《直角三角形》復習鞏固基礎(chǔ)提高知識點講解及練習題解析

PAGE直角三角形鞏固練習（基礎(chǔ)）【鞏固練習】一.選擇題1．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為()A.150 B.200C.225 D.無法計算2.已知三角形的三邊長為(其中)，則此三角形()．A.一定是等邊三角形 B.一定是等腰三角形C.一定是直角三角形 D.形狀無法確定3．三角形的三邊長分別為、、（都是正整數(shù)），則這個三角形是（）A．直角三角形B．鈍角三角形C．銳角三角形D．不能確定4．（2015?岳池縣模擬）如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵樹高4米，兩樹相距8米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（）A．8米 B．10米 C．12米 D．14米5．（2015春?天河區(qū)期末）下列各命題的逆命題成立的是（）A．全等三角形的對應(yīng)角相等B．如果兩個數(shù)相等，那么它們的絕對值相等C．兩直線平行，同位角相等D．如果兩個角都是45°，那么這兩個角相等6.在兩個直角三角形中，若有一對角對應(yīng)相等，一對邊對應(yīng)相等，則兩個直角三角形（）A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二.填空題7．（2015春?東臺市期末）命題“銳角與鈍角互為補角”的逆命題是．8.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝2，點E在BC上，且AE＝EC.若將紙片沿AE折疊，點B恰好與AC上的點重合，則AC＝.9.已知兩條線段的長分別為11和60，當?shù)谌龡l線段的長為時，這3條線段能組成一個直角三角形．10.如圖，AB＝5，AC＝3，BC邊上的中線AD＝2，則△ABC的面積為______．11.如圖，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，EC⊥AC，AC＝EC，若DE＝2，AB＝4，則DB＝______.12.如圖，已知AD是△ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于F，且BF＝AC，F(xiàn)D＝CD.則∠BAD＝_______.三.解答題13.已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的長．14.如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點D與點B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的長．15.（2015?秦皇島校級模擬）如圖，鐵路MN和鐵路PQ在P點處交匯，點A處是重慶市第九十四中學，AP=160米，點A到鐵路MN的距離為80米，假使火車行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪音影響．（1）火車在鐵路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到影響？請說明理由．（2）如果受到影響，已知火車的速度是180千米/時那么學校受到影響的時間是多久？16.如圖，已知AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分別是點E、F.求證：∠1＝∠2.【答案與解析】一.選擇題1.【答案】C；【解析】面積和等于.2【答案】C；【解析】，滿足勾股定理的逆定理.3.【答案】A；【解析】，滿足勾股定理的逆定理.4.【答案】B；【解析】解：如圖，設(shè)大樹高為AB=10m，小樹高為CD=4m，過C點作CE⊥AB于E，則EBDC是矩形，連接AC，∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，在Rt△AEC中，AC==10（m），故小鳥至少飛行10m．故選：B．5.【答案】C；【解析】解：A、逆命題是三個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，錯誤；B、絕對值相等的兩個數(shù)相等，錯誤；C、同位角相等，兩條直線平行，正確；D、相等的兩個角都是45°，錯誤．故選C．6.【答案】C；【解析】如果這對角不是直角，那么全等，如果這對角是直角，那么不全等.二.填空題7.【答案】如果兩個角互為補角，那么這兩個角一個是銳角另一個是鈍角；8.【答案】4；【解析】，又因為AE＝CE，所以為△AEC的垂直平分線，AC＝2AB＝4.9.【答案】61或；【解析】60長的邊可能是斜邊，也可能是直角邊.10.【答案】6；【解析】延長AD到E，使DE＝AD，連結(jié)BE，可得△ABE為Rt△．11.【答案】6；【解析】DB＝DC＋CB＝AB＋ED＝4＋2＝6；12.【答案】45°；【解析】證△ADC與△BDF全等，AD＝BD，△ABD為等腰直角三角形.三.解答題13.【解析】解：過D點作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝CD＝3，易證△ACD≌△AED，∴AE＝AC，在Rt△DBE中，∵BD＝5，DE＝3，∴BE＝4在Rt△ACB中，∠C＝90°設(shè)AE＝AC＝，則AB＝∵∴解得，∴AC＝6.14．【解析】解：設(shè)BE＝，則DE＝BE＝，AE＝AD－DE＝9－．在Rt△ABE中，，∴．解得．15．【解析】解：（1）會受到影響．過點A作AE⊥MN于點E，∵點A到鐵路MN的距離為80米，∴AE=80m，∵周圍100米以內(nèi)會受到噪音影響，80＜100，∴學校會受到影響；（2）以點A為圓心，100米為半徑畫圓，交直線MN于BC兩點，連接AB、AC，則AB=AC=100m，在Rt△ABE中，∵AB=100m，AE=80m，∴BE===60m，∴BC=2BE=120m，∵火車的速度是180千米/時=50m/s，∴t===2.4s．答：學校受到影響的時間是2.4秒．16.【解析】證明：∵AE⊥EC，AF⊥BF，∴△AEC、△AFB為直角三角形在Rt△AEC與Rt△AFB中∴Rt△AEC≌Rt△AFB（HL）∴∠EAC＝∠FAB∴∠EAC－∠BAC＝∠FAB－∠BAC，即∠1＝∠2.

直角三角形知識講解（基礎(chǔ)）【學習目標】1.掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法、勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系．2.能夠運用勾股定理解決簡單的實際問題，會運用方程思想解決問題；能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長判斷一個三角形是否是直角三角形.3.能夠熟練地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其應(yīng)用.【要點梳理】要點一、勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.要點詮釋：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.（2）利用勾股定理，當設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目中的已知線段的長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：，，.（4）勾股數(shù)：滿足不定方程的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對解題會很有幫助：3、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41……②如果是勾股數(shù)，當為正整數(shù)時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.③（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；④（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；⑤（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長.要點二、勾股定理的證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.，所以.要點三、勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.要點詮釋：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.要點四、如何判定一個三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.要點詮釋：當時，此三角形為鈍角三角形；當時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.要點五、互逆命題與互逆定理如果兩個命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，則稱它們?yōu)榛ツ婷}.如果把其中一個叫原命題，則另一個叫做它的逆命題.如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理.要點詮釋：原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯誤；正確的命題我們稱為真命題，錯誤的命題我們稱它為假命題.一個定理是真命題，每一個定理不一定有逆定理，如果這個定理存在著逆定理，則一定是真命題.要點六、直角三角形全等的判定（HL）在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡稱“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個判定方法是直角三角形所獨有的，一般三角形不具備.要點詮釋：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應(yīng)相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”.【典型例題】類型一、勾股定理1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為、、．（1）若＝5，＝12，求；（2）若＝26，＝24，求．【思路點撥】利用勾股定理來求未知邊長．【答案與解析】解：（1）因為△ABC中，∠C＝90°，，＝5，＝12，所以．所以＝13．（2）因為△ABC中，∠C＝90°，，＝26，＝24，所以．所以＝10．【總結(jié)升華】已知直角三角形的兩邊長，求第三邊長，關(guān)鍵是先弄清楚所求邊是直角邊還是斜邊，再決定用勾股定理的原式還是變式．舉一反三：【變式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為、、．（1）已知＝2，＝3，求；（2）已知，＝32，求、．【答案】解：（1）∵∠C＝90°，＝2，＝3，∴；（2）設(shè)，．∵∠C＝90°，＝32，∴．即．解得＝8．∴，．2、一圓形飯盒，底面半徑為8，高為12，若往里面放雙筷子（粗細不計），那么筷子最長不超過多少，可正好蓋上盒蓋？【答案與解析】解：如圖所示，因為飯盒底面半徑為8，所以底面直徑DC長為16．則在Rt△BCD中，，所以()．答：筷子最長不超過20，可正好蓋上盒蓋．【總結(jié)升華】本題實質(zhì)是求飯盒中任意兩點間的最大距離，其最大距離是以飯盒兩底面的一對平行直徑和相應(yīng)的兩條高組成的長方形的對角線長．舉一反三：【變式】如圖所示，一旗桿在離地面5處斷裂，旗桿頂部落在離底部12處，則旗桿折斷前有多高？【答案】解：因為旗桿是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴．∴()．∴BC＋AB＝5＋13＝18()．∴旗桿折斷前的高度為18．【高清課堂勾股定理例3】類型二、勾股定理的逆定理 3、判斷由線段組成的三角形是不是直角三角形．（1）＝7，＝24，＝25；（2）＝，＝1，＝；（3），，()；【思路點撥】判斷三條線段能否組成直角三角形，關(guān)鍵是運用勾股定理的逆定理：看較短的兩條線段的平方和是否等于最長線段的平方．若是，則為直角三角形，反之，則不是直角三角形．【答案與解析】解：（1）∵，，∴．∴由線段組成的三角形是直角三角形．（2）∵，，，∴．∴由線段組成的三角形不是直角三角形．（3）∵，∴，．∵，，∴．∴由線段組成的三角形是直角三角形．【總結(jié)升華】解此類題的關(guān)鍵是準確地判斷哪一條邊最大，然后再利用勾股定理的逆定理進行判斷，即首先確定最大邊，然后驗證與是否具有相等關(guān)系，再根據(jù)結(jié)果判斷是否為直角三角形，第3小題，m,n可以取特殊值，代入到三邊中，也可以判斷其三邊的大?。e一反三：【變式1】判斷以線段為邊的△ABC是不是直角三角形，其中，，．【答案】解：由于，因此為最大邊，只需看是否等于即可．∵，，，∴，∴以線段為邊能構(gòu)成以為斜邊的直角三角形．【高清課堂勾股定理逆定理例3】【變式2】一個三角形的三邊之比是3:4:5則這個三角形三邊上的高之比是（）A．20:15:12 B．3:4:5 C．5:4:3 D．10:8:2【答案】A.提示：這個三角形是直角三角形，三邊上的高之比為4:3：，即20:15:12.4、如圖所示，在四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝∠90°，求四邊形ABCD的面積．【答案與解析】解：連接AC，在△ABC中，因為∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，所以，所以AC＝5，在△ACD中，AD＝13，DC＝12，AC＝5，所以，即．所以△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°．所以．【總結(jié)升華】有關(guān)四邊形的問題通常轉(zhuǎn)化為三角形的問題來解．由AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，應(yīng)想到連接AC，則在Rt△ABC中即可求出△ABC的面積，也可求出線段AC的長．所以在△ACD中，已知AC，AD，CD三邊長，判斷這個三角形的形狀，進而求得這個三角形的面積．而判斷△ACD的形狀，?？紤]能否用勾股定理的逆定理來判斷是否是直角三角形．類型三、勾股定理、逆定理的實際應(yīng)用5、（2015春?遵義期末）“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70km/h．如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方30m的C處，過了2s后，測得小汽車與車速檢測儀間距離為50m，這輛小汽車超速了嗎？（參考數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換：1m/s=3.6km/h）【思路點撥】本題求小汽車是否超速，其實就是求BC的距離，直角三角形ABC中，有斜邊AB的長，有直角邊AC的長，那么BC的長就很容易求得，根據(jù)小汽車用2s行駛的路程為BC，那么可求出小汽車的速度，然后再判斷是否超速了．【答案與解析】解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；據(jù)勾股定理可得：（m）∴小汽車的速度為v==20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴這輛小汽車超速行駛．答：這輛小汽車超速了．【總結(jié)升華】本題是將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學問題，可把條件和問題放到直角三角形中，進行解決．要注意題目中單位的統(tǒng)一．類型四、原命題與逆命題6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1．原命題：貓有四只腳．2．原命題：對頂角相等.3．原命題：線段垂直平分線上的點，到這條線段兩端點的距離相等．4．原命題：角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相等．【答案與解析】1.逆命題：有四只腳的是貓（不正確）2.逆命題：相等的角是對頂角（不正確）3.逆命題：到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．（正確）4.逆命題：到角兩邊距離相等的點，在這個角的角平分線上．（正確）【總結(jié)升華】掌握原命題與逆命題的關(guān)系.原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯誤.舉一反三：【變式1】下列命題中，其逆命題成立的是______________．（只填寫序號）①同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；②如果兩個角是直角，那么它們相等；③如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等；④如果三角形的三邊長滿足，那么這個三角形是直角三角形．【答案】①④提示：①的逆命題“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”顯然正確；②的逆命題“如果兩個角相等，那么它們是直角”很明顯是錯誤的；③的逆命題“如果兩個實數(shù)的平方相等，那么這兩個實數(shù)相等”，兩個實數(shù)可以互為相反數(shù)，所以該命題不正確；④的逆命題“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三邊長滿足”也是正確的.【變式2】（2014秋?永州校級期中）根據(jù)命題“兩直線平行，內(nèi)錯角相等．”解決下列問題：（1）寫出逆命題；（2）判斷逆命題是真命題還是假命題；（3）根據(jù)逆命題畫出圖形，寫出已知，求證．【答案】解：（1）逆命題：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；（2）是真命題；（3）已知：如圖，∠AMN=∠DNM，求證：AB∥CD．類型五、直角三角形全等的判定——“HL” 7、已知：如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求證：（1）AB＝CD：