塑性力學(xué)第三章 應(yīng)力和應(yīng)變

第三章應(yīng)力和應(yīng)變§3.1應(yīng)力分析§3.2應(yīng)變分析§3.1應(yīng)力分析

一、應(yīng)力張量及其分解(1)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)通過一點(diǎn)P的各個面上應(yīng)力狀況的集合——稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)x面的應(yīng)力：y面的應(yīng)力：z面的應(yīng)力：(2)應(yīng)力張量一點(diǎn)

的應(yīng)力狀態(tài)可由九個應(yīng)力分量來描述，這些分量構(gòu)成一個二階對稱張量，稱為應(yīng)力張量。上式中左邊是工程力學(xué)的習(xí)慣寫法，右邊是彈性力學(xué)的習(xí)慣寫法定義：寫法：采用張量下標(biāo)記號的應(yīng)力寫法把坐標(biāo)軸x、y、z分別用x1、x2、x3表示，或簡記為xj(j=1,2,3),(3)斜截面上的應(yīng)力與應(yīng)力張量的關(guān)系在xj坐標(biāo)系中，考慮一個法線為N的斜平面。N是單位向量，其方向作弦為則這個面上的應(yīng)力向量SN的三個分量與應(yīng)力張量之間的關(guān)系采用張量下標(biāo)記號，可簡寫成說明：i）重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)叫做求和下標(biāo)，相當(dāng)于這稱為求和約定；ii）不重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)i叫做自由下標(biāo)，可取i=1,2,3；(4)應(yīng)力張量的分解1.靜水“壓力”：在靜水壓力作用下，應(yīng)力—應(yīng)變間服從彈性規(guī)律，且不會屈服、不會產(chǎn)生塑性變形。應(yīng)力不產(chǎn)生塑性變形的部分產(chǎn)生塑性變形的部分反映靜水“壓力”：2.平均正應(yīng)力：3.應(yīng)力張量的分解：應(yīng)力張量可作如下分解：用張量符號表示：其中：或應(yīng)力球張量——單位球張量——應(yīng)力球張量，它表示各方向承受相同拉（壓）應(yīng)力而沒有剪應(yīng)力的狀態(tài)。應(yīng)力偏張量——應(yīng)力偏張量——與單元體的體積變形有關(guān)說明：材料進(jìn)入塑性后，單元體的體積變形是彈性的，只與應(yīng)力球張量有關(guān)；而與形狀改變有關(guān)的塑性變形則是由應(yīng)力偏張量引起的。應(yīng)力張量的這種分解在塑性力學(xué)中有重要意義。二、主應(yīng)力和應(yīng)力不變量（1）主應(yīng)力1.一點(diǎn)的主應(yīng)力與應(yīng)力主向若某一斜面上，則該斜面上的正應(yīng)力稱為該點(diǎn)一個主應(yīng)力；（2）應(yīng)力主向主應(yīng)力所在的平面——稱為主平面；主應(yīng)力所在平面的法線方向——稱為應(yīng)力主向；根據(jù)主平面的定義，SN與N重合。若SN的大小為，則它在各坐標(biāo)軸上的投影為代入（3-3）式應(yīng)有或即將這個行列式展開得到其中2.應(yīng)力張量的不變量當(dāng)坐標(biāo)軸方向改變時,應(yīng)力張量的分量均將改變,但主應(yīng)力的大小不應(yīng)隨坐標(biāo)軸的選取而改變.因此,方程(3-9)的系數(shù)的值與坐標(biāo)軸的取向無關(guān)，稱為應(yīng)力張量的三個不變量?？梢宰C明方程（3-9）有三個實(shí)根，即三個主應(yīng)力當(dāng)用主應(yīng)力來表示不變量時應(yīng)力偏張量Sij顯然也是一種應(yīng)力狀態(tài)即J1=0的應(yīng)力狀態(tài)。不難證明，它的主軸方向與應(yīng)力主軸方向一致，而主值（稱為主偏應(yīng)力）為：應(yīng)力偏張量也有三個不變量：

其中所應(yīng)力甩偏張姜量的渣第二喝不變鈔量從今制后用釘?shù)米钸b多。再介睬紹它妥的其項(xiàng)他幾角個表櫻達(dá)式絕：在第四章中將看到，在屈服條件中起重要作用。至于可以注意它有這樣的特點(diǎn)：不管的分量多么大，只要有一個主偏應(yīng)力為零，就有。這暗示在屈服條件中不可能起決定作用。

說明皇：三、捐等斜灘面上舍的應(yīng)徒力等斜擴(kuò)面：通過林某點(diǎn)域做平魯面，該平釘面的逆法線嗓與三發(fā)個應(yīng)憲力主永軸夾倉角相足等八面您體面尋：滿足生（3劫-2槳0）荷式的叉面共鏈有八動個，階構(gòu)成讀一個純八面較體，雅如圖飾所示劫。等斜見面常帳也被色叫做渡八面劍體面。若八搭面體眠面上劈燕的應(yīng)默力向美量用F8表示翁，則樣按（嗎3-潤3）執(zhí)式有設(shè)在這一點(diǎn)取坐標(biāo)軸與三個應(yīng)力主軸一致，則等斜面法線的三個方向余弦為八面面體面妨素上丙的正窯應(yīng)力晝?yōu)榘嗣鎽{體面乒素上頓的剪她應(yīng)力懇為說明緊：八面榮體面蝴上的杯應(yīng)力鳥向量姜可分竹解為碗兩個討分量閘：i)垂直于八面體面的分量，即正應(yīng)力，它與應(yīng)力球張量有關(guān)，或者說與有關(guān)；ii)沿八面體面某一切向的分量，即剪應(yīng)力，與應(yīng)力偏張量的第二不變量有關(guān)。四、滲等效塌應(yīng)力1.定義槍：如果假定相等的兩個應(yīng)力狀態(tài)的力學(xué)效應(yīng)相同，那么對一般應(yīng)力狀態(tài)可以定義：——在塑扣性力吼學(xué)中旱稱為應(yīng)力貢強(qiáng)度或等效張應(yīng)力注意例：這槳里的榨“強(qiáng)圾度”射或“伶等效房誠”都因是在前意義拖下衡閱量的2.等效應(yīng)力的特點(diǎn)與空金間坐弱標(biāo)軸斑的選蠅取無朵關(guān)；各正受應(yīng)力席增加貧或減府少同店一數(shù)柴值（瘋也就凝是疊府加一壇個靜欺水應(yīng)侮力狀態(tài)織）時凳數(shù)值善不變耀，即床與應(yīng)供力球抬張量澇無關(guān)閑；

全反號時的數(shù)值不變。3.空間空間指的是以的九個分量為坐標(biāo)軸的九維偏應(yīng)力空間；標(biāo)志著所考察的偏應(yīng)力狀態(tài)與材料未受力（或只受靜水應(yīng)力）狀態(tài)的距離或差別的大小。聯(lián)系疼到（投3-救17?。┦剑浑y枕看出躲代表墊空間薪的中端的廣財義距吵離4.等效番剪應(yīng)凳力聯(lián)系員到（滾3-匯19）式，可知或也可訂以定登義溝,剪應(yīng)巧力強(qiáng)腳度或等效幟剪應(yīng)清力:5.八面艘體剪質(zhì)應(yīng)力六、等縱效應(yīng)培力軍和等封效剪趨應(yīng)力脫之間瞎的換濟(jì)算關(guān)紹系為常：說明中：這些量的引入，使我們有可能把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)化作“等效”（在意義下等效）的單向應(yīng)力狀態(tài)，從而有可能對不同應(yīng)力狀態(tài)的“強(qiáng)度”作出定量的描述和比較。五、三向Mo覽hr圓和Lo混de應(yīng)力群參數(shù)在平面上三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)為直徑端點(diǎn)，可作出三個Mohr圓，如圖3-3.其半徑為：——稱為指主剪屯應(yīng)力——最大僻剪應(yīng)暑力1.三向Mo愁hr圓2.枝Lo頃de應(yīng)力響參數(shù)[分析]由圖挖3-印4可欠見，院若在秒已知震應(yīng)力斃狀態(tài)球上疊加料一個嚇靜水腿壓力呼，其憐效果嗚僅使攝三個Mo虎hr圓一毯起沿堂軸平者移一保個距詢離，該使距離深等于令所疊育加的頑靜水技應(yīng)力嗓，并不來改變Mo完hr圓的阻大小。[結(jié)論]軸的犁位置職與屈稈服及特塑性渣變形少無關(guān)躬，決定縫屈服細(xì)與塑乓性變摸形的嚷只是Mo喪hr圓本身基的大沿小。若將屬軸平尊移到覆，并依使則：移軸宵后的蔑三向Mo楚hr圓正洋是描鏈?zhǔn)鰬?yīng)偵力偏張嫌量的軟三向Mo騾hr圓，認(rèn)如圖撿所示稀。M點(diǎn)是P1P2線段值的中費(fèi)點(diǎn)Lo沃de在1樹92角5年沈引進(jìn)濁的參缺數(shù)Lo為de應(yīng)力董參數(shù)當(dāng)P2點(diǎn)由P3移向P1時，的變化范圍是：下面秘三個竊特殊冤情況宋是常尊用到釀的：i)單向膜拉伸門：ii猴)純剪病切：ii扒i)單向勤壓縮報：只由P1、P2、P3三點(diǎn)的相對位置決定而與坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇無關(guān)，故是描述應(yīng)力偏張量的一個特征值。綜上所述，OO’表示了一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的球張量部分；而以O(shè)’為坐標(biāo)原點(diǎn)的三向Mohr圓（由和所確定）則表示了應(yīng)力的偏張量部分。六、應(yīng)力販空間卷和主曠應(yīng)力羨空間1.應(yīng)力紡空間一點(diǎn)臟的應(yīng)朱力張網(wǎng)量有玻九個染應(yīng)力辜分量捧，以摟它們某為九寬個坐析標(biāo)軸就得懂到假扒想的庸九維細(xì)應(yīng)力更空間遮?？紤]紡到九究個應(yīng)訴力分依量中零只有幻玉六個偵是獨(dú)肝立的其，所寸以又樹可構(gòu)成一什個六縮慧維應(yīng)昏力空悟間來攪描述撓應(yīng)力計狀態(tài)購。一點(diǎn)療的應(yīng)原力狀門態(tài)可億以用撞九維階或六畢維應(yīng)鴉力空柄間中詳?shù)囊粠r個點(diǎn)趴來表啄示。2.主浩應(yīng)力阿空間（Ha晨ig挖h-理We荒st錄er崖ga徹ar緊d空間塊）它是以為坐標(biāo)軸的假想的三維空間，這個空間中的一個點(diǎn)，就確定了用主應(yīng)力所表示的一個應(yīng)力狀態(tài)。2.主觀應(yīng)力鑼空間誼的性擔(dān)質(zhì)L直線削：主鋒應(yīng)力映空間失中過臣原點(diǎn)村并坐耗標(biāo)軸按成等輸角的醉直線絲式。其方程為顯然，L直線上的點(diǎn)代表物體中承受靜水應(yīng)力的點(diǎn)的狀態(tài)，這樣的應(yīng)力狀態(tài)將不產(chǎn)生塑性變形。平面惹：主捷應(yīng)力喪空間神中過閑原點(diǎn)消而與L直線虹垂直兵的平淹面。其方程為由于平面上任一點(diǎn)的平均正應(yīng)力為零，所以平面上的點(diǎn)對應(yīng)于只有應(yīng)力偏張量、不引起體積變形的應(yīng)力狀態(tài)。主應(yīng)繁力空膚間中刮任意漫一點(diǎn)P所確枯定的巡壽向量田總可喝以分儉解為舟：這樣燙任意都應(yīng)力少狀態(tài)和就被鼓分解孕為兩咸部分科，分別厲與應(yīng)籮力球頌張量劣和應(yīng)煉力偏稿張量忍部分對應(yīng)減。小結(jié)物體繞內(nèi)一既點(diǎn)的噸應(yīng)力窯狀態(tài)吳用應(yīng)網(wǎng)力張?jiān)┝棵韫蚴?，土它又罷可分落解為間應(yīng)力球張擦量和煉應(yīng)力燈偏張撥量兩千個部腦分。塑性類變形煎只與勉應(yīng)力丸偏張絹量有命關(guān)。三向Mo項(xiàng)hr應(yīng)力翠圓和欄主應(yīng)膠力空娛間為抹應(yīng)力若張量吼的分掙解提才供了道幾何形象歪和數(shù)膊學(xué)工罵具。這樣變?nèi)∫У哪坷p的是介使炮構(gòu)成坐一個宅二階嗽對稱逼張量住，抗即應(yīng)變莫張量仆?！?傲.2屈應(yīng)散變分煌析一、憂位移撤與應(yīng)劃變的槐關(guān)系1.Ca豎uc炸hy公式其中蚊與工貞程剪問應(yīng)變彎相差寫一半堤，即張量艦記法大:以記,以記。

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