第五章5 2三角函數(shù)概念課時(shí)

第五章三角函數(shù)高中快車道成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，永不過期5.2

三角函數(shù)的概念課時(shí)5

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系高中快車道教學(xué)目標(biāo)經(jīng)歷同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的探索、發(fā)現(xiàn)過程,能運(yùn)用任意角的三角函數(shù)的定義加以證明.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的結(jié)構(gòu)特征,體會(huì)同一個(gè)角的三個(gè)不同三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系.掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系在求解三角函數(shù)式的化簡、求值和證明等方面的問題中的應(yīng)用.學(xué)習(xí)目標(biāo)課程目標(biāo)學(xué)科核心素養(yǎng)利用單位圓和任意角的三角函數(shù)的定義推導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系在探索、發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)同角三角函數(shù)基本關(guān)系的過程中,培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的結(jié)構(gòu)特征,體會(huì)同一個(gè)角的三個(gè)三角函數(shù)間的關(guān)系在理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的結(jié)構(gòu)特征的過程中,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系在三角函數(shù)式的化簡、求值和證明等問題中的應(yīng)用在運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解題的過程中,培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)情境導(dǎo)學(xué)如圖1是寧夏沙坡頭景區(qū)黃河索道，滑索總長800

m，滑索的高低落差54

m，滑索的起始點(diǎn)建在高度為72

m、傾斜角為60°的沙坡頭頂端，沙坡頭斜面長200

m．我們?cè)O(shè)滑索起始點(diǎn)為A，在對(duì)岸的落點(diǎn)為B，沙坡頭山腳點(diǎn)為C，山頂在地面的垂直投影點(diǎn)為D，可得圖2.圖1要想知道飛躍處的黃河寬度(CH)，只須求出cosβ的值，由余弦定義可求得EB(DH)，進(jìn)而可求黃河寬CH.由已知AD＝72，AE＝54，AB＝800，易得sin

β＝????＝

????

，而能否由sin

β求得cos

β，是我們繼續(xù)????

??????求解本題的關(guān)鍵．為此，我們需要研究sin

β與cos

β之間的關(guān)系．圖2初探新知【活動(dòng)1

】利用單位圓，結(jié)合三角函數(shù)的定義探究同三角函數(shù)基本關(guān)系【問題1】你能從點(diǎn)的坐標(biāo)、角的三個(gè)三角函數(shù)值的代數(shù)結(jié)構(gòu)上發(fā)現(xiàn)同角的三個(gè)三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系嗎？【問題2】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系還有哪些變形形式？【問題3】該關(guān)系式是否對(duì)任意角α均成立？【活動(dòng)2

】由終邊上任意一點(diǎn)坐標(biāo)探究同角三角函數(shù)的基本關(guān)系【問題4】若已知角終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，那么同角三角函數(shù)的基本關(guān)系是否依然成立？【問題5】請(qǐng)你證明上述結(jié)論．【活動(dòng)3

】探究同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用【問題6】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的主要作用是什么?【問題7】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的特點(diǎn)和運(yùn)用的前提條件是什么?典例精析??【例1】已知tan

α＝??，求sinα和cosα的值.??【解】由tan

α>0，所以α為第一象限或第三象限角．由tan

α＝??得cos??α＝2sin

α.由 cos

α＝2sin

α，sin2α＋cos2α＝1，得sin

2α＝??.??當(dāng)α為第一象限角時(shí)，sin

α>0，sin

α＝

??；當(dāng)α為第三象限角時(shí)，sin

α<0，sin

α＝－

??.cosα=-

??

?

??????????=-??

??.??

??【方法規(guī)律】已知角α的某一三角函數(shù)值求角α的其他三角函數(shù)值時(shí)，要根據(jù)已知條件靈活選擇基本關(guān)系式求解計(jì)算．當(dāng)角α的終邊所在象限不明確時(shí)，要數(shù)形結(jié)合，分類討論．所得結(jié)論要根據(jù)角α的終邊所在象限的具體情形一一列出．??【變式訓(xùn)練1】若θ為第二象限角，tan

θ＝－??，則sin

θ＋cos

θ＝

－

．105【解】??

??

??【例2】已知－??<x<??，sin

x＋cos

x＝??.求??????

??

??????

???????????

??的值；?????????

??求sin

x－cos

x的值．思路點(diǎn)撥：觀察式子的代數(shù)結(jié)構(gòu)，靈活利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換?！窘狻俊痉椒ㄒ?guī)律】利用sin2α+cos2α=1可實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化,開方時(shí)要根據(jù)角α所在象限確定符號(hào);利用=tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化.應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用:對(duì)于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα這三個(gè)式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二.注意公式逆用及變形應(yīng)用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.【變式訓(xùn)練2】(多選)已知θ∈(0，π)，sin

θ＋cos

θ＝－????，則下列結(jié)論中正確的是A(CD

)A.

θ∈（??，π） B.

cos

θ＝－????

??C.

tan

θ＝－??

D.

sin

θ－cos

θ＝????

??【解】【例3】已知tan

α＝2，求下列各式的值：(1)????????

?????

??????

??

；??

???????????

??????

??(2)??????????

?????

??????

????

；??

??????

???????

????????

??(3)4sin2α－3sinαcos

α－5cos2α.思路點(diǎn)撥

注意到所求式子都是關(guān)于sinα，cosα的分式齊次式(或可化為分式齊次式)，可將分子、分母同除以cos

α的整數(shù)次冪，把所求值的式子用tan

α表示，再將tan

α＝2代入求其值．【解】

(1)????????

?????

??????

??

＝??

??????

?????＝??

×?????＝－1.??

???????????

??????

??

??

??????

?????

??×?????(2)??????????

?????

??????

????

＝??

????????

?????＝??

×?????＝??.??

?????????????????????

??

??

????????

????? ??

×?????

??(3)sin2α＋cos2α＝1，則有4sin2α－3sinαcos

α－5cos2α＝??????????

?????

??????

??

??????

?????

??????

????＝??

????????

?????

??????

?????＝??×?????×?????＝1.??????

?????????????

?? ????????

?????

?????【方法規(guī)律】已知tanα，求關(guān)于sin

α和cos

α齊次式的值的基本方法：??

??????

?????

????????(1)形如????????

?????

??????

??

的分式，可將分子、分母同時(shí)除以cos

α；形如??????????

?????

??????

??

??????

?????

??????

????的分式，可將分子、分母同時(shí)除以cos2α，將正、??????????

?????

??????

??

??????

?????

??????

????余弦轉(zhuǎn)化為正切，從而求值．(2)形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子，可將其看成分母為1的分式，再將分母1變形為sin2α＋cos2α，轉(zhuǎn)化為形如??????????

?????

??????

??

??????

???????????

????的分式求解．??????

?????????????

????????

?????????

【變式訓(xùn)練3】已知??????

?????????

??＝2，求下列各式的值：??

??????

?????????(1)

tan

α；(2)

????????

?????????

??

；(3)

2sin2α－3sinαcos

α.【解】（備選例題）[2020·湖北省武漢市新洲區(qū)第一中學(xué)高一期末]在平??面直角坐標(biāo)系xOy中,以x軸非負(fù)半軸為始邊作角α∈（0，??）,β∈??（??，??）,它們的終邊分別與單位圓相交于A,B兩點(diǎn),已知點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為

??,-??

??.????

??(1)求3sin2α-sinαcosα+1的值;(2)化簡并求cosβ??????????????????????的值.【解】【方法規(guī)律】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和任意角的三角函數(shù)的定義求值或化簡時(shí),關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系,靈活地使用公式進(jìn)行變形,解題注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響,防止因符號(hào)而造成解題差錯(cuò).課堂反思1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識(shí)？2.你認(rèn)為本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)是什么？隨堂演練1.已知α是第二象限角，sin

α＝??????，則cos

α的值為()A.

－????

B.????—

????????C.

D.????

?????????? ??????

?????????????

??2.已知tan

α＝－??，則

??

的值為()A.????B.－??????C.D.??

????????

????AB3.(多選)若α是第二象限角，則下列各式中成立的有()A. tanα＝－??????????????

??1

?

2

??????

??

??????

??＝sin

α－cosαcos

α＝－

1

?

??????