線性代數(shù)考試題庫及答案(三)

線性代數(shù)考試題庫及答案第六章二次型一、單項(xiàng)選擇題n階對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是()。(a)|A|0(b)存在階陣C,使ACtC(c)負(fù)慣性指數(shù)為零(d)各階順序主子式為正設(shè)A為n階方陣，則下列結(jié)論正確的是()。A必與一對(duì)角陣合同若A的所有順序主子式為正，則正定若A與正定陣B合同，則A正定若A與一對(duì)角陣相似，則A必與一對(duì)角陣合同3.設(shè)A為正定矩陣，則下列結(jié)論不正確的是()。(a)A可逆(b)Ai正定(c)A的所有元素為正(d)任給X(x,x,,x)t0,均有XtAX04.方陣A正定的充要條件是()。12n(b)A1是正定陣；(d)AAt是正定陣。(a)A的各階順序主子式為正；(c)A的所有特征值均大于零；5.下列f(x,y,z)為二次型的是((a)ax2by2cz2(c)axybyzcxzdxyz)。(b)(d)axax2by2bxyczczx26.設(shè)A、B為n階方陣，X(x,1條件是()。(a)r(A)r(B)(c)BtBx2,b).(d),x)tnAtAt，且XAA,tAXXtBX則A=B的充要BtB,7.正定二次型f(x,x,x,x)的矩陣為入，則()必成立.1234(a)A的所有順序主子式為非負(fù)數(shù)b)A的所有特征值為非負(fù)數(shù)(c)A的所有順序主子式大于零(d)A的所有特征值互不相同8.設(shè)A,B為n階矩陣，若()(a).存在n階可逆矩陣P,Q且PAQ則A與B合同.b)存在(a)A的所有順序主子式為非負(fù)數(shù)b)A的所有特征值為非負(fù)數(shù)(c)A的所有順序主子式大于零(d)A的所有特征值互不相同8.設(shè)A,B為n階矩陣，若()(a).存在n階可逆矩陣P,Q且PAQ則A與B合同.b)存在n階可逆矩陣P，且P1AP(c)存在n階正交矩陣Q，且Q1AQ存在n階方陣C,T,且CATB(d)9.下列矩陣中，不是二次型矩陣的為

..0(a).00(b)3(c)02(d)10.下列矩陣中是正定矩陣的為(a)2334b)3426(c)(d)11.已知A是一個(gè)三階實(shí)對(duì)稱且正定的矩陣-1,3; (c)2,(a)3,i,-1;b)2,那么A的特征值可能是( )i,4;(d)1,3,4二、填空題二次型f(x,x,x,)123二次型f(x,x)x2x121226xx122xx2x2的秩為33-3x2的矩陣為2-TOC\o"1-5"\h\z104設(shè)A220,則二次型fXtAX的矩陣為。3若f(x,x,x)2x2X2X22xxtxx正定，則t的取值范圍是。12312312235.設(shè)A為n階負(fù)定矩陣，則對(duì)任何X(x,x,,x)T0均有12nXTax。6.任何一個(gè)二次型的矩陣都能與一個(gè)對(duì)角陣。1107.設(shè)A1a0是正定矩陣，則a滿足條件.00a2TOC\o"1-5"\h\z設(shè)實(shí)二次型f(x,x,x)x22xx2x2ax2則當(dāng)a的取值為時(shí),12311223—二次型f(x,x,x)是正定的。123二次型f(x,x)xx的負(fù)慣性指數(shù)是。121213x二次型(x,x)^1的矩陣為。1212x2三、計(jì)算題求一個(gè)非退化的線性變換，將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型。1)f(x,x,x)x22xx2xx2x24xxx21231121322332)f(x,x,x)2xx4xx2x22xx12312132232110112.設(shè)A101,B121,求非奇異矩陣C,使ACtBC。1101103.用配方法化二次型f(x,x,x)xxxx為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相應(yīng)的滿秩線性1231213變換4.求非奇異矩陣P,使P1AP為對(duì)角陣.四、證明題1.已知二次型f(x,x,x)xt1.已知二次型f(x,x,x)xtAx在正交變換x1 2 3Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為y《y;且Q的第3列為#,0(I)求矩陣(I)求矩陣A; (II)證明A設(shè)A、B為同階正定矩陣，，E為正定矩陣，其中E為3階單位矩陣.0,求證AB也是正定矩陣。3.設(shè)A,B是同階正定矩陣，試證A+B也是正定矩陣。第六章參考答案單項(xiàng)選擇題1.(d)2.(c)3.(c)4.(b)5.(a)6.(d)7.(c)8.(c)9.(d)10.(c)11.(d)1.(d)2.(c)3.(c)4.(b)5.(a)6.(d)7.(c)8.(c)9.(d)10.(c)11.(d)填空題1.2.3.4.1.2.3.4.5.06.合同7.a8.a9.110.11022、計(jì)算題1.x1y1y21)xyy223xy33xyy1122)xyy212xy33010100,001xy11解：令xy21xyy32.3.即y2332y34.四、1.則:f(X1W1令w2W3即X證明題,泌)+y22+y22使f（Xrx2-IVV)2231+12即Y011W001：）W2+W2314211321112234+y)223十y23解：由題意A的特征值為J2J2丁1,1,0且r_,