江蘇省泰州2022-2023學年高三上學期第一次月度檢測數(shù)學試題(解析版)

2022-2023學年秋學期高三年級第一次月度檢測試卷

數(shù)學學科試卷

一、單項選擇題(本大題共8小題，每題5分，共40分)

1.已知集合4={1,2,3},8=―40,xez},則478=()

A.{1.2}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3}D.(0,1,2)

【答案】C

【解析】

【分析】

化簡集合B,利用并集概念及運算即可得到結果.

【詳解】

由題意可得：8={x|140,xez}={l,2}

又4={1,2,3}

A^JB={1,2,3}

故選:C

2.已知復數(shù)z的共挽復數(shù)彳=211,則復數(shù)z在復平面內對應的點位于()

3-1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【丁農】D

【解析】

【分析】由復數(shù)的運算法則計算后根據(jù)共挽復數(shù)概念得z,再由幾何意義得對應點坐標，從

而得結論.

2+i(2+i)(3+i)5+5i11.11

【詳解】?]＜幺?=-^=丁+；】，故2=L-上〃在復平面內對應的點

3-1(3-i)(3+i)102222

為位于第四象限.

故選：D.

3.某圓錐體枳為1,用一個平行于圓錐底面的平面截該圓錐得到?個圓臺，若網(wǎng)臺上底面和

下底面半徑之比為:，則該圓臺體積為（）

A.-B.-C.jD.—

8422

【：一】A

【解析】

【分析】設小錐體的底面半徑為『，大錐體的底面半徑為2,?，小錐體的高為6,大錐體的

高為為2〃，通過表示大網(wǎng)錐和小圓錐體積，作差可得圓臺體積.

【詳解】設小錐體的底面半徑為『，大錐體的底面半徑為2r,小錐體的高為〃，大錐體的

高為為2〃，

則大圓錐的體積即為1萬（2r）2lh=1,整理得1萬八?/?=,，

338

即小圓錐的體積為4

8

17

所以該園臺體積為1一-=±

88

故選：A.

4.埃拉托斯特尼是古希臘亞歷山大時期著名的地理學家，他城出名的工作是計算了地球（大

圓）的周長.如圖，在賽伊尼，夏至那天中午的太陽幾乎正在天頂方向（這是從日光直射進

該處一井內而得到證明的）.同時在亞歷山大城（該處與賽伊尼幾乎在同一子午線上），其天

頂方向與太陽光線的夾角測得為7.2.因太陽距離地球很遠，故可把太陽光線看成是平行的.

埃拉托斯特尼從商隊那里知道兩個城市間的實際距離大概是5000斯塔蒂亞，按埃及的長度

算，1斯塔蒂亞等于157.5米，則埃拉托斯特尼所測得地球的周長約為（）

亞歷山大城

41200千米D.42192千米

[1B

【解析】

【分析】由題意可將賽伊尼和非歷山大城之間的距離看作圓心角為7.2的扇形的弧長，由

此可計算地球半徑，進而求得地球周長.

【詳解】由題意可知，賽伊尼和亞歷山大城之間的距離可看作圓心角為7.2的扇形的弧長,

72

設地球半徑為r,則5000x157.5=上兀-八

180

1on

地球周長為2^=2x5000x157.5x——=39375000（米）=39375（千米），

7.2

故選：B.

5.已知等比數(shù)列｛““｝的前”項和為S"，若S=4,$6=12,則用=

A.32B.28C.48D.60

答案D

6.在三梭錐P-48C中，A/IBC是邊長為2的正三角形，PA=PB=PC,E,尸分別是4，

/1B的中點，且CELE/L則三棱錐P-48c外接球的表面積為（）

A.6冗B.12”C.24乃D.36”

【答案】A

【分析】

取/JC中點。，連接也、80,根據(jù)線面垂宜的判定定理，可證，CJ.平面以過，即可得

P8J-/C,結合題意，根據(jù)線面垂直的判定及性質定理，可證同理P3J.PC,

將尸-亞補成一個正方體,根據(jù)條件，求得正方體邊長，根據(jù)正方體體對角線為外接球直

徑，即可求得外接球半徑r,即可得答案.

【詳解】

取4C中點。，連接P0、BQ,如圖所示

因為我=PC,0為/C中點,

所以FQL/C,

又A/8C是正三角形,

所以801./1C,

又戶。080=。，PQ,8Qu平面8PQ,

所以4CJ.平面BPQ,乂P8u平面BPQ,

所以尸81/C,

因為E,尸分別是4,48的中點

所以EF為AP48'11位線，所以EF//PB

又因為EF_LCE,所以P8_LCE,且CECMC=C,AC,CEu平面P/1C

所以戶8_L平面PAC,

所以PBJ.PH,同，PS1PC.

則R4,PB,PC兩兩垂克

如圖將尸-3C補成一個正方體,如圖所示,

由題意得：AB=AC=BC=2,則P，=PB=PC=e，

又正方體的體對角線為外接球的直徑，

所以外接球半徑〃=匝y+g2+曲?=旦,

22

所以S=4/rr2=6萬，

故選：A.

【點睛】

解題的關鍵是熟練掌握線面垂直的判定、性質定理，并靈活應用，對于側楂兩兩垂宜的三棱

錐，外接球即為所在正方體的外接球，考杳空間想象能力，屬中檔題.

7.如圖，在矩形48CZ）中，AC,8。相交于點O,BFA.AC,DHLAC,AELBD,

CG1BD,BE^——BO^則麗=（）

2

B.士正B1+匕反而

210

C.與加察更D.土蟲拓+正前

25

【；*案】D

【解析】

【分析】利用平面向盤的線性運算和平面向城基本定理即可求解.

【詳解】解：：礪=叵1■方。，顯然BE=DG,BO=OD=~BD,

,BF=BA+AF=BA+^Ad=BA+^(Bd-BA)=^^BA+^-Bd，

2222

，麗=泊"+立方6，

25

故選：D.

8.設。二e。02-1，力=2(e°"-1),c=sin().01+tan0.01,則()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】A

【解析】

【詳解】

因為〃一6=6?！?—26°°1+1=卜°3—1)2>0,所以。>6.

設/(x)=2(ex-l)-sinx-tanx,

則/'(x)=2ex-cosx------,

cosx

A/\\ntl〃、、r2sinA；

令g(x)=/(x),則g(x)=2ec+smx-----廠.

COS"X

山(八兀\一八2sinx2sin68G

當xe0,丁卜忖，2cx>2,sinv>o,----—<-------=-7--<2,

k6Jcos'cos3n9

6

所以g'(x)>o,所以當T?？倳r，/'(x)>/'(0)=0,

所以/(x)在xw(o*)上單調遞增，

從而/(x)>/(0)=0,

因此〃0?01)>。即6>c.

綜上可得"6>c.

故選：A

二、多項選擇題(共4小題，每題5分，全部選對得5分，部分選對得2分，共

20分）

9.設更數(shù)ZI=v/5+i,z2=x+yi(x,yeR),4名對應的向量分別為OZ；,QZ；(。為坐標原

點)，則()

A.IZ||=2B.若0Z；〃QZ；,則Gx+y=O

C.若0Z；J_OZ；,則ZR=OD.若匕+zpG，則|z「2i|的最大值為3后

【答案】AD

I解析】

【分析】

對A，根據(jù)模長公式求解即可：

對B,根據(jù)向量平行的坐標公式求解即可：

對C,根據(jù)向量垂直的坐標公式求解x，>的關系，再求解ZR即可；

對D,根據(jù)復數(shù)的幾何意義數(shù)形結合求解即可

10.已知函數(shù)/(x)=2sin(0x+?[(0>O),則下列說法正確的是()

A.若函數(shù)/(x)的最小正周期為萬，則其圖象關于直線x=；對稱

O

C.若函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,小上單調遞增，則0的最大值為2

D.若函數(shù)/(x)在[0、2司有且僅有5個零點，則。的取值范圍是好(年

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根據(jù)最小正周期可以計算出0,便可求出對稱軸和對稱點，可判斷A、B選項：根據(jù)正弦型

函數(shù)的單調性可以推出。的值，可判斷C選項：根據(jù)零點情況可以求出。的取值范圍，可

判斷D選項.

【詳解】

A選項：./(x)的最小正周期為萬

Csin（2-*+q）=及sing=及，故A正確：

B選項：???/（、）的最小正周期為期

.-./W=V2sin^2.^+^=V2sin|=x/2^0,故B錯誤；

「>u.5r；八KK7t7tJT

C儂項1：0<x<一/.一<ox+—<—。+—

84484

又函數(shù)/（X）在（（）,*）上單調遞增

nn,汽

:,—0+—W—

842

:.a）<2t故C正確；

D選項：'.ex€[0,2n\O）X+—G—,2^tw+—

4L44

又/（x）在[0,2句有且僅有5個零點，則54?29+￡<6耳.?.：4切<勺，故D正確.

488

故選：ACD

11.如圖，在三棱錐力-8C0中，48JL平面8C。,8cl.cD,B￡JLXC,E為垂足點，F(xiàn)為BD

中點，則下列結論正確的是（）

A.若4c的長為定值，則該三楂錐內切球的半徑也為定值

B.若/。的長為定值，則該二棱錐外接球的半徑也為定值

C.若8。的長為定值，則￡尸的長也為定值

D.若CO的長為定值，則前.C力的值也為定值

【答案】BCD

【解析】

I分析】

對于A,將三楂錐補形成長方體，易知該三棱錐的外接球即為長方體的外接球，為外接

球的直徑，即可判斷；對于B,假設內切球的球心為。，通過圖形特征假設兩種情況，保持/C

的長樣，求出各自情況的內切球的半徑即可判斷；對于C和D,建立空間直角坐標系進

行向量的坐標運算，即可判斷

【詳解】

解：對于A.將三棱錐補形成長方體，易知該三極錐的外接球即為長方體的外接球，

所以為外接球的直徑2&,所以該三極錐外接球的半徑也為定值，故正確；

對于B.因為461.平面BCD,CD,BDu平面BCD,所以ZB_LCD,AB±BD,

因為8C_LCD,BCc48=43C,48u平面ABC,所以8_L平面，/C,

因為，Cu平面,48C,所以CO_L/C,

假設內切球的球心為O,第一種情況不妨假設4C=5,AB=3、BC=4,CD=4,8。=4及，此時

內切球的半徑為不根據(jù)/Ie=^O-MC+^O-ABD++K）-BCU>

即3*S.BCOxAB=xr\+S",。xz；+5x5,48xr\+§*S*acax（>

—x4x4x3=ix3x4x/j+^-x3x4'72xz;+^x5x4x^+yx4x4x/^,

解得a=上箸；

第二種情況不妨假設力C=5/8=3,BC=4,CD=3,BD=5,此時內切球的半徑為々,根據(jù)

^A-HCD=ABC+%-.他）+匕）-心）+^O-BCD>

即JXS*BCDX4B=—XS'ABCX弓+5xSAABDX&+5XS“CD'G+§*SABCDX弓,

—x4x3x3=-x3x4xn+—x3x5xr,+—x5x3x>\+--x4x3xn

222222222

2

解得4=(,綜上所述，當/C的長為定值，三棱錐內切球的半徑不為定值，故錯誤;

對于C和D,以C點為原點建立空間直角坐標系，如圖所示，

假設"=2c,8c=2b,CD=2a,則忸。|=《⑻+(2”=2V7+F,

C(0,0,0)M(0,242c),B(0,2b,0),D(2a,0,0),尸(。4,0),則B=(0,2b,2c),

因為E在XC上，所以設E((),￡-2b,h2c),則布=(O,(0l)3,h2c)

因為8E14C,所以

所以豆瓦5j=(A_l)(%y+M2c)2=0,解得

b~+/

所以的,羔高

一(b(c2-/>2)乃21一/

所以"a,4_，CD=2^0,0),

b~+cb+c

\/

則府卜卜+筆察彳-晶［="彳號|到，EFCD=2a^

所以當8。的長為定值時，EF的長也為定值：當C。的長為定值，則前.函的值也為定值,

故C,D正確，

故選：BCD

12.設“eV,正項數(shù)列區(qū)｝滿足&e(0,l),.qX,“-x/nx,=l,下列說法正確的有()

A.A為上｝中的最小項

B.4為卜,｝中的最大項

C.存在w“OJ),使得如2,三成等差數(shù)列

D.存在占e(0.1),"eN,，使得％x““,x,“2成等差數(shù)列

【答案】AB

【解析】

【分析】

由=1可得當“=’+lnx,,，故構造/(x)=L+lnx,利用導數(shù)求其單調性，

XnX

不難發(fā)現(xiàn)巧是最小的項；在構造g(*)=/(x)-x=g+lnx-x,為了比較4之后每一項與前

一項的關系，發(fā)現(xiàn)演是最大的項，易得BCD選項的對與錯

【詳解】

解：由毛鵬“一玉/乙=1可得%.產一+lnx”

Xn

令/(x)=-+Inx,f\x)=—r-*—=—5-

xx~XX

當x?.l/(x)>0,/(幻遞增：

當XV1J(X)VO,/(X)遞減

且/(I)=l+lnl=/(x).J

「Xiw(0,1),.?.,=/(』)>1,勺=/(電)>1,L二芭是最小的項:

所以A正確

令g(x)=/(JV)-X=—+lnx-x,x.J

X

，,、11i—12+工—1

g(x)=--r+-1=------2—<0，

XXX

在區(qū)間內遞減，即即&<.

???g(N)g(x1,0,.,.X.-x2<0.q<x2；xA-x3<0

所以，綜上所述，々是最大的項，所以B正確，

由于王是最小的項，%是最大的項，則不可能使得芭,與小3成等差數(shù)列，故C錯誤；

由C知，陽戶2肉不成等差數(shù)列，當〃？2時,

因為所以g(x“+J>g(x“)，則」一一ln/一怎,

Xn

Xf-xQ.y,所以不存在*x“.i，5.2成等差數(shù)列，故D錯誤

故選：AB

三、填空題

13.過點(1,2)作直線3x+4歹-25二0的垂線，則垂線方程為.

答案：y=-x+-

33

41

14.已知a+2力=1(a,6>0)?則----+；的最小值為

a+bb

【答案】9

【解析】

【分析】

根據(jù)a+2b=l,利用"V的代換，將，47+:1轉化為

a+bb

---7+7=+/(Q+6+6)=5+--I---?利用基本不等式求解.

a+bh\a+bb)a+bb

【詳解】

因為a+2b=l,

所以a+b+6=1,

LUI、I4I(41Y,-4ba+b__/4ba+b.

所以---+—=----+—(a+b+6)=5+----+----25+2J----------=9,

a+bb(a+bb)a+bbNa+bb

當且僅當々=坐，即a="=!時，取等號.

a+bh33

所以一4二+；I的最小值為9.

a+hb

故答案為：9

15.將函數(shù)y=3sin(2x+J)的圖象向右平移3個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的

46

對稱軸的方程是▲.

c7t7t...7、7兀k,7T..7、

2x.......——卜k兀(kGZ)x—------1------(kwZ)

122242

當％=-1時x=一把.

24

故答案為：x=———

24

16.已知〃x)是定義域為R的函數(shù)，/。-2)為奇函數(shù)，/(2%-1)為偶函數(shù)，則

16

￡/(n=—.

[?；-?]0

【解析】

【分析】依題意可得/(X)關于直線x=-l對稱、關于點(-2,0)時稱且時周期為4的周期

函數(shù)，再求出/。)+/(3)=0、/(2)+/(4)=0,即可得解.

【詳解】解：因為/(2x-l)為偶函數(shù)，所以/(-2x-l)=/(2x-l),所以

/(-x-l)=/(x-l),ap/(-x-2)=/(x),則/(x)關于直線X=-1對稱，

因為/(x-2)為奇函數(shù)，所以/(x-2)=-/(-x-2),所以/(x)的圖象關于點(-2,0)對

稱，

所以/(x-2)=-/(-x-2)=-/(x),則/(x-4)=-/(x-2)=/(x),所以/(x)是

周期為4的周期函數(shù)，

由/(x-2)=_/(-x_2)=_/(4-x-2)=-/(2-x),即=,所以/(x)

為奇函數(shù)，

又/(X)是定義域為R的函數(shù)，所以/(o)=o，

在/(x-2)=-/(x)中，令x=-l,所以/(-3)=-/(-1)=."1)=-〃3),

所以/0)+/(3)=0，

在〃x-2)=/(-x)中，令x=-2,所以/(-4)=/(2)=-/(4),

所以/(2)+/(4)=0,

所以/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=0,

16

所以Z/⑺=/(°)+4[/⑴+/(2)+〃3)+/(4)]=0.

/=0

故答案為：0

17.(本題滿分10分)

已知直線(l-a)x+(l+")N+3a-3=0(aeR).

(1)求證；直線經過定點，并求出定點P：

(2)經過點P有一條直線/，它夾在兩條直線4：2x-y-2=O與/2：x+y+3=O之間的線段恰

被P平分，求直線/的方程.

17.(1)證明：將直線/的方程改寫為(-x+y+3”+(x+j-3)=0,

令-x+y+3=0,且x+y-3=0,

兩式聯(lián)立，解得x=3,N=0,

所以直線過定點尸(3,0).

(2)設直線/夾在直線4,右之間的部分是且被尸(3,0)平分，

設點X,B的坐標分別是(公,yj,(x2,yj,

則有為+3=6,必+必=0，

又8兩點分別在直線總％上，

所以2為一必-2=0,電+必+3=0,

由以上四個式子解得X,*,M=與，

所以直線48的方程為8x-y-24=o.

18.(本題滿分12分)

已知向ift?=,h=(sinx,cosx)>f(x)=a?b.

2cos2-sin/7-1

2

若求的值;

（1）/（e）=o,V^sin(e+

⑵當xw[O/]時，求函數(shù)/*）的值域.

18、(1)因為4=(1,—6),b=(sinx,cos.r)>

所以/(.r)=?-^=sinx-V3cosx?因為/⑻=。，

所以sin。一百cos0=O，所以tan0=\^..................................................................................2分

28st-sin〃-lcosO-sin。

___________1-tan，_"百__2+G

所以6分

&sin|e+：sinO+cos0-tan/9+1-\[^+\

(2)/(.V)=sinx->/3cosx=2sin^x-yj,......................................8分

因為xe[0,/r],所以4一梟-py

當?shù)兑唬?一（，即x=0時，/（x）取最小值一百;

當耳囁即X哼時，制取最大值2.

所以當xw[0"]時，函數(shù)/（x）的值域為[-6,2]............................................12分

19.（本題滿分12分）

在A4SC中，角48,C的對邊分別為a,6,c,且a-bcosC=JJcsin8.

⑴求8；

（2）若a=2,且為銳角三角形，求A/l8c的面積S的取值范圍.

19.(1)解：：a-bcosC=V5csin8,

ill正弦定理可得：sinA=V3sinCsin8+sin8cosc,

又;sinA=sin(8+C)=sin8cosC+cosAsinC,

?*.V3sinCsin8+sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC，即:GsinCsinB=sinCcosB.

■：B,Ce(0,^)?smC#0,

；.tanB金,即8=￡

36

B=-

6

(2)解：AABC為銳角三角形,所以■OvCv],解得

0<----C<—

62

2b_c

由正弦定理得，-———，即.,5r、J_sinC?

smAsmCsm(-^-C)

62

sinC

1~,

-cosC+——sinC

22

1IG

2tanC2

/tanC>tany=V5,

士r哈咨

2tanC2

的面積S的取值范圍為

20已知數(shù)列｛/｝滿足

?,=1,%=；,[3+(-1)"K(,-2a?+2[(-1)"-1]=0”N，.

(1)令2=的,1，判斷｛"｝是否為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛a｝的通項公式;

(2)記數(shù)列｛%>｝的前2n項和為求

解:因為[3+(-1)"肛*2-2a,+2[(-1)"-1]=0,

所以[3+(-I)3"-1+2[(-1產」-1J=0,

即的i=2,

又2=出“」，所以4“一”=2,所以｛4｝以1為首項，2為公差的等差數(shù)列。

所以a=2〃-1。

(2)當n為偶數(shù)時，

1

=以

可得q一2a=1為首項，L為公比的等比數(shù)列,

22

當n為奇數(shù)時，

可得出”.「%1T=2,所以｛七2｝以4=1為首項，2為公差的等差數(shù)列，

所以1

凡=(q+%+…+*)+(%+4+,,,+生■)="2+”環(huán)

21如圖，在三棱臺ABC-4BC中，底面A48c是等腰三角形，且BC=8,

AB=AC=5,0為BC的中點.側面BCCE為等腰梯形，且BG=CC、=4,M

為4G的中點.

(I)證明：平面ABCL平面AOM；

⑵記二面角A-BC-B,的大小為。，當時，求直線BB、與

平面A^C,C所成角的正弦的最大值.

c,

l解答】(1)證明：???&4BC是等腰三角形，O為BC的中點，

：.BC1AO,

,側面BCC\B\為等腰梯形,M為B\C\的中點,

:.BCLMO.

"：MOOAO=O,MO,AOcmAOM,

平面XOM,

'：ABC,

平面/IBC_L平面/aw.

(2)解：在平面HOM內，作ONJ■。4

?平面4BCJ■平面平面/8CC平面ONu平面/fOW,

.?.ONI平面ABC.

以08,OA,ON分別為x軸、y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

,：MOA.BC,AOLBC.

.?.乙4?！睘槎娼茿-BC-B\的平面角，即乙4。M=9,

：.A(0,3,0),B(4,0,0).C(-4,0,0),M(0,2愿cos。，2V3sin0),Ci(-

212V3cos0.2A/§sinQ)>B\(2.2V3cos0(iVSsinfl).

設平面