數(shù)學(xué)高一-期末精選50題（壓軸版）高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考試滿分全攻略（人教A 版2019）解析版

期末精選50題（壓軸版）一、單選題1．（2021·貴州黔東南·高一期末）已知定義在上的函數(shù)對于任意的都滿足，當(dāng)時，，若函數(shù)至少有6個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】函數(shù)的零點個數(shù)即為與的圖象的交點個數(shù)．在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的圖象，根據(jù)圖象列不等式求解即可．【詳解】函數(shù)的零點個數(shù)即為與的圖象的交點個數(shù)．因為，所以函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，因為，所以可作出函數(shù)的圖象．在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)（）的圖象，如圖所示．由圖象得，要使與的圖象至少有6個交點，則，因為，所以，即的取值范圍是．故選：D．【點睛】方法點睛：函數(shù)零點的幾種等價形式：函數(shù)的零點函數(shù)在軸的交點方程的根函數(shù)與的交點.2．（2021·河南·高一期末（文））已知，，，則（）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】先由已知條件得到，再利用兩角差的正切公式求解即可.【詳解】由，得，即，由，可得，則，故．故選：D．【點睛】利用三角函數(shù)值求值（角）的關(guān)鍵：（1）角的范圍的判斷；（2）根據(jù)條件進行合理的拆角，如等；（3）盡量用余弦和正切，如果用正弦需要把角的范圍縮小.3．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高一期末）在銳角中，角的對邊分別為，的面積為，若，則的最小值為（）A． B．2 C．1 D．【答案】A【分析】結(jié)合面積公式，可得出，由余弦定理得出，再用正弦定理化邊為角，得出，把所求式子用角表示，并求出角范圍，最后用基本不等式求最值.【詳解】因為，即，所以，因為，所以，由余弦定理，可得，再由正弦定理得，因為，所以，所以或，得或（舍去）.因為是銳角三角形，所以，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，取等號.故選:A【點睛】本題考查考查用正弦定理、余弦定理、面積公式解三角形，考查基本不等式求最值，屬于較難題.4．（2021·浙江浙江·高一期末）對于非空數(shù)集M，定義表示該集合中所有元素的和.給定集合，定義集合，則集合的元素的個數(shù)為（）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【分析】分別考慮集合為單元素集、雙元素集、三元素集、四元素集，然后分別計算出的取值，由此確定出集合中的元素的個數(shù).【詳解】當(dāng)集合為單元素集時，可取，此時可?。划?dāng)集合為雙元素集時，可取，此時可取；當(dāng)集合為三元素集時，可取，此時可取，當(dāng)集合為四元素集時，可取，此時可取，綜上可知可取，共個值，所以的元素個數(shù)為，故選：B.【點睛】本題考查集合中的新定義問題，對學(xué)生的理解與分析問題的能力要求較高，難度較難.解答新定義的集合問題，首先要明確集合中表示元素的含義，其次才是解答問題.5．（2021·安徽·合肥一六八中學(xué)高一期末）函數(shù)若，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫出函數(shù)的圖象，由圖象判斷，根據(jù)將原式轉(zhuǎn)化為，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】畫出函數(shù)的圖象如圖，因為，且，由圖可知點的橫坐標(biāo)分別為，其中，因為的圖象關(guān)于對稱，所以，又所以，因為，所以，即的取值范圍是，故選：B.【點睛】方法點睛：函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)．6．（2021·福建三明·高一期末）設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，且當(dāng)時，．若對任意，都有，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得當(dāng)時，，其中，結(jié)合函數(shù)在上的解析式和函數(shù)在的圖象可求的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，故，因為，故當(dāng)時，，，同理，當(dāng)時，，依次類推，可得當(dāng)時，，其中.所以當(dāng)時，必有.如圖所示，因為當(dāng)時，的取值范圍為，故若對任意，都有，則，令，或，結(jié)合函數(shù)的圖象可得，故選：D.【點睛】思路點睛：此類問題考慮函數(shù)的“類周期性”，注意根據(jù)已知區(qū)間上函數(shù)的性質(zhì)推證函數(shù)在其他區(qū)間上的性質(zhì)，必要時應(yīng)根據(jù)性質(zhì)繪制函數(shù)的圖象，借助形來尋找臨界點.7．（2021·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高一期末（理））已知函數(shù)，若存在兩相異實數(shù)使，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題設(shè)可得，又即為方程兩個不等的實根，即有，結(jié)合、得，即可求其最小值.【詳解】由題意知：當(dāng)有，∵知：是兩個不等的實根.∴，而，∵，即，∴，令，則，∴當(dāng)時，的最小值為.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：由已知條件將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的兩個不同實根為，結(jié)合韋達定理以及，應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.8．（2021·上海市金山中學(xué)高一期末）設(shè)銳角的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（）A．(1，9] B．(3，9]C．(5，9] D．(7，9]【答案】D【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化為，結(jié)合角的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】因為，由正弦定理可得，則有，由的內(nèi)角為銳角，可得，，由余弦定理可得因此有故選：D.【點睛】方法點睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.9．（2021·河南駐馬店·高一期末（理））已知函數(shù)是偶函數(shù).若將曲線向左平移個單位長度后，再向上平移個單位長度得到曲線，若關(guān)于的方程在有兩個不相等實根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題首先可根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)得出，通過計算得出，然后通過轉(zhuǎn)化得出，通過圖像變換得出，最后根據(jù)正弦函數(shù)對稱性得出且，通過求出此時的值域即可得出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，即，，解得，，則，則，向左平移個單位長度后，得到，向上平移個單位長度，得到，當(dāng)時，，結(jié)合正弦函數(shù)對稱性易知，在有兩個不相等實根，則且，此時，實數(shù)的取值范圍是，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查三角函數(shù)圖像變換、正弦函數(shù)性質(zhì)、偶函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用以及兩角差的正弦公式，能夠根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求出是解決本題的關(guān)鍵，考查計算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，體現(xiàn)了綜合性，是難題.10．（2021·陜西閻良·高一期末）已知函數(shù)，若存在實數(shù)、，使得，且，則的最大值為（）A．9 B．8 C．7 D．5【答案】A【分析】本題首先可根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)得出、，然后根據(jù)得出，根據(jù)得出，最后根據(jù)得出，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，，所以，，，即，，，即，，則，因為，所以，，因為，所以的最大值為，故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)，能否根據(jù)求出、是解決本題的關(guān)鍵，考查計算能力，是難題.11．（2019·廣東汕頭·高一期末）設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，對任意的，都有，且當(dāng)時，．若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，作出函數(shù)在上的圖象，由題意可知，函數(shù)和函數(shù)在上的圖象有個交點，數(shù)形結(jié)合可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由可得，所以，函數(shù)和函數(shù)在上的圖象有個交點，因為對任意的，都有，即，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，因為是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則.作出函數(shù)和函數(shù)在上的圖象如下圖所示：要使得函數(shù)和函數(shù)在上的圖象有個交點，則，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.二、多選題12．（2021·湖北·沙市中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，且，將函數(shù)的圖象向左平移個單位所得的圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（）A． B．點是的圖象的一個對稱中心C．在上的值域為 D．的圖象在上有四條對稱軸【答案】BD【分析】根據(jù)題意，求得平移后的解析式，根據(jù)其為偶函數(shù)，可求得的表達式，根據(jù)的范圍，即可求得的值，即可判斷A的正誤；根據(jù)的解析式，代入，即可判斷B的正誤；根據(jù)x的范圍，即可求得的范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象，即可判斷C的正誤；令，即可求得對稱軸的表達式，對k賦值，即可求得的對稱軸，即可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A：將函數(shù)的圖象向左平移個單位所得的解析式為：，由題意得：其圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則，，解得，因為，令，得，故A錯誤．所以；對于B：因為，所以，所以點是的圖象的一個對稱中心，故B正確；對于C：因為，所以，所以當(dāng)時，即時，有最大值2，當(dāng)時，即時，有最小值，故C錯誤；對于D：令，解得，因為時，令，解得令，解得，令，解得，令，解得，所以的圖象在上有四條對稱軸，故D正確.故選：BD【點睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并靈活應(yīng)用，在求解值域時，通過換元法令，將其轉(zhuǎn)化為研究的性質(zhì)，考查分析理解，計算化簡的能力，屬中檔題.13．（2021·浙江義烏·高一期末）已知函數(shù)，有下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論為（）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．是的一個周期C．的值域為 D．的圖象關(guān)于軸對稱【答案】CD【分析】代入特殊值檢驗，可得A錯誤；求得的表達式，即可判斷B的正誤；分段討論，根據(jù)x的范圍，求得的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的值域，即可判斷C的正誤；根據(jù)奇偶性的定義，即可判斷的奇偶性，即可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A：因為，所以，，所以，所以在區(qū)間上不是單調(diào)遞增函數(shù)，故A錯誤；對于B：，所以不是的一個周期，故B錯誤；對于C：，所以的周期為，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；綜上：的值域為，故C正確；對于D：，所以為偶函數(shù)，即的圖象關(guān)于軸對稱，故D正確，故選：CD【點睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、周期性求解，考查分類討論，化簡計算的能力，綜合性較強，屬中檔題.14．（2021·廣東實驗中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，其中，且的，若對一切恒成立，則（）A． B．C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)【答案】BC【分析】由，可知為的一條對稱軸，結(jié)合輔助角公式，可得，進而可得，再分別判斷選項即可.【詳解】由題意得，，因?qū)σ磺泻愠闪?，故，即，計算得，?對于選項A，，，雖然，但時正負不知，故與無法比較大小，故A錯；對于選項B，因，所以，故B正確；對于選項C，因，所以為奇函數(shù)，故C正確；對于選項D，，所以為偶函數(shù)，故D錯.故選：BC.【點睛】本題主要考查了輔助角公式的應(yīng)用以及三角函數(shù)的圖像性質(zhì).對于圖像性質(zhì)問題，一般情況下需先把解析式化成的形式，再結(jié)合的圖像性質(zhì)即可解決.15．（2021·浙江浙江·高一期末）若定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，()，則下列說法正確的是（）A．若方程有兩個不同的實數(shù)根，則或B．若方程有兩個不同的實數(shù)根，則C．若方程有4個不同的實數(shù)根，則D．若方程有4個不同的實數(shù)根，則【答案】AC【分析】由題知是R上的奇函數(shù)，則由時的解析式可求出在R上的解析式.先討論特殊情況為方程的根，則可求出，此時方程化為，而函數(shù)為R上的減函數(shù)，則方程僅有一個根.當(dāng)時，由分段函數(shù)分類討論得出時，，時，.利用數(shù)形結(jié)合思想，畫出圖象，則可得知方程不同的實數(shù)根個數(shù)分別為2個和4時，參數(shù)的取值范圍.【詳解】因為所以，所以是R上的奇函數(shù)，，當(dāng)時，，，所以，綜上，若是方程的一個根，則，此時，即，而，在R上單調(diào)遞減，當(dāng)時，原方程有一個實根.當(dāng)時，，所以，當(dāng)時不滿足，所以，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時不滿足，所以，如圖：若方程有兩個不同的實數(shù)根，則或；若方程有4個不同的實數(shù)根，則.故選：AC【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是將方程進行參數(shù)分離，再借助數(shù)形結(jié)合法，求出對應(yīng)的參數(shù)的取值范圍.16．（2021·重慶南開中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不等實根，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．的最小值為10【答案】ACD【分析】畫出的圖象，結(jié)合圖象求得的取值范圍，利用特殊值確定B選項錯誤，利用基本不等式確定CD選項正確.【詳解】畫出的圖象如下圖所示，由于關(guān)于的方程有四個不等實根，，，，由圖可知，故A選項正確.由圖可知關(guān)于直線對稱，故，由解得或，所以，，當(dāng)時，，所以B選項錯誤.令，，，，是此方程的解，所以，或，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D選項正確.由圖象可知，，，，由，解得或，由，解得或，所以，①.令或，所以①的等號不成立，即，故C選項正確.故選：ACD【點睛】求解有關(guān)方程的根、函數(shù)的零點問題，可考慮結(jié)合圖象來求解.求解不等式、最值有關(guān)的問題，可考慮利用基本不等式來求解.17．（2021·廣東·汕頭市第一中學(xué)高一期末）已知函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)時，，下列命題正確的是（）A．若f(x)是偶函數(shù)，則當(dāng)時，B．若，則在上有3個零點C．若f(x)是奇函數(shù)，則D．若，方程在上有6個不同的根，則k的范圍為【答案】BC【分析】解出當(dāng)時的解析式可判斷A；由在上的零點結(jié)合對稱性可判斷B；求得在上的值域，進而可判斷C；作出函數(shù)在上的簡圖，由數(shù)形結(jié)合可判斷D.【詳解】對于選項A：若是偶函數(shù)，當(dāng)時，，故A錯誤；對于選項B：令得，即，解得或.由知函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，所以，故在上有3個零點.故B正確；對于選項C：當(dāng)時，，所以時，；當(dāng)時，，故當(dāng)時，.若是奇函數(shù)，則當(dāng)時，，又，所以當(dāng)時，.故對，.故C正確；對于選項D：即，所以或.由知函數(shù)的周期為3，作出函數(shù)在上的簡圖，由圖可知，有2個根，依題意得必有4個根，由圖可知.故D錯誤.故選：BC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷選項D的關(guān)鍵點是：作出函數(shù)在上的簡圖，數(shù)形結(jié)合求得的取值范圍.18．（2021·浙江·高一期末）定義：若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則稱區(qū)間是函數(shù)的“完美區(qū)間”，另外，定義區(qū)間的“復(fù)區(qū)間長度”為，已知函數(shù)，則（）A．是的一個“完美區(qū)間”B．是的一個“完美區(qū)間”C．的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為D．的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為【答案】AC【分析】根據(jù)定義，當(dāng)時求得的值域，即可判斷A；對于B，結(jié)合函數(shù)值域特點即可判斷；對于C、D，討論與兩種情況，分別結(jié)合定義求得“復(fù)區(qū)間長度”，即可判斷選項.【詳解】對于A，當(dāng)時，，則其值域為，滿足定義域與值域的范圍相同，因而滿足“完美區(qū)間”定義，所以A正確；對于B，因為函數(shù)，所以其值域為，而，所以不存在定義域與值域范圍相同情況，所以B錯誤；對于C，由定義域為，可知，當(dāng)時，，此時，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，則滿足，化簡可得，即，所以或，解得（舍）或，由解得或（舍），所以，經(jīng)檢驗滿足原方程組，所以此時完美區(qū)間為，則“復(fù)區(qū)間長度”為；當(dāng)時，①若，則，此時.當(dāng)在的值域為，則，因為，所以，即滿足，解得，（舍）.所以此時完美區(qū)間為，則“復(fù)區(qū)間長度”為；②若，則，，此時在內(nèi)單調(diào)遞增，若的值域為，則，則為方程的兩個不等式實數(shù)根，解得，，所以，與矛盾，所以此時不存在完美區(qū)間.綜上可知，函數(shù)的“復(fù)區(qū)間長度”的和為，所以C正確，D錯誤；故選：AC.【點睛】本題考查了函數(shù)新定義的綜合應(yīng)用，由函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的值域，函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，分類討論思想的綜合應(yīng)用，屬于難題.19．（2021·湖南華容·高一期末）設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù).令，以下結(jié)論正確的有（）A． B．函數(shù)為奇函數(shù)C． D．函數(shù)的值域為【答案】AD【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義逐項檢驗可得正確的選項.【詳解】對于A，，故A正確.對于B，取，則，而，故，所以函數(shù)不為奇函數(shù)，故B錯誤.對于C，則，故C錯誤.對于D，由C的判斷可知，為周期函數(shù)，且周期為，當(dāng)時，則當(dāng)時，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，則有，故函數(shù)的值域為，故D正確.故選：AD．【點睛】思路點睛：對于函數(shù)的新定義問題，注意根據(jù)定義展開討論性質(zhì)的討論，并且注意性質(zhì)討論的次序，比如討論函數(shù)值域，可以先討論函數(shù)的奇偶性、周期性．三、填空題20．（2021·北京西城·高一期末）設(shè)函數(shù)，，有以下四個結(jié)論.①函數(shù)是周期函數(shù)：②函數(shù)的圖像是軸對稱圖形：③函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱：④函數(shù)存在最大值其中，所有正確結(jié)論的序號是___________.【答案】②④【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)和二次函數(shù)的周期性、對稱性、值域進行逐一判斷即可.【詳解】①：函數(shù)的最小正周期為：，函數(shù)沒有周期性，所以函數(shù)不是周期函數(shù)，故本結(jié)論不正確；②：因為函數(shù)，所以該函數(shù)的對稱性為：，因為，所以函數(shù)也關(guān)于對稱，因此函數(shù)的圖像是軸對稱圖形，故本結(jié)論說法正確；③：令，，對于不恒成立，所以對于不恒成立，因此函數(shù)不是奇函數(shù)，故圖象不關(guān)于原點對稱，所以本結(jié)論說法不正確；④：因為，所以，因為，所以所以，因此本結(jié)論正確，故答案為：②④【點睛】關(guān)鍵點睛：正確理解函數(shù)的周期性和對稱性是解題的關(guān)鍵.21．（2021·西藏·拉薩中學(xué)高一期末）如圖所示，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點處，若該小蟲爬行的最短路程為，則這個圓錐的體積為___________.【答案】【分析】作出該圓錐的側(cè)面展開圖，該小蟲爬行的最短路程為PP′，由余弦定理求出，求出底面圓的半徑r，從而求出這個圓錐的高，由此能求出這個圓錐的體積.【詳解】作出該圓錐的側(cè)面展開圖，如圖所示：該小蟲爬行的最短路程為PP′，由余弦定理可得：∴.設(shè)底面圓的半徑為r,則有,解得,所以這個圓錐的高為，則這個圓錐的體積為.故答案為：.【點睛】立體幾何中的翻折疊（展開）問題要注意翻折（展開）過程中的不變量.22．（2021·廣東·深圳市高級中學(xué)高一期末）已知函數(shù)．若存在正實數(shù)，使得方程有三個互不相等的實根，，，則的取值范圍是__________．【答案】【分析】分離參數(shù)可得，做出的函數(shù)圖象，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出的值，并求出的范圍即可得出答案．【詳解】由可看到，令，作出的函數(shù)圖象如圖所示：有三個不相等的實數(shù)根，，，直線與的圖象有三個交點，設(shè)三個交點的橫坐標(biāo)從小到大分別為，，，由二次函數(shù)的對稱性可知，令可得或（舍，，．即的取值范圍是，故答案為：．【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)零點的幾種等價形式：函數(shù)的零點函數(shù)在軸的交點方程的根函數(shù)與的交點.23．（2021·安徽蕪湖·高一期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對任意角，設(shè)的終邊上異于原點的任意一點的坐標(biāo)為，它與原點的距離是.我們規(guī)定：比值分別叫做角的正割?余割?余切，分別記作，，，把分別叫做正割函數(shù)?余割函數(shù)?余切函數(shù)，則下列敘述正確的有___________(填上所有正確的序號)①；②；③的定義域為；④；⑤.【答案】②④⑤【分析】由題設(shè)新定義知：，，，由、、、以及正切二倍角公式，即可判斷各項的正誤.【詳解】①，故錯誤；②，故正確；③，即，有，故錯誤；④，故正確；⑤，所以，故正確.故答案為：②④⑤【點睛】關(guān)鍵點點睛：新定義有，，，結(jié)合三角恒等變換判斷各項的正誤.24．（2021·江蘇鹽城·高一期末）已知函數(shù)，方程有六個不同的實數(shù)根、、、、、，則的取值范圍為________．【答案】【分析】作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，利用對稱性得出，，利用對數(shù)運算可得出，且有，可得出，利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求得結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：設(shè)，由圖象可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有六個交點，點、關(guān)于直線對稱，可得，點、關(guān)于直線對稱，可得，且，由得，所以，，，下面證明函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，任取、且，即，，，則，，可得，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).，所以，.因此，的取值范圍為.故答案為：.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.25．（2021·廣東潮陽·高一期末）函數(shù)，若最大值為，最小值為，，則的取值范圍是______.【答案】【分析】先化簡，然后分析的奇偶性，將的最大值和小值之和轉(zhuǎn)化為和有關(guān)的式子，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性求解出的取值范圍.【詳解】，令，定義域為關(guān)于原點對稱，∴，∴為奇函數(shù)，∴，∴，，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，，，∴，∴，故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵在于函數(shù)奇偶性的判斷，同時需要注意到奇函數(shù)在定義域上如果有最值，那么最大值和最小值一定是互為相反數(shù).26．（2021·江蘇·南京師大附中高一期末）已知函數(shù)．若存在使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】令，判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，從而將不等式轉(zhuǎn)化為，分離參數(shù)可得，令，，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性可得，結(jié)合題意即可求解的取值范圍．【詳解】函數(shù)，若存在使得不等式成立，令，，所以，為奇函數(shù)．不等式，即，即，所以，因為在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得在上為增函數(shù)，所以不等式等價于，分離參數(shù)可得，令，，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（1），（4），所以，，所以由題意可得，即實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【點睛】方法點睛：數(shù)的三個性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會單獨命題，而是常將它們綜合在一起考查，其中單調(diào)性與奇偶性結(jié)合、周期性與抽象函數(shù)相結(jié)合，并結(jié)合奇偶性求函數(shù)值，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合，注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性27．（2021·浙江·高一期末）在中，記角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，面積為S，則的最大值為______【答案】【分析】利用面積公式和余弦定理，結(jié)合均值不等式以及線性規(guī)劃即可求得最大值.【詳解】（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.令，故，因為，且，故可得點表示的平面區(qū)域是半圓弧上的點，如下圖所示：目標(biāo)函數(shù)上，表示圓弧上一點到點點的斜率，由數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點，即時，取得最小值，故可得，又，故可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即三角形為等邊三角形時，取得最大值.故答案為：.【點睛】本題主要考查利用正余弦定理求范圍問題，涉及線性規(guī)劃以及均值不等式，屬綜合困難題.四、解答題28．（2021·浙江省三門第二高級中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的最大值為1（1）求常數(shù)的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若，且是第一象限角，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用兩角和、差的余弦公式，輔助角公式，化簡整理，可得的解析式，根據(jù)題意，即可得a值.（2）由（1）可得解析式，令，即可得答案.（3）根據(jù)題意，可得，根據(jù)的范圍，分析計算，可得值，利用兩角差的余弦公式，化簡計算，即可得答案.【詳解】（1）由題意得：因為的最大值為1，所以，解得.（2）由（1）可得，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（3）因為，所以，解得，因為是第一象限角，即，所以，因為，所以，即，所以.【點睛解題的關(guān)鍵是熟練掌握恒等變換公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等知識，并靈活應(yīng)用，易錯點為，根據(jù)的范圍，得到的范圍，此時無法判斷的正負，還需比較與值的大小，進一步確定的范圍，方可得答案，屬中檔題.29．（2021·安徽阜陽·高一期末）已知函數(shù)(，，)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，若在內(nèi)存在唯一的，使得對恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合最小正周期公式、特殊角的三角函數(shù)值進行求解即可；（2）根據(jù)輔助角公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的最值進行求解即可.【詳解】解：（1）根據(jù)圖象可得，所以.因為，，所以.又因為圖象過點，所以.因為，所以，，即，，又因為，所以.故.（2）因為，所以.依題意可得，又，所以，解得.【點睛】關(guān)鍵點睛：正確理解最小值的定義，結(jié)合題意得到不等式是解題的關(guān)鍵.30．（2021·甘肅省會寧縣第一中學(xué)高一期末）已知函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）若對任意的和恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）化簡最小正周期；（2）當(dāng)時，．①當(dāng)為偶數(shù)時，．．②當(dāng)為奇數(shù)時，同理得：即可求出m的取值范圍．【詳解】（1）．的最小正周期．（2）由（1）知．當(dāng)時，，，即．①當(dāng)為偶數(shù)時，．由題意，只需．因為當(dāng)時，，所以．②當(dāng)為奇數(shù)時，．由題意，只需．因為當(dāng)時，，所以．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．【點睛】(1)三角函數(shù)問題通常需要把它化為“一角一名一次”的結(jié)構(gòu)，借助于或的性質(zhì)解題；(2)求參數(shù)的取值范圍，通常采用分離參數(shù)法．31．（2021·黑龍江·哈九中高一期末）已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明；（2）令，設(shè)，若對任意，當(dāng)時，都有，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1），函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，由，得，兩者聯(lián)立解得a，b，進而可得函數(shù)的解析式，再利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性.（2）由（1）得，易知在上為減函數(shù)，將時，都有，轉(zhuǎn)化為，進而轉(zhuǎn)化為，對任意成立求解.【詳解】（1）因為，且是奇函數(shù)，所以，所以，解得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明：任取，且，則，因為，且，所以，，所以，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，任取，且，則，因為，且，所以，，所以，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）由（1）得，不妨令，則，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，，因為當(dāng)，滿足，故只需，即，對任意成立，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，y有最小值，，由，解得，所以a的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛；本題第二問題關(guān)鍵點是將時，都有，轉(zhuǎn)化為恒成立求解.32．（2021·浙江浙江·高一期末）已知函數(shù)，，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，唯一的，使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）和；（2）.【分析】（1）分類和去絕對值符號得分段函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得增區(qū)間；（2）設(shè)在上值域，對任意，直線與函數(shù)的圖象在上只有一個交點．令，把轉(zhuǎn)化為，，，的值域是，

時，無解，在時，在上單調(diào)遞增，，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)確定出后可得結(jié)論．【詳解】解：（1）由題意，即，因此增區(qū)間為和；（2），設(shè)在上的值域為，則對，直線與函數(shù)的圖象在上有1個交點，令，，，，，時，，①當(dāng)時，，，需，即，無解；②當(dāng)時，，，由勾形函數(shù)性質(zhì)知時，在上遞增，（i）當(dāng)時，，，，需，即，得，∴；（ii）當(dāng)時，，，，需，即，得，∴；③當(dāng)時，，，同（ii）得，∴；④當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞增，需，即，得，∴；綜上得∴.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查絕對值函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)恒(能)成立問題．對函數(shù)恒(能)成立問題，要注意任意與存在的不同，象本題，任意，存在，使得，記值域是，值域是，則有．本題解題關(guān)鍵是利用二次函數(shù)性質(zhì)分類討論確定分段函數(shù)的值域．33．（2021·內(nèi)蒙古赤峰·高一期末（文））已知函數(shù).（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最值；（2）若關(guān)于x的方程（x+2）f（x）-ax=0在區(qū)間（0，3）內(nèi)有兩個不等實根，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）最大值為3，最小值為2；（2）【分析】（1）整理可得，根據(jù)基本不等式及對勾函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.（2）由題意整理可得在區(qū)間（0，3）內(nèi)有兩個不等實根，設(shè)，根據(jù)根據(jù)基本不等式及對勾函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，即可得答案.【詳解】（1），因為，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，，即時等號成立，所以的最小值為2，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值為3，最小值為2.（2）因為關(guān)于x的方程（x+2）f（x）-ax=0在區(qū)間（0，3）內(nèi)有兩個不等實根，所以在區(qū)間（0，3）內(nèi)有兩個不等實根，整理得在區(qū)間（0，3）內(nèi)有兩個不等實根，設(shè)則，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=2時等號成立，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且時，，所以a的取值范圍為【點睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本不等式、對勾函數(shù)的性質(zhì)，并靈活應(yīng)用，難點在于，需合理的變形，再根據(jù)“一正”、“二定”，“三相等”進行計算求值，屬中檔題.34．（2021·浙江浙江·高一期末）在海岸處，發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距離為海里的處有一艘走私船，在處北偏西方向，距離為海里的處有一艘緝私艇奉命以海里/時的速度追截走私船，此時，走私船正以海里/時的速度從處向北偏東方向逃竄.（1）問船與船相距多少海里？船在船的什么方向？（2）問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船？并求出所需時間.【答案】（1），船在船的正西方向；（2）緝私艇沿東偏北方向行駛小時才能最快追上走私船．【分析】（1）在中根據(jù)余弦定理計算，再利用正弦定理計算即可得出方位；（2）在中，利用正弦定理計算，再計算得出追擊時間．【詳解】解：（1）由題意可知，，，在中，由余弦定理得：，，由正弦定理得：，即，解得：，，船在船的正西方向．（2）由（1）知，，設(shè)小時后緝私艇在處追上走私船，則，，在中，由正弦定理得：，解得：，，是等腰三角形，，即．緝私艇沿東偏北方向行駛小時才能最快追上走私船．【點睛】本題考查了正余弦定理解三角形，以及解三角形的實際應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力和運算能力，屬于中檔題．35．（2021·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）是否同時存在實數(shù)和正整數(shù)，使得函數(shù)在上恰有個零點?若存在，請求出所有符合條件的和的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，當(dāng)時，；當(dāng)時，.【分析】（1）利用三角恒等變換思想得出，令，，由題意可知對任意的，可得出，進而可解得實數(shù)的取值范圍；（2）由題意可知，函數(shù)與直線在上恰有個交點，然后對實數(shù)的取值進行分類討論，考查實數(shù)在不同取值下兩個函數(shù)的交點個數(shù)，由此可得出結(jié)論.【詳解】（1），當(dāng)時，，，則，要使對任意恒成立，令，則，對任意恒成立，只需，解得，實數(shù)的取值范圍為；（2）假設(shè)同時存在實數(shù)和正整數(shù)滿足條件，函數(shù)在上恰有個零點，即函數(shù)與直線在上恰有個交點.當(dāng)時，，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下圖所示：①當(dāng)或時，函數(shù)與直線在上無交點；②當(dāng)或時，函數(shù)與直線在上僅有一個交點，此時要使函數(shù)與直線在上有個交點，則；③當(dāng)或時，函數(shù)直線在上有兩個交點，此時函數(shù)與直線在上有偶數(shù)個交點，不可能有個交點，不符合；④當(dāng)時，函數(shù)與直線在上有個交點，此時要使函數(shù)與直線在上恰有個交點，則.綜上所述，存在實數(shù)和正整數(shù)滿足條件：當(dāng)時，；當(dāng)時，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，利用函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)求參數(shù)，解本題第（2）問的關(guān)鍵就是要注意到函數(shù)與直線的圖象在區(qū)間上的圖象的交點個數(shù)，結(jié)合周期性求解.36．（2021·江蘇宿遷·高一期末）已知函數(shù)．請在下面的三個條件中任選兩個解答問題．①函數(shù)的圖象過點；②函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；③函數(shù)相鄰兩個對稱軸之間距離為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若是函數(shù)的零點，求的值組成的集合；（3）當(dāng)時，是否存在滿不等式？若存在，求出的范圍，若不存在，請說明理由.【答案】（1）選擇①②、①③、②③都有；（2）；（3）存在，的范圍，利用見解析.【分析】（1）選擇①②，將點代入，結(jié)合可求，由點是的對稱中心可得，結(jié)合，可得，即可得解析式；選擇①③：將點代入，結(jié)合可求，由，所即，可得，即可得解析式；選擇②③由，所即，可得，若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則，結(jié)合，可得，即可得解析式；（2）若是函數(shù)的零點，則，解得或，可得或，進而可得可能的取值，即可求解；（3）由得，當(dāng)時，函數(shù)可轉(zhuǎn)化為，，，利用偶函數(shù)的性質(zhì)原不等式可化為，即可求解.【詳解】選擇①②：因為函數(shù)的圖象過點，所以，解得，因為，所以，因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則，可得，因為，所以，，所以，選擇①③：若函數(shù)的圖象過點，所以，解得，因為，所以，因為函數(shù)相鄰兩個對稱軸之間距離為，所以，所以，，解得：，所以，選擇②③：因為函數(shù)相鄰兩個對稱軸之間距離為，所以，所以，，解得：，若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則，可得，因為，所以，，所以（2）若是函數(shù)的零點，則，可得，所以或解得：或，若是函數(shù)的零點，則，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以的值組成的集合為；（3）當(dāng)時，，令，則，令，則，，因為，所以，即，所以，即，，解得：.所以實數(shù)的范圍是：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是由余弦函數(shù)的性質(zhì)求出的解析式，再利用余弦函數(shù)的零點可求可能的取值，求的范圍的關(guān)鍵是構(gòu)造偶函數(shù)，利用單調(diào)性脫掉，解關(guān)于的不等式.37．（2021·廣東實驗中學(xué)高一期末）已知函數(shù)為的零點，為圖象的對稱軸．（1）若在內(nèi)有且僅有6個零點，求；（2）若在上單調(diào)，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)的零點和對稱中心確定出的取值情況，再根據(jù)在上的零點個數(shù)確定出，由此確定出的取值，結(jié)合求解出的取值，再根據(jù)以及的范圍確定出的取值，由此求解出的解析式；（2）先根據(jù)在上單調(diào)確定出的范圍，由此確定出的可取值，再對從大到小進行分析，由此確定出的最大值.【詳解】（1）因為是的零點，為圖象的對稱軸，所以，所以，因為在內(nèi)有且僅有個零點，分析正弦函數(shù)函數(shù)圖象可知：個零點對應(yīng)的最短區(qū)間長度為，最長的區(qū)間長度小于，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，代入，所以，所以，所以，又因為，所以，所以；（2）因為在上單調(diào)，所以，即，所以，又由（1）可知，所以，所以，當(dāng)時，，所以，所以，所以此時，因為，所以，又因為在時顯然不單調(diào)所以在上不單調(diào)，不符合；當(dāng)時，，所以，所以，所以此時，因為，所以，又因為在時顯然單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，符合；綜上可知，的最大值為.【點睛】思路點睛：求解動態(tài)的三角函數(shù)涉及的取值范圍問題的常見突破點：（1）結(jié)論突破：任意對稱軸（對稱中心）之間的距離為，任意對稱軸與對稱中心之間的距離為；（2）運算突破：已知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則有且；已知在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則有且.38．（2021·福建省福州第一中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，圖象上相鄰的最高點與最低點的橫坐標(biāo)相差，______；（1）①的一條對稱軸且；②的一個對稱中心，且在上單調(diào)遞減；③向左平移個單位得到的圖象關(guān)于軸對稱且從以上三個條件中任選一個補充在上面空白橫線中，然后確定函數(shù)的解析式；（2）在（1）的情況下，令，，若存在使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）選①②③，；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意可得出函數(shù)的最小正周期，可求得的值，根據(jù)所選的條件得出關(guān)于的表達式，然后結(jié)合所選條件進行檢驗，求出的值，綜合可得出函數(shù)的解析式；（2）求得，由可計算得出，進而可得出，由參變量分離法得出，利用基本不等式求得的最小值，由此可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，.選①，因為函數(shù)的一條對稱軸，則，解得，，所以，的可能取值為、.若，則，則，不合乎題意；若，則，則，合乎題意.所以，；選②，因為函數(shù)的一個對稱中心，則，解得，，所以，的可能取值為、.若，則，當(dāng)時，，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，不合乎題意；若，則，當(dāng)時，，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，合乎題意；所以，；選③，將函數(shù)向左平移個單位得到的圖象關(guān)于軸對稱，所得函數(shù)為，由于函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，可得，解得，，所以，的可能取值為、.若，則，，不合乎題意；若，則，，合乎題意.所以，；（2）由（1）可知，所以，，當(dāng)時，，，所以，，所以，，，，，則，由可得，所以，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，.【點睛】結(jié)論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.39．（2021·上海交大附中高一期末）若定義域為的函數(shù)滿足：對于任意，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．（1）設(shè)函數(shù)，的表達式分別為，，判斷函數(shù)與是否具有性質(zhì)，說明理由；（2）設(shè)函數(shù)的表達式為，是否存在以及，使得函數(shù)具有性質(zhì)？若存在，求出，的值；若不存在，說明理由；（3）設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，且在上的值域恰為；以為周期的函數(shù)的表達式為，且在開區(qū)間上有且僅有一個零點，求證：．【答案】（1）函數(shù)具有性質(zhì)，不具有性質(zhì)，理由見解析；（2）不具備，理由見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)具有性質(zhì)的定義依次討論即可得答案；（2）假設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，則有，即，進而得，再根據(jù)并結(jié)合函數(shù)的值域為得，故，此時，在驗證不具有性質(zhì)，進而得到答案；（3）結(jié)合（2），并根據(jù)題意得，進而得在的值域為，當(dāng)時，與零點唯一性矛盾得或，再討論當(dāng)時不成立得，即．【詳解】（1）函數(shù)具有性質(zhì)，不具有性質(zhì)，說明如下：，，對任意，都有，所以具有性質(zhì)，，，所以，所以不具有性質(zhì)；（2）若函數(shù)具有性質(zhì)，則有，即，于是，結(jié)合知，因此；若，不妨設(shè)由可知：（記作*），其中只要充分大時，將大于1考慮到的值域為為，等式（*）將無法成立，綜上所述必有，即；再由，，從而，而當(dāng)時，，而，顯然兩者不恒相等（比如時)綜上所述，不存在以及使得具有性質(zhì)；(3）由函數(shù)具有性質(zhì)以及（2）可知，由函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，有，即，也即由，及題設(shè)可知在的值域為當(dāng)時，當(dāng)及時，均有，這與零點唯一性矛盾，因此或，當(dāng)時，，在的值域為此時于是在上的值域為，由正弦函數(shù)的性質(zhì)，此時當(dāng)時和的取值范圍不同，因而，即．【點睛】本題考查函數(shù)的新定義問題，考查邏輯推理能力，運算求解能力，是難題.本題解題的關(guān)鍵在于正確理解具有性質(zhì)P的函數(shù)的定義，利用定義，結(jié)合反證法，分類討論思想等討論求解.40．（2021·浙江衢州·高一期末）如圖，AB是的直徑，C，D是上的兩點，AB//CD.AD=BC=1，設(shè)AB=x，四邊形ABCD的周長為f（x）.（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）關(guān)于x的方程在[2，6]上有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)t的取值范圍；（3）△ABC的面積的平方為g（x），若對于，，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）在中，過點作于，求出,，即可得到函數(shù)f（x）的解析式；（2）將方程變形去掉絕對值，得到或，將方程的根轉(zhuǎn)化為圖象的交點的問題，數(shù)形結(jié)合解不等式即可；（3）先求出，令，將問題轉(zhuǎn)化為x∈[2，6]時，，利用函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，然后將轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后分類討論，求解的最值，建立不等式，求解即可.【詳解】（1）如圖在中，過點作于，則，則,,.（2）即或，結(jié)合圖像可得，實數(shù)t的取值范圍為;（3），令即需滿足x∈[2，6]時，，，①當(dāng)，即時，，得，②當(dāng)，即時，，得，③當(dāng)，即時，，得④當(dāng)，即時，，得，無解，綜上：實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】函數(shù)零點的求解與判斷方法：（1）直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．（2）零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．（3）利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．41．（2021·廣東揭東·高一期末）如圖，是邊長為的正三角形，記位于直線左側(cè)的圖形的面積為．（1）求函數(shù)解析式；（2）當(dāng)函數(shù)有且只有一個零點時，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)的定義，分段討論即可求出函數(shù)的解析式．（2）求出的表達式，根據(jù)有且只有一個零點，即，分類討論即可求出的值．【詳解】解：（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以.（2）由（1）知，當(dāng)時，若有且只有一個零點，即有且只有一個根，則有，因為，所以，即；當(dāng)時，若有且只有一個零點，即有且只有一個根，化簡得有且只有一個根，所以，解得或，當(dāng)時，，所以內(nèi)，當(dāng)時，；當(dāng)時，若有且只有一個零點，即有且只有一個根，則有，因為，所以，所以；綜上，當(dāng)時，有兩個零點，不合題意；當(dāng)時，有且只有一個零點，符合題意；所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)有且只有一個零點，即，分類討論求出的取值范圍．42．（2021·浙江浙江·高一期末）設(shè)函數(shù)，.（1）判斷的奇偶性，并說明理由；（2）當(dāng)時，若對任意的，均有成立，求的最大值.【答案】（1）當(dāng)時，為偶函數(shù)；當(dāng)時，為非奇非偶函數(shù)；（2）4.【分析】（1）當(dāng)時，利用定義可得為偶函數(shù)，當(dāng)時，利用反例可得為非奇非偶函數(shù).（2）原不等式等價于在恒成立，令，求出的最小值后可得滿足的不等式，從而得到的不等式，由此可求的最大值.【詳解】（1）若，則，此時，又的定義域為，故為偶函數(shù).若，則，但，故不是偶函數(shù)，又，故不是奇函數(shù).故當(dāng)時，為偶函數(shù)；當(dāng)時，為非奇非偶函數(shù).（2）因為對任意的，均有，故在上恒成立.令，，若，則，因為，故，當(dāng)時，，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.若，，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.當(dāng)時，，當(dāng)時，，該函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)，，該函數(shù)在上為減函數(shù)，故，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最大值為4.【點睛】思路點睛：（1）函數(shù)奇偶性的證明，一般依據(jù)定義來處理，說明一個函數(shù)不是奇函數(shù)或偶函數(shù)，可通過反例來說明.（2）含絕對值的不等式的恒成立問題，優(yōu)先利用參變分離的方法，多變量代數(shù)式的最值問題，應(yīng)用通過相等關(guān)系或不等式消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題.43．（2021·河南駐馬店·高一期末（理））已知函數(shù)可以表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和．（1）請分別求出與的解析式；（2）記．（i）證明：為奇函數(shù)；（ii）若存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），；（2）（i）證明見解析；（ii）.【分析】（1）根據(jù)題意，分析可得，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得，聯(lián)立兩個式子分析可得答案；（2）（i）求出的解析式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性定義分析可得結(jié)論；（ii）根據(jù)題意，原問題可以轉(zhuǎn)化為，令，記，即可．【詳解】（1）根據(jù)題意①，則∵為奇函數(shù)，為偶函數(shù)∴②聯(lián)立①②可得，（2）（i）由（1）得定義域為，對任意，都有∴為奇函數(shù)（ii）∵為增函數(shù)，∴為減函數(shù)，∴為增函數(shù)，即為上單調(diào)遞增的奇函數(shù)∴存在，使成立即存在使得成立即，使成立令，使成立∵在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增而，，∴，∴.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題中函數(shù)解析式的求法-方程組法，及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，其中根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義構(gòu)造出關(guān)于關(guān)于與的另一個方程：是解答本題的關(guān)鍵.44．（2021·廣東廣州·高一期末）給定函數(shù)．且用表示，的較大者，記為．（1）若，試寫出的解析式，并求的最小值；（2）若函數(shù)的最小值為，試求實數(shù)的值．【答案】（1），；（2）或．【分析】由的定義可得，（1）將代入，寫出解析式，結(jié)合分段區(qū)間，求，的最小值并比較大小，即可得的最小值；（2）結(jié)合的解析式及對稱軸，討論、、分別求得對應(yīng)最小值關(guān)于的表達式，結(jié)合已知求值.【詳解】由題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴（1）當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，此時，.（2），且對稱軸分別為，①當(dāng)時，即時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；，即，（舍去），②當(dāng)，即時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；，有，故此時無解.③當(dāng)，即時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；，即，（舍去）綜上，得：或.【點睛】關(guān)鍵點點睛：寫出的解析式，第二問需結(jié)合各分段上的函數(shù)性質(zhì)-對稱軸，討論參數(shù)范圍求最小值關(guān)于參數(shù)的表達式，進而求參數(shù)值.45．（2021·浙江浙江·高一期末）已知函數(shù)，函數(shù)，其中（1）若恒成立，求實數(shù)t的取值范圍；（2）若，①求使得成立的x的取值范圍；②求在區(qū)間上的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為“恒成立”，然后根據(jù)與的大小關(guān)系求解出的取值范圍；（2）①分別考慮時不等式的解集，由此確定出成立的的取值范圍；②先將寫成分段函數(shù)的形式，然后分段考慮的最大值，其中時注意借助二次函數(shù)的單調(diào)性進行分析.【詳解】（1）因為恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以，解得，所以；（2）①當(dāng)時，，所以，解得；當(dāng)時，，所以，因為，所以，所以無解，綜上所述：的取值范圍是；②由①可知：，當(dāng)時，，所以，所以；當(dāng)時，的對稱軸為，所以，且，所以，令，所以，所以，綜上可知：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題第二問的關(guān)鍵在于對取最小值函數(shù)（）的理解以及分類討論思想的運用，通過分類討論的思想確定出的解析式，再分析對應(yīng)的每段函數(shù)的最大值，從而確定出的最大值.46．（2021·北京市八一中學(xué)高一期末）設(shè)集合，集合，如果對于任意元素，都有或，則稱集合為的自鄰集.記為集合的所有自鄰集中最大元素為的集合的個數(shù).（1）直接判斷集合和是否為的自鄰集；（2）比較和的大小，并說明理由；（3）當(dāng)時，求證：.【答案】（1）不是的自鄰集，是的自鄰集；（2），理由見解析；（3）證明見解析【分析】（1）利用自鄰集的定義直接判斷即可；（2）利用自鄰集的定義求出的自鄰集中最大元集分別為6，5，3的所有自鄰集，從而可得答案；（3）記集合所有子集中自鄰集的個數(shù)為，可得，然后分：①自鄰集中含這三個元素，②自鄰集中含有這兩個元素，不含，且不只有這兩個元素，③自鄰集只含有這兩個元素，三種情況求解即可【詳解】解：（1）因為，所以和，因為，所以不是的自鄰集，因為所以是的自鄰集，（2），則其自鄰集中最大元素為6的集合中必含5和6，則有{5，6}，{4，5，6}，{3，4，5，6}，{2，3，5，6}，{1，2，5，6}，{2，3，4，5，6}，{1，2，3，5，6}，{1，2，4，5，6}，{1，2，3，4，5，6}共9個，即其自鄰集中最大元素為5的集合中必含4和5，則有{4，5}，{3，4，5}，{2，3，4，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共5個，其自鄰集中最大元素為3的集合中必含2和3，則有{2，3}，{1，2，3}共2個，所以（3）證明：記集合所有子集中自鄰集的個數(shù)為，由題意可得當(dāng)時，，，顯然①自鄰集中含這三個元素，記去掉這個自鄰集中的元素后的集合為，因為，所以仍是自鄰集，且集合中的最大元素為，所以含有這三個元素的自鄰集的個數(shù)為，②自鄰集中含有這兩個元素，不含，且不只有這兩個元素，記自鄰集除之外最大元素為，則，每個自鄰集中去掉這兩個元素后，仍為自鄰集，此時的自鄰集的最大元素為，可將此時的自鄰集分為種情況：含有最大數(shù)為2的集合個數(shù)為含有最大數(shù)為3的集合個數(shù)為……，含有最大數(shù)為的集合個數(shù)為則這樣的集合共有，③自鄰集只含有這兩個元素，這樣的自鄰集只有1個，綜上可得因為，，所以，所以，所以【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查集合的新定義，考查集合子集的有關(guān)知識，考查分析問題的能力，解題的關(guān)鍵是對集合新定義的理解，考查理解能力，屬于較難題47．（2021·江蘇·南京市第十三中學(xué)高一期末）已知集合，對于A的子集S若存在不大于的正整數(shù)，使得對于S中的任意一對元素、，都有，則稱具有性質(zhì).（1）當(dāng)時，判斷集合和是否具有性質(zhì)P？并說明理由；（2）若時，①如果集合S具有性質(zhì)P，那么集合是否一定具有性質(zhì)P？并說明理由；②如果集合S具有性質(zhì)P，求集合S中元素個數(shù)的最大值.【答案】（1）集合不具有性質(zhì)，集合不具有性質(zhì)，理由見解析；（2）①集合具有性質(zhì)，理由見解析；②，證明見解析.【分析】（1）當(dāng)時，，由題中所給新定義直接判斷即可；（2）若時，則，①根據(jù)，任取，其中，可得，利用性質(zhì)的定義加以驗證即可證明；②設(shè)集合有個元素，由①知：任給，，則和中必有一個不超過，所以集合和集合中必有一個集合中至少存在一半的元素不超過，然后利用性質(zhì)的定義進行分析可得，即解不等式即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，不具有性質(zhì)，因為對于集合中任意不大于的正整數(shù)，都可以找到該集合中兩個元素，使得成立，具有性質(zhì).因為，