數(shù)模往屆2013賽題選講

微分方程的應(yīng)用于瀚雯2006ICM題目：如何在抵抗艾滋病的過程中均衡利用資源。總?cè)蝿?wù)：為艾滋病的幾種重要情況建立模型，并根據(jù)你的模型給出財(cái)政資源的分配方案。任務(wù)描述任務(wù)1：在每個(gè)大洲中選取一個(gè)艾滋病病情嚴(yán)重的國(guó)家，建立模型，未來50年中，預(yù)測(cè)在沒有任何干預(yù)措施的情況下你所選定的國(guó)家中艾滋病感染者的數(shù)量的變化率。并對(duì)模型及模型假設(shè)作詳細(xì)的解釋。任務(wù)描述任務(wù)2：估計(jì)所選定國(guó)家中，從2006年到2050年每年對(duì)抗艾滋病所需的國(guó)際支援的水平，利用

這些財(cái)政資源和任務(wù)1中建立的模型來預(yù)測(cè)在所選定的國(guó)家中，從2006年到2050年，在下面三種情況下艾滋病感染者數(shù)量的變化率。（1）實(shí)施抗逆轉(zhuǎn)錄酶(ARV)藥物治療（2）注射抗艾滋病毒疫苗（3）實(shí)施抗逆轉(zhuǎn)錄酶藥物治療和注射疫苗任務(wù)描述任務(wù)3：重新闡述任務(wù)2中建立的3個(gè)模型，把抗藥性的產(chǎn)生考慮在內(nèi)。任務(wù)4：寫一份白皮書給聯(lián)合國(guó)，在以下三個(gè)方面提出建議（1）在實(shí)施抗逆轉(zhuǎn)錄酶藥物治療和注射抗艾滋病毒疫苗兩種方案之間如何合理分配已有資源；（2）跟其他國(guó)際事務(wù)相比較，抵抗艾滋病應(yīng)該有怎樣的優(yōu)先級(jí)別；（3）如何協(xié)調(diào)為抵抗艾滋病的國(guó)際捐助。答案簡(jiǎn)介通過對(duì)給定的資料和收集到的資料的分析，以下國(guó)家被選出來作為分析對(duì)象：Zambia

、the

U.S.、Spain

、Australia

、Thailand

、Brazil

。其中對(duì)美國(guó)和贊比亞做了詳細(xì)的分析。重點(diǎn)講述建立模型，未來50年中，預(yù)測(cè)在沒有任何干預(yù)措施的情況下美國(guó)艾滋病感染者的數(shù)量變化。并對(duì)模型及模型假設(shè)作詳細(xì)的解釋。問題分析預(yù)測(cè)在數(shù)學(xué)上的幾類方法：第一類：分形、灰度、馬爾科夫、時(shí)間序列，適用于短期預(yù)測(cè)，對(duì)歷史數(shù)據(jù)量的要求比較大。第二類：根據(jù)已有大量數(shù)據(jù)用toolbox工具箱畫圖通過對(duì)數(shù)據(jù)的圖像走勢(shì)分析進(jìn)行預(yù)測(cè)，適用于長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，對(duì)歷史數(shù)據(jù)量的要求比較大。第三類：微分方程法適用于短期預(yù)測(cè)和長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，且對(duì)歷史數(shù)據(jù)量要求不高，既可定性又

可定量分析問題，但是對(duì)模型準(zhǔn)確度要

求高，稍有誤差將導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果不準(zhǔn)確。模型假設(shè)(I)模型假設(shè)的基本要求：要求一：恰如其分（不能與常識(shí)公理現(xiàn)有成熟理論相違背）；要求二：要自圓其說（每個(gè)模型都有不足與缺點(diǎn)需要大膽假設(shè)且要在合理假設(shè)下嚴(yán)密論證自己結(jié)論使自己結(jié)論合理化）；要求三：假設(shè)要明確，切不可模棱兩可讓評(píng)委有歧義。模型假設(shè)(II)本題的模型假設(shè)：1、艾滋病人不可能被治愈；2、忽略艾滋病的具體分類；3、艾滋病人喪失大部分常人所具有的能力，如：性能力，所以我們假設(shè)他們不能傳播艾滋?。?、只考慮三種傳播艾滋病的方式：性交傳播，毒品注射傳播，母嬰傳播。忽略其他傳播方式；模型假設(shè)(III)5、我們不考慮吸毒者戒毒的情況，以簡(jiǎn)化艾滋病傳播過程的復(fù)雜度；6、吸毒傳播的渠道只能是從有吸毒習(xí)慣的易感人群中直接轉(zhuǎn)變到有吸毒習(xí)慣的hiv攜帶者；7、不考慮該國(guó)的遷入和遷出人口，因?yàn)檫@些人口相對(duì)于國(guó)家的總?cè)丝谑呛苄〉模员愫?jiǎn)化模型。符號(hào)說明(I)符號(hào)說明的基本要求：確保符號(hào)完整無遺漏；定義準(zhǔn)確無誤；格式優(yōu)美。寫作者可參考往年outstanding文章中符號(hào)說明部分的格式。符號(hào)說明(II)符號(hào) 定義SS1SS1S2HH1H2NAbirthPinfection艾滋病易感人群的數(shù)量；艾滋病易感且不吸毒人群的數(shù)量；艾滋病易感且吸毒人群的數(shù)量；

艾滋病攜帶者數(shù)量;攜帶艾滋病且不吸毒人群的數(shù)量；攜帶艾滋病且吸毒人群的數(shù)量；該國(guó)人口數(shù)量；艾滋病患者的數(shù)量；該國(guó)人口的出生率；艾滋病攜帶者占總?cè)丝诘谋壤?/p>

每人每次性交感染艾滋病的概率；從S1到S2通過毒品注射的轉(zhuǎn)化率；符號(hào)說明(III)符號(hào) 定義S單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)人通過吸毒感染艾滋病的概率；S中的人口的死亡率；

H中的人口的死亡率；

A中人口的自然死亡率；A中艾滋病造成的死亡率；一名艾滋病攜帶者在單位時(shí)間內(nèi)與S人群中的人發(fā)生性交的次數(shù)，一般與總?cè)丝贜有關(guān)。

H中人口占總?cè)说谋壤籗中人口占總?cè)说谋壤?/p>

H到A的轉(zhuǎn)化率；該國(guó)家單位時(shí)間內(nèi)的人口增量；S

2H

2dSdHdA

AC(N)

Hv模型分析(I)模型分析(II)的接觸率稱為有效接觸率，即：CN

。它表示一個(gè)hiv病毒攜帶者傳染他人hiv病毒的能力，反映了

hiv病毒攜帶者的活動(dòng)能力、環(huán)境條件以及hiv病毒的毒力等因素。對(duì)于上圖中各種傳播方式的定量分析：1、艾滋病通過性交的傳播：假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)hiv攜帶者與其他成員的性接觸次數(shù)稱之為性接觸率，它通常依賴于環(huán)境中總成員數(shù)N，記作CN

。如果被接觸者為易感者，就有可能被傳染。假設(shè)每次性接觸傳染的概率為

，我們把賦有傳染概率模型分析(III)但是，只有當(dāng)hiv攜帶者與總成員中的易感者發(fā)生性接觸時(shí)才會(huì)使病毒發(fā)生傳染，與總成員中的其他成員接觸并不會(huì)發(fā)生病毒的傳染（比如其他的hiv攜帶者），易感者在總成員中所占的比例為S/N

。因此，每一個(gè)患者對(duì)易感者的平均有效接觸率應(yīng)為，它就是每一個(gè)hiv攜帶者平均對(duì)易感者的傳播率，簡(jiǎn)稱為傳染率。假設(shè)hiv攜帶者的總數(shù)量為，從而在單位時(shí)間內(nèi)被所有患者傳染

的新成員數(shù)為：N

CN

SN

CN

S

H模型分析(IV)2、艾滋病通過毒品注射的傳播：用

S

2

I

2

表示在單位時(shí)間內(nèi)S2類成員與H2

類成員之間的轉(zhuǎn)化率，則單位時(shí)間內(nèi)從S2類轉(zhuǎn)化到H2類的總數(shù)為：2NS

2

I

2

H

S2無吸毒習(xí)慣的易感人群可以間接向有吸毒習(xí)慣的hiv攜帶者轉(zhuǎn)化，因?yàn)闊o吸毒習(xí)慣的易感人群可以先變?yōu)橛形玖?xí)慣易感人群再變?yōu)橛形玖?xí)慣的hiv攜帶者，用

表示從S1類轉(zhuǎn)變到S2類的轉(zhuǎn)化率則單位時(shí)間內(nèi)從S1類轉(zhuǎn)變到S2類的總數(shù)為:S1

模型分析(V)3、艾滋病通過母嬰的傳播：我們知道如果一位母親是hiv攜帶者那么她的孩子將有百分之30的概率在出生時(shí)已經(jīng)成為hiv攜帶者[China

HIV/AIDS

informationnetwork2006]，用Pinfection表示艾滋病攜帶者占總?cè)丝诘谋壤?，則每年hiv攜帶者自己繁殖出的攜帶者數(shù)量為：birth

N

Pinfection模型建立

dtdA

vH

d

d

H

vHN

dt

vH

d

H

dtdH

dt

dtAAH

Sbirthbirth

AH

22

N

H

S

H

222dH2H

111

Ninfection

12

N

H

S

S1

dS

S2

SdS21

N

H

S1

S

1infectiondS1

CN

S

1

S

1

H1

Np

30%

CN

S

CN

S

1

H1

H

30%

S

d

S

CN

S

1

H

N1

pS2

H2

2

N

2模型求解(I)模型結(jié)果大多用圖來描述，一幅好圖勝過千言萬語。圖的要求：自明。舉例1：fig*

Proportions

of

population

of

each

age

group

of

elephants.模型求解(II)0102030405060604020080100Population

ofeach

age

set70

ageage

0-48age

49-70exponential

fit

1(line

1)exponential

fit

2(line

2)舉例2：Figure

*.

A

exponential

fit

of

the

elephant

population

of

each

age

set.模型求解(III)求解微分方程通常的方法：對(duì)于相對(duì)簡(jiǎn)單的方程，我們通常使用解析法；對(duì)于相對(duì)復(fù)雜的方程，通常使用數(shù)值法。模型求解(IV)本題的方程組比較復(fù)雜，我們使用數(shù)值法求解。求解結(jié)果如下：Figure

5

Population

trends

in

each

group

vs

time

in

U.S.合理性分析(I)對(duì)自己的結(jié)果自圓其說重中之重！技巧：用已有的比較成熟的結(jié)論來佐證自己的結(jié)論。本問題的合理性分析如下：合理性分析(II)在傳染病生物學(xué)中，人們關(guān)心的已感人群和易感人群的變化，在艾滋病傳染模型中，我們關(guān)心的是HIV易感人群和

HIV攜帶者數(shù)量的變化趨勢(shì)。通過研究我們發(fā)現(xiàn)，HIV攜帶者占總?cè)丝诘谋壤S著時(shí)間的變化最后趨于穩(wěn)定，如下圖：Figure

9

The

proportion

of

HIVcarriers

to

the

total

population

of

the

U.S.合理性分析(III)對(duì)于HIV攜帶者來說，自然環(huán)境對(duì)它的承載能力由很多因素決定，比如：易感人群的數(shù)量，總?cè)丝诘臄?shù)量，出生率，死亡率等，其中易感人群的數(shù)量是主要的決定因素．由于HIV攜帶者是由易感者轉(zhuǎn)化來的，所以HIV攜帶者數(shù)量的增長(zhǎng)會(huì)抑制易感人群的增長(zhǎng)。從圖9可以看出，美國(guó)hiv攜帶者的數(shù)量占人群總數(shù)的比例

隨時(shí)間的變化分為兩個(gè)階段：增長(zhǎng)期和穩(wěn)定期．在增長(zhǎng)期中，

該比例隨時(shí)間以羅杰斯迪曲線的形式增加，最后達(dá)到一個(gè)峰值．這是因?yàn)樵谠鲩L(zhǎng)期的前段，環(huán)境承受能力大于HIV攜帶者的數(shù)量，所以ＨＩＶ?jǐn)y帶者數(shù)量以指數(shù)增長(zhǎng)，而在增長(zhǎng)其后段HIV攜帶者的數(shù)量越來越接近環(huán)境的承載能力，所以其增長(zhǎng)速率減慢，以至為０．在穩(wěn)定期，該比例隨時(shí)間以羅杰斯迪曲線的形式減少，最后趨近一個(gè)穩(wěn)定值．合理性分析(IV)這是因?yàn)榉N群數(shù)量超過了環(huán)境的承載能力．但是為什么當(dāng)種群數(shù)量達(dá)到環(huán)境承載能力時(shí)，它不立即停止增長(zhǎng)以至于超過了環(huán)境的承載能力呢？為了對(duì)這個(gè)問題作出解釋，我們引入人口慣性的概念．所謂人口慣性就是人口抵抗自身變化的趨勢(shì)。正是由于人口慣性的存在，當(dāng)群數(shù)量達(dá)到環(huán)境承載能力時(shí)，種群數(shù)量增長(zhǎng)不會(huì)立即停止，而是在一個(gè)穩(wěn)定值周圍以羅杰斯迪曲線的速率來回?cái)[動(dòng)，正如物理學(xué)中波的傳播．圖示如下：1000000.20.4time(year)proportions

of

HIV

carriers

to

total

population150020000.50182000

10000.50190.50190.6

0.502合理性分析(V)0.8

0.5021400

1600

1800

20000.50190.50190.50190.50190.50190.50191800

1850

1900

19500.50190.50190.50190.50192000

1990

1992

1994

1996

1998

20000.50190.50190.50190.5019Figure

10The

curves

of

oscillating

convergence

in

the

stable

phas。合理性分析(VI)由于這種擺動(dòng)的幅度越來越小，所以在穩(wěn)定期的后期，它可以被忽略．這也就是穩(wěn)定期存在的原因．在自然界中實(shí)事也確實(shí)如此，就以羅杰斯地曲線為例當(dāng)種群數(shù)量一開始無論是增長(zhǎng)還是減少的變化率在一開始時(shí)卻都是很慢的，隨后才慢慢增大的，這就好比用一個(gè)外力在拉一個(gè)靜止的物體，物體的速度也是由慢到快增長(zhǎng)的，并且物體的運(yùn)動(dòng)方向是與外力同方向的。那么在種群變化中是誰扮演了外力的角色，我們隊(duì)伍經(jīng)過討論認(rèn)為應(yīng)當(dāng)是環(huán)境能夠承載此物種數(shù)量的上限扮演了這種外力，當(dāng)環(huán)境能夠承載此物種數(shù)量的上限大于物種現(xiàn)有的數(shù)量時(shí)物種的數(shù)量會(huì)增大，環(huán)境能夠承載此物種數(shù)量的上限小于物種現(xiàn)有的數(shù)量時(shí)物種的數(shù)量會(huì)減小。但是按照達(dá)爾文的進(jìn)化理論物種應(yīng)當(dāng)都是希望能夠壯大自己的數(shù)量好保存自己在自然界中競(jìng)爭(zhēng)的實(shí)力，合理性分析(VII)那么為什么物種在有機(jī)會(huì)增大其數(shù)量的時(shí)候卻不愿意是自身的數(shù)量增大呢？這一點(diǎn)似乎與物種數(shù)量具有人口慣性使矛盾的，由于時(shí)間有限在加上這方面相關(guān)的解釋也難以查到，所以很

遺憾論文中不能給出對(duì)于上述問題的回答。任務(wù)2的模型圖示natural

deathnaturaldeathnatural

deathnatural

deathS1HIV/AIDS-prone

peoplewhodonottakedrugsS2HIV/AIDS-prone

peopleH1HIV

carrierswhodonottakedrugsH

2HIV