如何突破高中數(shù)學(xué)命題難點(diǎn)

如何突破高中數(shù)學(xué)命題難點(diǎn)一、定位整體

新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“常用規(guī)律用語”的定位為:“正確使用規(guī)律用語是現(xiàn)代社會(huì)公民應(yīng)當(dāng)具備的基本素養(yǎng)，無論是進(jìn)行思索、溝通，還是從事各項(xiàng)工作，都需要正確的運(yùn)用規(guī)律用語表達(dá)自己的思想.在本模塊中，同學(xué)們將在義務(wù)訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)常用規(guī)律用語，體會(huì)規(guī)律用語在表述和論證中的作用，利用這些規(guī)律用語精確?????地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容，更好地進(jìn)行溝通.”因此，學(xué)習(xí)規(guī)律用語，不僅要了解數(shù)理規(guī)律的有關(guān)學(xué)問，還要體會(huì)規(guī)律用語在表述或論證中的作用，使以后的論證和表述更加精確?????、清楚和簡(jiǎn)潔.

二、明確重點(diǎn)

“常用規(guī)律用語”分成三大節(jié)，分別為：命題及其關(guān)系，簡(jiǎn)潔的規(guī)律聯(lián)結(jié)詞，全稱量詞與存在量詞.

“命題及其關(guān)系”分兩小節(jié)：一、“四種命題”，此節(jié)重點(diǎn)在于四種命題形式及其關(guān)系，互為逆否命題的等價(jià)性；二、“充分條件和必要條件”，此節(jié)重點(diǎn)在于充分條件、必要條件、充要條件的精確?????理解以及正確推斷.

“簡(jiǎn)潔的規(guī)律聯(lián)結(jié)詞”重點(diǎn)在于“且”、“或”、“非”這三個(gè)規(guī)律聯(lián)結(jié)詞的理解和應(yīng)用.

“全稱量詞與存在量詞”重點(diǎn)在于理解全稱量詞與存在量詞的意義，以及正確做出含有一個(gè)量詞的命題的否定.

三、突破難點(diǎn)

1.“四種命題”的難點(diǎn)在于分清命題的條件和結(jié)論以及推斷命題的真假

例1分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并推斷它們的真假.

（1）全等三角形的面積相等；

（2）m＞時(shí)，方程mx2-x+1=0無實(shí)根；

（3）若sinα≠，則α≠30°.

解析（1）條件為兩個(gè)三角形全等，結(jié)論為它們的面積相等.因此，原命題即為“若兩個(gè)三角形全等，則它們的面積相等”，逆命題為“若兩個(gè)三角形面積相等，則它們?nèi)取保衩}為“若兩個(gè)三角形不全等，則它們的面積不相等”，逆否命題為“若兩個(gè)三角形面積不相等，則它們不全等”.依據(jù)平面幾何學(xué)問，易得原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題.

（2）原命題即為“若m＞，則方程mx2-x+1=0無實(shí)根”，逆命題為“若方程mx2-x+1=0無實(shí)根，則m＞”，否命題為“若m≤，則方程mx2-x+1=0有實(shí)根”，逆否命題為“若方程mx2-x+1=0有實(shí)根，則m≤”.依據(jù)判別式Δ=1-4m的正負(fù)可知，原命題、逆命題、否命題、逆否命題均為真命題.

（3）原命題即為“若sinα≠，則α≠30°”，逆命題為“若α≠30°，則sinα≠”，否命題為“若sinα=，則α=30°”，逆否命題為“若α=30°，則sinα=”.直接推斷原命題與逆命題真假有些困難，但考慮到原命題與逆否命題等價(jià)，逆命題與否命題等價(jià)，因此可以先考慮逆否命題和否命題；由三角函數(shù)的學(xué)問，可知原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題.

突破對(duì)于推斷命題的真假，我們需要先弄清何為條件、何為結(jié)論，然后依據(jù)相應(yīng)的學(xué)問進(jìn)行推斷，當(dāng)原命題不簡(jiǎn)單直接推斷時(shí)，可以先推斷其逆否命題的真假性，從而得到原命題的真假性.

2.“充分條件和必要條件”的難點(diǎn)在于充要性的推斷

例2在下列命題中，推斷p是q的什么條件.（在“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分又不必要條件”中選出一種）

（1）p:|p|≥2，p∈R；q:方程x2+px+p+3=0有實(shí)根.

（2）p：圓x2+y2=r2與直線ax+by+c=0相切；q：c2=（a2+b2）r2，其中a2+b2≠0，r≠0.

（3）設(shè)集合M={x|x＞2}，N={x|x＜3}，p：x∈M∩N；q:x∈M∪N.

解析（1）當(dāng)|p|≥2時(shí)，例如p=3，此時(shí)方程x2+px+p+3=0無實(shí)根，因此“若p則q”為假命題；當(dāng)方程x2+px+p+3=0有實(shí)根時(shí)，依據(jù)判別式有p≤-2或p≥6，此時(shí)|p|≥2成立，因此“若q則p”為真命題.故p是q的必要不充分條件.

（2）若圓x2+y2=r2與直線ax+by+c=0相切，則圓心（0，0）到直線ax+by+c=0的距離等于r，即r=，化簡(jiǎn)可得c2=（a2+b2）r2，因此“若p則q”為真命題；反過來，由c2=（a2+b2）r2，可得r=，即圓心（0，0）到直線ax+by+c=0的距離等于r，由解析幾何學(xué)問得圓與直線相切，因此“若q則p”為真命題.故p是q的充要條件.

（3）M∩N=（2，3），M∪N=R，若x∈（2，3），此時(shí)明顯有x∈R，因此“若p則q”為真命題；反過來，若x∈R，例如x=5，此時(shí)x?埸（2，3），因此“若q則p”為假命題.故p是q的充分不必要條件.

突破①從規(guī)律的觀點(diǎn)理解：推斷充分性、必要性的前提是推斷給定命題的真假性，若“若p則q”為真命題，則p是q的充分條件；若“若q則p”為真命題，則p是q的必要條件；若兩者都是真命題，則p是q的充要條件；若兩者都是假命題，則p是q的既不充分也不必要條件.②從集合的觀點(diǎn)理解：建立命題p，q相應(yīng)的集合.p：A={x|p（x）成立}，q：B={x|q（x）成立}.那么:若A?哿B，則p是q的充分條件；若B?哿A，則p是q的必要條件；若A=B，則p是q的充要條件.若A?芫B且B?芫A，則p是q的既不充分也不必要條件.

例3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列的.充要條件為q=-1.

解析充分性:當(dāng)q=-1時(shí)，a1=p-1；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=pn-1（p-1）.于是當(dāng)n≥1時(shí)，=p，即數(shù)列{an}為等比數(shù)列.

必要性：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=p+q；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1

=pn-1（p-1）.由于p≠0且p≠1，于是=p.又由于數(shù)列{an}為等比數(shù)列，所以==p，即=p，解之得q=-1.

綜上所述，q=-1為數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件.

突破證明p是q的充要條件需要分兩步：①充分性，把p作為已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出q；②必要性，把q作為已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出p.最終綜上所述，可得p是q的充要條件.特殊留意:充分條件的意義只在于保證結(jié)論成立，而不管它對(duì)結(jié)論成立是否必要；必要條件的意義只在于要使結(jié)論成立它必不行少，而不管它對(duì)結(jié)論成立是否充分.因此，在進(jìn)行恒等變形或探求充要條件的過程中，只留意推導(dǎo)過程的充分性，其結(jié)果有可能縮小范圍；只留意推導(dǎo)過程的必要性，其結(jié)果有可能擴(kuò)大范圍.

3.“簡(jiǎn)潔規(guī)律聯(lián)結(jié)詞”的難點(diǎn)在于復(fù)合命題的真假性推斷以及“命題的否定”與“否命題”的區(qū)分

例4指出下列命題的真假.

（1）-1是奇數(shù)或偶數(shù)；

（2）屬于集合Q，也屬于集合R；

（3）A?埭（A∪B）.

解析（1）此命題為“p或q”的形式，其中p：-1是奇數(shù)；q：-1是偶數(shù).由于p為真命題，所以原命題為真命題.

（2）此命題為“p且q”的形式，其中p：屬于集合Q；q：屬于集合R.由于只有q為真命題，所以原命題為假命題.

（3）此命題為“非p”的形式，其中p：A?哿（A∪B）.由于p為真命題，所以原命題為假命題.

突破推斷如“p或q”、“p且q”、“非p”形式的復(fù)合命題的真假時(shí)，首先要確定命題的構(gòu)成形式，然后推斷其中各簡(jiǎn)潔命題的真假，最終再利用真值表推斷復(fù)合命題的真假.

例5寫出下列各命題的否定和否命題.

（1）若x+y是偶數(shù)，則x，y都是奇數(shù)；

（2）若xy=0，則x=0或y=0.

解析（1）命題的否定：若x+y是偶數(shù)，則x，y不都是奇數(shù)；否命題：若x+y不是偶數(shù)，則x，y不都是奇數(shù).

（2）命題的否定:若xy=0，則x≠0且y≠0；否命題:若xy≠0，則x≠0且y≠0.

突破命題的否定只是否定命題的結(jié)論，而否命題既否定題設(shè)，又否定結(jié)論.需留意“x=0或y=0”的否定是“x≠0且y≠0”而不是“x≠0或y≠0”；“x，y都是奇數(shù)”的否定是“x，y不都是奇數(shù)”而不是“x，y都不是奇數(shù)”.

4.“全稱量詞與存在量詞”的難點(diǎn)在于全稱命題和存在性命題的真假性推斷以及含有一個(gè)量詞的命題的否定

例6推斷下列命題是否為全稱命題或存在性命題，并推斷真假.

（1）有一個(gè)實(shí)數(shù)α，tanα無意義；

（2）任何一條直線都有斜率；

（3）?堝x＜0，使x2+x+5＜0；

（4）自然數(shù)的平方是正數(shù).

解析（1）存在性命題，當(dāng)α=時(shí)，tanα無意義，因此原命題為真命題.

（2）全稱命題，當(dāng)傾斜角為時(shí)，該直線斜率不存在，因此原命題為假命題.

（3）存在性命題，由判別式可知Δ=1-4×5=-19＜0，所以對(duì)?坌x∈R，x2+x+5＞0，因此原命題為假命題.

（4）全稱命題，存在自然數(shù)0，其平方不是正數(shù)，因此原命題為假命題.

突破①要判定全稱命題“?坌x∈M，p（x）”為真命題，需要對(duì)集合M中每個(gè)元素x，證明p（x）成立；假如集合M中找到一個(gè)元素x0，使得p（x）不成立，那么這個(gè)全稱命題為假命題.②要判定存在性命題“?堝x0∈M，p（x）”為真命題，只需在集合M中找到一個(gè)元素x0，使得p（x0）成馬上可；假如在集合M中，使p（x）成立的元素x不存在，那么這個(gè)存在性命題是假命題.

例7寫出下列命題的否定.

（1）面積相等的三角形是全等三角形；

（2）有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)；

（3）對(duì)?坌x∈R，x2+x+1=0都成立；

（4）?堝x∈R，x2+2x+5＞0.

解析（1）原命題是全稱命題，故其否定為:存在面積相等的三角形不是全等三角形.

（2）原命題是存在性命題，故其否定為:全部的質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù).

（3）原命題是全稱命題，故其否