三要素法暫態(tài)分析

1.12電路的暫態(tài)分析前面討論的是電阻性電路，當(dāng)接通電源或斷開(kāi)電源時(shí)電路立即進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)(穩(wěn)態(tài))。所謂穩(wěn)態(tài)是指電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)一定時(shí)，電路中電壓、電流不變。但是，當(dāng)電路中含有(電感或電容)時(shí)，由于物質(zhì)所具有的能量不能躍變，所以在發(fā)生換路時(shí)(指電路接通、斷開(kāi)或結(jié)構(gòu)和參數(shù)發(fā)生變化)，電路從一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)一般需要經(jīng)過(guò)過(guò)渡狀態(tài)才能到達(dá)。由于過(guò)渡狀態(tài)所經(jīng)歷的時(shí)間往往很短，故又稱暫態(tài)過(guò)程。

本節(jié)先討論R、L、C的特征和暫態(tài)過(guò)程產(chǎn)生的原因，而后討論暫態(tài)過(guò)程中電壓、電流隨時(shí)間變化的規(guī)律。三要素法暫態(tài)分析（第三版）上式表明電阻將全部電能消耗掉，轉(zhuǎn)換成熱能。(1)電阻元件iu+_R圖中參考電壓和電流方向一致，根據(jù)歐姆定律得出u=RiR=ui電阻元件的參數(shù)電阻對(duì)電流有阻礙作用將u=Ri兩邊同乘以i

，并積分之，則得

R是耗能元件1.12.1電阻元件、電感元件和電容元件三要素法暫態(tài)分析（第三版）(安)A韋伯(Wb)亨利(H)電感(2)電感元件L=iN

在圖示u、i、e假定參考方向的前提下，當(dāng)通過(guò)線圈的磁通或i發(fā)生變化時(shí)，線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為L(zhǎng)稱為電感或自感。線圈的匝數(shù)越多，其電感越大；線圈單位電流中產(chǎn)生的磁通越大，電感也越大。L+–ui–eL+描述線圈通有電流時(shí)產(chǎn)生磁場(chǎng)、儲(chǔ)存磁場(chǎng)能量的性質(zhì)。iN+–u三要素法暫態(tài)分析（第三版）電壓電流關(guān)系L+–ui–eL+根據(jù)KVL可寫(xiě)出u+eL=0或在直流穩(wěn)態(tài)時(shí)，電感相當(dāng)于短路。瞬時(shí)功率p>0，L把電能轉(zhuǎn)換為磁場(chǎng)能，吸收功率。p<0，L把磁場(chǎng)能轉(zhuǎn)換為電能，放出功率。儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能

L

是儲(chǔ)能元件三要素法暫態(tài)分析（第三版）(伏)V庫(kù)侖(C)法拉(F)(3)電容元件電容元件的參數(shù)iu+–C1F=106F

1pF=1012F當(dāng)通過(guò)電容的電荷量或電壓發(fā)生變化時(shí)，則在電容中引起電流在直流穩(wěn)態(tài)時(shí)，I=0，電容隔直流。儲(chǔ)存的電場(chǎng)能

C

是儲(chǔ)能元件三要素法暫態(tài)分析（第三版）1.12.2儲(chǔ)能元件和換路定則電路中含有儲(chǔ)能元件(電感或電容)，在換路瞬間儲(chǔ)能元件的能量不能躍變，即換路引起電路工作狀態(tài)變化的各種因素。如：電路接通、斷開(kāi)或結(jié)構(gòu)和參數(shù)發(fā)生變化等。電感元件的儲(chǔ)能不能躍變電容元件的儲(chǔ)能不能躍變iL(0+)=iL(0–)uC(0+)=uC(0–)設(shè)

t=0為換路瞬間，而以t=0–

表示換路前的終了瞬間，t=0+

表示換路后的初始瞬間。換路定則用公式表示為：否則將使功率達(dá)到無(wú)窮大三要素法暫態(tài)分析（第三版）[例1]4R3+U6Vt=02SR1R24uCC+－+—iCiL

t=0-iLuL

確定電路中各電流與電壓的初始值。設(shè)開(kāi)關(guān)

S閉合前L元件和C元件均未儲(chǔ)能。[解]

由t=0

的電路uC(0)=0iL(0)=0因此uC(0+)=0iL(0+)=0三要素法暫態(tài)分析（第三版）+UR1i+uLiLR2

R3uC+iCt=0+在t=0+

的電路中電容元件短路，電感元件開(kāi)路，求出各初始值uL(0+)=R2iC(0+)=41V=4V三要素法暫態(tài)分析（第三版）結(jié)論(1)換路瞬間，uC、iL

不能躍變,但其它電量均可以躍變。(3)換路前,若uC(0-)0,換路瞬間(t=0+等效電路中),電容元件可用一理想電壓源替代,其電壓為uc(0+);換路前,若iL(0-)0,在t=0+等效電路中,電感元件可用一理想電流源替代，其電流為iL(0+)。(2)換路前,若儲(chǔ)能元件沒(méi)有儲(chǔ)能,換路瞬間(t=0+的等效電路中)，可視電容元件短路，電感元件開(kāi)路。三要素法暫態(tài)分析（第三版）1.12.3RC

電路的暫態(tài)分析(1)零狀態(tài)響應(yīng)所謂RC

電路的零狀態(tài)，是指換路前電容元件未儲(chǔ)有能量，即uC(0-)=0。在此條件下，由電源激勵(lì)所產(chǎn)生的電路的響應(yīng)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)。(2)零輸入響應(yīng)所謂RC

電路的零輸入，是指無(wú)電源激勵(lì)，輸入信號(hào)為零。在此條件下，由電容元件的初始狀態(tài)uC(0+)

所產(chǎn)生的電路的響應(yīng)，稱為零輸入響應(yīng)。(3)全響應(yīng)所謂RC

電路的全響應(yīng)，是指電源激勵(lì)和電容元件的初始狀態(tài)uC(0+)

均不為零時(shí)電路的響應(yīng)，也就是零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)兩者的疊加。三要素法暫態(tài)分析（第三版）USCRt=0–

+12–

+uR–

+uCi在t

=

0

時(shí)將開(kāi)關(guān)

S

合到

1

的位置根據(jù)

KVL，t≥

0

時(shí)電路的微分方程為

設(shè)：S在2位置時(shí)C已放電完畢(1)零狀態(tài)響應(yīng)三要素法暫態(tài)分析（第三版）上式的通解有兩個(gè)部分，特解和補(bǔ)函數(shù)特解取電路的穩(wěn)態(tài)值，即補(bǔ)函數(shù)是齊次微分方程的通解，其形式為代入上式，得特征方程三要素法暫態(tài)分析（第三版）SCRt=0–

+U12–

+uR–

+uCi其根為通解由于換路前電容元件未儲(chǔ)能，即

uC(0+)

=0，則A

=–U，于是得

uC

零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式三要素法暫態(tài)分析（第三版）時(shí)間常數(shù)

物理意義當(dāng)t=時(shí)令:單位:s時(shí)間常數(shù)

決定電路暫態(tài)過(guò)程變化的快慢uC=U(1e1)=U(10.368)=0.632UtuCUOu0.632U零狀態(tài)響應(yīng)曲線所以時(shí)間常數(shù)等于電壓uC

增長(zhǎng)到穩(wěn)態(tài)值

U

的63.2%所需的時(shí)間。三要素法暫態(tài)分析（第三版）(2)零輸入響應(yīng)+–SRU21+–+–代入上式得換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)t=

0

時(shí)開(kāi)關(guān)S1，電容C經(jīng)電阻R放電一階線性常系數(shù)齊次微分方程列

KVL方程實(shí)質(zhì)：RC電路的放電過(guò)程三要素法暫態(tài)分析（第三版）特征方程RCp+1=0由初始值確定積分常數(shù)AuC(0+)=

uC(0)=U

uC()=0則A=U零輸入響應(yīng)表達(dá)式t≥0三要素法暫態(tài)分析（第三版）uC零輸入響應(yīng)曲線OuUt時(shí)間常數(shù)=RC當(dāng)t=

時(shí)，uC=

36.8%

U電容電壓uC從初始值按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減的快慢由RC

決定。

越大，曲線變化越慢，uC

達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需要的時(shí)間越長(zhǎng)。三要素法暫態(tài)分析（第三版）0.368UUtOuC設(shè)1<

2<

3三要素法暫態(tài)分析（第三版）暫態(tài)時(shí)間理論上認(rèn)為t

、uC0

電路達(dá)穩(wěn)態(tài)工程上認(rèn)為t=(3~5)、uC0電容放電基本結(jié)束。

t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U隨時(shí)間而衰減當(dāng)t=5

時(shí)，過(guò)渡過(guò)程基本結(jié)束，uC

達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。三要素法暫態(tài)分析（第三版）(3)全響應(yīng)uC

的變化規(guī)律

全響應(yīng)：電源激勵(lì)、儲(chǔ)能元件的初始能量均不為零時(shí)，電路中的響應(yīng)。根據(jù)疊加定理全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)uC(0)=U0SRU+_C+_iuC+_uRt≥0三要素法暫態(tài)分析（第三版）穩(wěn)態(tài)分量零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)暫態(tài)分量結(jié)論2：全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量全響應(yīng)結(jié)論1：全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值初始值t≥0t≥0三要素法暫態(tài)分析（第三版）在直流電源激勵(lì)的情況下，一階線性電路微分方程解的通用表達(dá)式：式中，f(t)——一階電路中任一電壓、電流函數(shù)；f(0+)——初始值；f()——穩(wěn)態(tài)值；——時(shí)間常數(shù)。(三要素)

利用求三要素的方法求解暫態(tài)過(guò)程，稱為三要素法。一階電路都可以應(yīng)用三要素法求解，在求得f(0+)、f()和的基礎(chǔ)上，可直接寫(xiě)出電路的響應(yīng)(電壓或電流)。三要素法暫態(tài)分析（第三版）一階電路暫態(tài)過(guò)程的求解方法一階電路僅含一個(gè)儲(chǔ)能元件或可等效為一個(gè)儲(chǔ)能元件的線性電路,且由一階微分方程描述，稱為一階線性電路。求解方法經(jīng)典法：根據(jù)激勵(lì)(電源電壓或電流)，通過(guò)求解電路的微分方程得出電路的響應(yīng)(電壓和電流)。三要素法初始值穩(wěn)態(tài)值時(shí)間常數(shù)求(三要素)三要素法暫態(tài)分析（第三版）三要素法求解暫態(tài)過(guò)程的要點(diǎn)1)求初始值、穩(wěn)態(tài)值、時(shí)間常數(shù)；3)畫(huà)出暫態(tài)電路電壓、電流隨時(shí)間變化的曲線。2)將求得的三要素結(jié)果代入暫態(tài)過(guò)程通用表達(dá)式；終點(diǎn)f()起點(diǎn)f(0+)tf(t)O三要素法暫態(tài)分析（第三版）

求換路后電路中的電壓和電流，其中電容C視為開(kāi)路,電感L視為短路，即求解直流電阻性電路中的電壓和電流。穩(wěn)態(tài)值f()的計(jì)算響應(yīng)中“三要素”的確定例：uC+t=0C10V5k1FS5k+t=03666mAS1H三要素法暫態(tài)分析（第三版）初始值f(0+)的計(jì)算

1)由t=0

電路求uC(0)、iL(0)2)根據(jù)換路定則求出3)由t=0+

時(shí)的電路，求所需其他各量的u(0+)或i(0+)注意：在換路瞬間t=(0+)的等效電路中

1)若uC(0)=U00，電容元件用恒壓源代替，其值等于U0;若uC(0)=0，電容元件視為短路。

2)若iL(0)=I00電感元件用恒流源代替，其值等于I0;若iL(0)=0，電感元件視為開(kāi)路。三要素法暫態(tài)分析（第三版）若不畫(huà)t=

(0+)的等效電路，則在所列t=

0+

時(shí)的方程中應(yīng)有uC=uC(0+)、iL=iL(0+)。時(shí)間常數(shù)的計(jì)算對(duì)于一階RC電路對(duì)于一階RL電路注意：

1)

對(duì)于簡(jiǎn)單的一階電路，R0=R;

2)

對(duì)于較復(fù)雜的一階電路，R0

為換路后的電路除去電源和儲(chǔ)能元件后，在儲(chǔ)能元件兩端所求得的無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。三要素法暫態(tài)分析（第三版）R0U0+CR0

R0

的計(jì)算類似于應(yīng)用戴維寧定理解題時(shí)計(jì)算電路等效電阻的方法。即從儲(chǔ)能元件兩端看進(jìn)去的等效電阻，如圖所示。R1R2R3R1U+t=0CR2R3S三要素法暫態(tài)分析（第三版）R2R1–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0S

[例2]在下圖中，已知

U1

=

3

V，U2

=+6V，R1

=

1

k，R2

=

2

k，C

=3F，t

<

0

時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)。用三要素法求

t≥0時(shí)的uC(t)，并畫(huà)出其變化曲線。

[解]

先確定uC(0+)、uC()和時(shí)間常數(shù)

t<0時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)，意味著電容相當(dāng)于開(kāi)路。三要素法暫態(tài)分析（第三版）

[例2]

在下圖中，已知U1=3V，U2=+6V，R1=1k，R2=2k，C=3F，t<0時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)。用三要素法求t≥0時(shí)的uC(t)，并畫(huà)出其變化曲線。R2–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0SR1

[解]

先確定uC(0+)

uC()和時(shí)間常數(shù)

uC=42e500tVt≥0三要素法暫態(tài)分析（第三版）

[例2]

在下圖中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1k，R2=2k，C=3F，t<0時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)。用三要素法求t≥0時(shí)的uC(t)，并畫(huà)出其變化曲線。[解]–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0SR1uC(0+)=2VuC()=4V=2msuC=42e500tVt≥0R2t/suC

/V402uC(t)變化曲線三要素法暫態(tài)分析（第三版）1.12.4RL電路的暫態(tài)分析Rt=0–

+12–

+uR–

+uLiLSU在t

=

0

時(shí)將開(kāi)關(guān)

S

合到

1

的位置上式的通解為根據(jù)KVL，t≥

0時(shí)電路的微分方程為

在t

=

0+

時(shí)，初始值

i(0+)

=

0，則。于是得式中

也具有時(shí)間的量綱，是RL電路的時(shí)間常數(shù)。這種電感無(wú)初始儲(chǔ)能，電路響應(yīng)僅由外加電源引起，稱為RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)。三要素法暫態(tài)分析（第三版）1.12.4RL電路的暫態(tài)分析Rt=0–

+U2–

+uR–

+uLiLS1若在t

=

0

時(shí)將開(kāi)關(guān)

S

由

1

合到

2

的位置，如右圖所示。這時(shí)電路中外加激勵(lì)為零，電路的響應(yīng)是由電感的初始儲(chǔ)能引起的，故常稱為

RL

電路的零輸入響應(yīng)。