模擬，用頻率估計(jì)概率；〔2〕利用古典概型的概率公式計(jì)算.〔1〕試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的根本領(lǐng)件只有有限個(gè)〔有限性〕；3.在現(xiàn)實(shí)生活中，常常會(huì)遇到試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是無窮多的情況，這時(shí)就不能用古典概型來計(jì)算事件發(fā)生的概率.對此，我們必須學(xué)習(xí)新的方法來解決這類問題.〔2〕每個(gè)根本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等〔等可能性〕.2.古典概型有哪兩個(gè)根本特點(diǎn)？幾何概型知識(shí)探究〔一〕：幾何概型的概念思考1：某班公交車到終點(diǎn)站的時(shí)間可能是11：30～12：00之間的任何一個(gè)時(shí)刻；往一個(gè)方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一點(diǎn)上.這兩個(gè)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)，還是無限個(gè)？假設(shè)沒有人為因素，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是否相等？思考2：以下圖中有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否那么乙獲勝.你認(rèn)為甲獲勝的概率分別是多少？BNBBNNBBBNN思考3：上述每個(gè)扇形區(qū)域?qū)?yīng)的圓弧的長度〔或扇形的面積〕和它所在位置都是可以變化的，從結(jié)論來看，甲獲勝的概率與字母B所在扇形區(qū)域的哪個(gè)因素有關(guān)？哪個(gè)因素?zé)o關(guān)？與扇形的弧長〔或面積〕有關(guān)，與扇形區(qū)域所在的位置無關(guān).BNBBNNBBBNN思考4：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度〔面積或體積〕成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概型.參照古典概型的特性，幾何概型有哪兩個(gè)根本特征？〔1〕可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)；〔2〕每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相等.思考5：某班公交車到終點(diǎn)站的時(shí)間等可能是11：30～12：00之間的任何一個(gè)時(shí)刻，那么“公交車在11：40～11：50到終點(diǎn)站〞這個(gè)隨機(jī)事件是幾何概型嗎？假設(shè)是，怎樣理解其幾何意義？知識(shí)探究〔二〕：幾何概型的概率對于具有幾何意義的隨機(jī)事件，或可以化歸為幾何問題的隨機(jī)事件，一般都有幾何概型的特性，我們希望建立一個(gè)求幾何概型的概率公式.思考1：有一根長度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段的長度都不小于1m的概率是多少？你是怎樣計(jì)算的？思考2：在玩轉(zhuǎn)盤游戲中，對于以下兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，甲獲勝的概率分別是多少？你是怎樣計(jì)算的？BBBNNNBBBNNN思考3：射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色的分環(huán)，從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心是金色，金色靶心叫“黃心〞.奧運(yùn)會(huì)射箭比賽的靶面直徑是122cm，黃心直徑是12.2cm，運(yùn)發(fā)動(dòng)在距離靶面70m外射箭.假設(shè)射箭都等可能射中靶面內(nèi)任何一點(diǎn)，那么如何計(jì)算射中黃心的概率？思考4：在裝有5升純潔水的容器中放入一個(gè)病毒，現(xiàn)從中隨機(jī)取出1升水，那么這1升水中含有病毒的概率是多少？你是怎樣計(jì)算的？思考5：一般地，在幾何概型中事件A發(fā)生的概率有何計(jì)算公式？思考6：向邊長為1的正方形內(nèi)隨機(jī)拋擲一粒芝麻，那么芝麻落在正方形中心和芝麻不落在正方形中心的概率分別是多少？由此能說明什么問題？概率為0的事件可能會(huì)發(fā)生，概率為1的事件不一定會(huì)發(fā)生.

理論遷移例1某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他翻開收音機(jī)，想聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率.例2甲乙兩人相約上午8點(diǎn)到9點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等候另一人20分鐘，過時(shí)離去，求甲乙兩人能會(huì)面的概率.Oxy202060601.幾何概型是不同于古典概型的又一個(gè)最根本、最常見的概率模型，其概率計(jì)算原理通俗、簡單，對應(yīng)隨機(jī)事件及試驗(yàn)結(jié)果的幾何量可以是長度、面積或體積.小結(jié)作業(yè)作業(yè)：P140練習(xí):1，2.

P142習(xí)題3.3A組:1.2.如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)，并且每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相等，那么該試驗(yàn)可以看作是幾何概型.通過適當(dāng)設(shè)置，將隨機(jī)事件轉(zhuǎn)化為幾何問題，即可利用幾何概型的概率公式求事件發(fā)生的概率.3.3.2均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

3.3幾何概型

問題提出1.幾何概型的含義是什么？它有哪兩個(gè)根本特點(diǎn)？含義：每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度〔面積或體積〕成比例的概率模型.特點(diǎn):〔1〕可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè);〔2〕每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相等.2.在幾何概型中，事件A發(fā)生的概率計(jì)算公式是什么？3.我們可以利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生整數(shù)值隨機(jī)數(shù)，還可以通過隨機(jī)模擬方法求古典概型的概率近似值，對于幾何概型，我們也可以進(jìn)行上述工作.均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生知識(shí)探究〔一〕：均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生思考1：一個(gè)人到單位的時(shí)間可能是8：00～9：00之間的任何一個(gè)時(shí)刻，假設(shè)設(shè)定他到單位的時(shí)間為8點(diǎn)過X分種，那么X可以是0～60之間的任何一刻，并且是等可能的.我們稱X服從[0，60]上的均勻分布，X為[0，60]上的均勻隨機(jī)數(shù).一般地，X為[a，b]上的均勻隨機(jī)數(shù)的含義如何？X的取值是離散的，還是連續(xù)的？X在區(qū)間[a，b]上等可能取任意一個(gè)值；X的取值是連續(xù)的.思考2：我們常用的是[0，1]上的均勻隨機(jī)數(shù)，可以利用計(jì)算器產(chǎn)生〔見教材P137〕.如何利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)？用Excel演示.〔1〕選定Al格，鍵人“＝RAND〔〕〞，按Enter鍵，那么在此格中的數(shù)是隨機(jī)產(chǎn)生的[0，1]上的均勻隨機(jī)數(shù)；〔2〕選定Al格，點(diǎn)擊復(fù)制，然后選定要產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的格，比方A2～A100，點(diǎn)擊粘貼，那么在A1～A100的數(shù)都是[0，1]上的均勻隨機(jī)數(shù).這樣我們就很快就得到了100個(gè)0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)，相當(dāng)于做了100次隨機(jī)試驗(yàn).思考3：計(jì)算機(jī)只能產(chǎn)生[0，1]上的均勻隨機(jī)數(shù)，如果試驗(yàn)的結(jié)果是區(qū)間[a，b]上等可能出現(xiàn)的任何一個(gè)值，那么需要產(chǎn)生[a，b]上的均勻隨機(jī)數(shù)，對此，你有什么方法解決？首先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生[0，1]上的均勻隨機(jī)數(shù)X=RAND,然后利用伸縮和平移變換：Y=X*(b—a)＋a計(jì)算Y的值，那么Y為[a，b]上的均勻隨機(jī)數(shù).思考4：利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生100個(gè)[2，6]上的均勻隨機(jī)數(shù)，具體如何操作？〔1〕在A1～A100產(chǎn)生100個(gè)0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)；〔2〕選定Bl格，鍵人“＝A1*4+2〞，按Enter鍵，那么在此格中的數(shù)是隨機(jī)產(chǎn)生的[2，6]上的均勻隨機(jī)數(shù)；〔3〕選定Bl格，拖動(dòng)至B100，那么在B1～B100的數(shù)都是[2，6]上的均勻隨機(jī)數(shù).知識(shí)探究〔二〕：隨機(jī)模擬方法思考1：假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6:30～7:30之間把報(bào)紙送到你家，你父親離開家去上班的時(shí)間在早上7:00～8:00之間，如果把“你父親在離開家之前能得到報(bào)紙〞稱為事件A，那么事件A是哪種類型的事件？隨機(jī)事件思考2：設(shè)X、Y為[0，1]上的均勻隨機(jī)數(shù)，6.5＋X表示送報(bào)人到達(dá)你家的時(shí)間，7＋Y表示父親離開家的時(shí)間，假設(shè)事件A發(fā)生，那么X、Y應(yīng)滿足什么關(guān)系？7＋Y>6.5＋X，即Y>X－0.5.思考3：如何利用計(jì)算機(jī)做100次模擬試驗(yàn)，計(jì)算事件A發(fā)生的頻率，從而估計(jì)事件A發(fā)生的概率？〔1〕在A1～A100，B1～B100產(chǎn)生兩組[0，1]上的均勻隨機(jī)數(shù)；〔2〕選定D1格，鍵入“=A1-B1〞，按Enter鍵.再選定Dl格，拖動(dòng)至D100，那么在D1～D100的數(shù)為Y-X的值；〔3〕選定E1格，鍵入“=FREQUENCY〔D1：D100，-0.5〕〞，統(tǒng)計(jì)D列中小于-0.5的數(shù)的頻數(shù)；思考4：設(shè)送報(bào)人到達(dá)你家的時(shí)間為x，父親離開家的時(shí)間為y，假設(shè)事件A發(fā)生，那么x、y應(yīng)滿足什么關(guān)系？6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x.思考5：你能畫出上述不等式組表示的平面區(qū)域嗎？思考6：根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式，事件A發(fā)生的概率為多少？y6.57.5xO78理論遷移例1在以下圖的正方形中隨機(jī)撒一把豆子，如何用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)圓周率的值.（1）圓面積︰正方形面積=落在圓中的豆子數(shù)︰落在正方形中的豆子數(shù).（2）設(shè)正方形的邊長為2，則落在圓中的豆子數(shù)÷落在正方形中的豆子數(shù)×4.例2利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算由y=1和y=x2所圍成的圖形的面積.xy01-11以直線x=1，x=-1，y=0，y=1為邊界作矩形，用隨機(jī)模擬方法計(jì)算落在拋物區(qū)域內(nèi)的均勻隨機(jī)點(diǎn)的頻率，那么所求區(qū)域的面積=頻率×2.小結(jié)作業(yè)1.在區(qū)間[a，b]上的均勻隨機(jī)數(shù)與整數(shù)值隨機(jī)數(shù)的共同點(diǎn)都是等可能取值，不同點(diǎn)是均勻隨機(jī)數(shù)可以取區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)實(shí)數(shù)，整數(shù)值隨機(jī)數(shù)只取區(qū)間內(nèi)的整數(shù).2.利用幾何概型的概率公式，結(jié)合隨機(jī)模擬試驗(yàn)，可以解決求概率、面積、參數(shù)值等一系列問題，表達(dá)了數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值.3.用隨機(jī)模擬試驗(yàn)不規(guī)那么圖形的面積的根本思