專題10-15 用二元一次方程組解決問題（鞏固篇）（專項練習(xí)）-2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練（蘇科版）

專題10.15用二元一次方程組解決問題（鞏固篇）（專項練習(xí)）一、單選題1．在解方程組時，一同學(xué)把c看錯而得到，正確的解應(yīng)是，那么的值是（

）A．不能確定 B．－3 C．－1 D．12．方程組有正整數(shù)解，則整數(shù)k的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．13．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題，原文為：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)，物價各幾何？意思是：現(xiàn)有幾個人共同購買一件物品，每人出8錢，則多3錢；每人出7錢，則差4錢，求物品的價格和共同購買該物品的人數(shù)．設(shè)該物品的價格是x錢，共同購買該物品的有y人，則根據(jù)題意，列出的方程組是（

）A． B． C． D．4．為迎接2022年北京冬奧會，清華附中初二級部開展了以“綠色冬奧，人文冬奧，科技冬奧”為主題的演講比賽，計劃拿出240元錢全部用于購買獎品，獎勵優(yōu)勝者，已知一等獎品每件15元，二等獎品每件10元，則兩種獎項齊全的購買方案有（

）A．6種 B．7種 C．8種 D．9種5．在一塊a公頃的稻田上插秧，如果10個人插秧，要用m天完成；如果一臺插秧機(jī)工作，要比10個人插秧提前3天完成，一臺插秧機(jī)的工作效率是一個人工作效率的（）倍．A． B． C． D．6．六年前，A的年齡是B的年齡的3倍，現(xiàn)在A的年齡是B的年齡的2倍，A現(xiàn)在的年齡是()．A．12歲 B．18歲 C．24歲 D．30歲7．2022北京殘奧會已于3月13日閉幕，北京冬（殘）奧會吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”贏得了廣大網(wǎng)友的喜愛王老師想要購買兩種吉祥物玩偶作為本次冬奧會的紀(jì)念品，已知購買1件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需95元，購買3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元，玩偶“冰墩墩”、“雪容融”的單價分別為________元．A．55，40 B．50，45 C．125，135 D．25，308．如圖，在長為15，寬為12的矩形中，有形狀、大小完全相同的5個小矩形，則圖中陰影部分的面積為（

）A．35 B．45 C．55 D．659．咖啡A與咖啡B以之比（以質(zhì)量計）混合，A的原價為50元/kg，B的原價為40元/kg．若A的價格增加，而B的價格減少，且混合咖啡每千克的價格不變，則等于（

）A． B． C． D．10．《九章算術(shù)》中記載這樣一個問題：“以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺．問繩長、井深各幾何？”題意是：用繩子測量水井深度，如果將繩子折成三等份，那么每等份井外余繩四尺；如果將繩子折成四等份，那么每等份井外余繩一尺．問繩長和井深各多少尺？若設(shè)繩長、井深分別為x、y尺，則符合題意的方程組是（）A． B． C． D．二、填空題11．若與互為相反數(shù)，則的值為_______.12．已知方程組和的解相同，則______．13．一次越野賽跑中，當(dāng)小明跑了時，小剛跑了．此后兩人分別以和勻速跑．又過小剛追上小明，時小剛到達(dá)終點(diǎn)，時小明到達(dá)終點(diǎn)．這次越野賽跑的全程為_______．14．一個兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字的和是，把這個兩位數(shù)加上后，結(jié)果恰好成為數(shù)字對調(diào)后組成的兩位數(shù)，設(shè)這兩個數(shù)的十位數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，根據(jù)題意列得方程組_______．15．某車間有名工人，每人平均每天可加工螺栓個或螺母個，要使每天加工的螺栓和螺母配套（1個螺栓配2個螺母），設(shè)應(yīng)分配x人生產(chǎn)螺母，y人生產(chǎn)螺栓，依題意列方程組得_______．16．在一個的方格中填寫9個數(shù)字，使得每行每列每條對角線上的三個數(shù)之和相等，得到的的方格稱為一個三階幻方．如圖，方格中填寫了一些數(shù)和字母，為使該方格構(gòu)成一個三階幻方，則的值是______．17．如圖，將正方形ABCD的一角折疊，折痕為AE，點(diǎn)B恰好落在點(diǎn)處，∠AD比∠BAE大45°．設(shè)∠BAE和∠AD的度數(shù)分別為x°和y°，那么所適合的一個方程組是_____．18．如圖，小強(qiáng)和小紅一起搭積木，小強(qiáng)所搭的“小塔”的高度為23cm，小紅所搭的“小樹”的高度為22cm，設(shè)每塊A型積木的高為xcm，每塊B型積木的高為ycm，則x=__________，y=__________．三、解答題19．下面是馬小虎同學(xué)解二元一次方程組的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解方程組：解：①×2，得……③

第一步②－③，得

第二步．

第三步將代入①，得．

第四步所以，原方程組的解為

第五步這種求解二元一次方程組的方法叫做法，以上求解步驟中，馬小虎同學(xué)第步開始出現(xiàn)錯誤．請寫出此題正確的解答過程．20．已知關(guān)于x、y的方程組；(1)請寫出方程的所有正整數(shù)解；(2)若方程組的解滿足，求m的值；(3)當(dāng)m每取一個值時，就對應(yīng)一個方程，而這些方程有一個公共解，你能求出這個公共解嗎；(4)如果方程組有整數(shù)解，求整數(shù)m的解．21．隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具，某汽車4S店計劃購進(jìn)一批新能源汽車進(jìn)行銷售．據(jù)了解，購進(jìn)3輛A型新能源汽車、2輛B型新能源汽車的共需95萬元；購進(jìn)4輛A型新能源汽車、1輛B型新能源汽車的共需110萬元．(1)問A、B兩種型號的新能源汽車每輛進(jìn)價分別為多少萬元？(2)若該公司計劃正好用250萬元購進(jìn)以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均購買），銷售1輛A型汽車可獲利1.2元，銷售1輛B型汽車可獲利0.8元，假如這些新能源汽車全部售出，問該公司的共有幾種購買方案？最大利潤是多少元？22．某縣在創(chuàng)建省級衛(wèi)生文明縣城中，對縣城內(nèi)的河道進(jìn)行整治.現(xiàn)有一段長為米的河道整治任務(wù)由甲、乙兩個工程隊先后接力完成.甲工程隊每天整治8米，乙工程隊每天整治米，共用時天.(1)小明、小華兩位同學(xué)提出解題思路如下：小明同學(xué)：設(shè)整治任務(wù)完成后甲工程隊整治河道米，乙工程隊整治河道米.根據(jù)題意，得小華同學(xué)：設(shè)整治任務(wù)完成后，表示________，表示________；得請你補(bǔ)全小明、小華兩位同學(xué)的解題思路.求甲、乙兩工程隊分別整治河道多少米？請從中任選一個方程組求解.（寫出完整的解答過程）23．平價商場經(jīng)銷甲、乙兩種商品，甲種商品每件售價60元，利潤率為50%；乙種商品每件進(jìn)價50元，售價80元．(1)甲種商品每件進(jìn)價為______元，每件乙種商品所賺利潤______元；(2)若該商場進(jìn)貨時同時購進(jìn)甲、乙兩種商品共62件，恰好總進(jìn)價為2600元，求購進(jìn)甲、乙商品各多少件？如果這些商品全部出售，商場共獲利多少元？(3)在“五一”期間，該商場只對甲、乙兩種商品進(jìn)行如下的優(yōu)惠促銷活動：打折前一次性購物總金額優(yōu)惠措施少于等于450不優(yōu)惠超過450，但不超過600按打九折超過600其中600部分八點(diǎn)二折優(yōu)惠，超過600的部分打三折優(yōu)惠按上述優(yōu)惠條件，若小華一次性購買乙種商品實(shí)際付款504元，求小華在商場購買乙種商品多少件？24．小明家需要用鋼管做防盜窗，按設(shè)計要求，其中需要長為0.8米的鋼管100根，還需要長為2.5米的鋼管32根，兩種長度的鋼管粗細(xì)必須相同；并要求這些用料不能是焊接而成的．經(jīng)市場調(diào)查，鋼材市場中符合這種規(guī)格的鋼管每根長均為6米．（1）試問：把一根長為6米的鋼管進(jìn)行裁剪，有下面幾種方法，請完成填空(余料作廢)．方法①：只裁成為0.8米的用料時，最多可裁7根；方法②：先裁下1根2.5米長的用料，余下部分最多能裁成為0.8米長的用料根；方法③：先裁下2根2.5米長的用料，余下部分最多能裁成為0.8米長的用料1根．（2）分別用（1）中的方法②和方法③各裁剪多少根6米長的鋼管，才能剛好得到所需要的相應(yīng)數(shù)量的材料；（3）試探究：除（2）中方案外，在（1）中還有哪兩種方法聯(lián)合，所需要6米長的鋼管與（2）中根數(shù)相同．參考答案1．D【分析】將錯解代入得到a與b的關(guān)系式，再由正確解求出c，聯(lián)立方程即可求得a、b進(jìn)而得出答案．解：將x=-2，y=2代入ax-by=2，可得：-2a-2b=2，∵正確的解為x=3，y=2，∴，解得c=-2，聯(lián)立，解得，∴a+b-c=0-1+2=1，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組，解題關(guān)鍵在于分析題意，聯(lián)立方程組，解出答案．2．B【分析】利用加減法得到，再由方程組有正整數(shù)解，可確定k+2=4或k+2=2或k+2=1，求出k的值即可．解：，①-②得，（k+2）y=6-k，解得，∵方程組有正整數(shù)解，∴k+2=4或k+2=2或k+2=1，解得k=2或k=0或k=-1，∴整數(shù)k有3個，故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查了二元一次方程組的整數(shù)解問題，熟練掌握二元一次方程組的解法，分?jǐn)?shù)取整數(shù)的條件是解題的關(guān)鍵．3．A【分析】根據(jù)“現(xiàn)有幾個人共同購買一件物品，每人出8錢，則多3錢；每人出7錢，則差4錢”可得方程組．解：設(shè)該物品的價格是x錢，共同購買該物品的有y人，則列方程組為，故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，由實(shí)際問題列方程組是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系．4．B【分析】設(shè)購買x件一等獎品，y件二等獎品，由題意：現(xiàn)計劃拿出240元錢全部用于購買獎品，已知一等獎品每件15元，二等獎品每件10元，列出二元一次方程，求出正整數(shù)解即可．解：設(shè)購買x件一等獎品，y件二等獎品，由題意得：15x+10y=240，∴，又∵x，y均為正整數(shù)，∴或或或或或或，∴購買方案有7種，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．5．C【分析】本題可利用工作總量作為相等關(guān)系，借助方程解題．解：設(shè)一臺插秧機(jī)的工作效率為x，一個人工作效率為y．則10my=（m﹣3）x．∴．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了列代數(shù)式的知識，列代數(shù)式的關(guān)鍵是正確理解文字語言中的關(guān)鍵詞，找到其中的數(shù)量關(guān)系，工程問題要有“工作效率”，“工作時間”，“工作總量”三個要素，數(shù)量關(guān)系為：工作效率×工作時間=工作總量．6．C解：設(shè)A現(xiàn)在的年齡是x歲，B是y歲．根據(jù)題意得：，解得：．故選C．7．A【分析】設(shè)“冰墩墩”的單價為x元，“雪容融”的單價為y元，根據(jù)等量關(guān)系“購買1件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需95元，購買3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元”列出二元一次方程組求解即可．解：設(shè)“冰墩墩”的單價為x元/件，“雪容融”的單價為y元/件，由題意，得

解得答：“冰墩墩”的單價為55元/件，“雪容融”的單價為40元/件．【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，審清題意、找準(zhǔn)等量關(guān)系、正確列出二元一次方程組是解答本題的關(guān)鍵．8．B【分析】設(shè)小長方形的長為x，寬為y，觀察圖形可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可求出x、y的值，再利用陰影部分的面積＝大矩形的面積?5×小矩形的面積，即可求出結(jié)論．解：設(shè)小矩形的長為x，寬為y，根據(jù)題意得：，解得：，∴＝15×12?5xy＝45．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．9．C【分析】根據(jù)題意首先求得原咖啡的價格；如果A的價格增加10%，B的價格減少15%，此時咖啡的價格再根據(jù)混合咖啡的價格保持不變，即原咖啡的價格＝此時咖啡的價格．即可求得x：y的值．解：根據(jù)題意得化簡得50x+40y＝55x+34y∴x：y＝6：5故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是明白元咖啡的價格計算方法與調(diào)整A、B價格后混合咖啡價格的計算方法，列出等式方程．10．C【分析】設(shè)繩長為x尺，根據(jù)水井的深度不變，得出關(guān)于x的一元一次方程即可解答．解：若設(shè)繩長、井深分別為x、y尺，則符合題意的方程組是，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題關(guān)鍵．11．－1【分析】由題意可得關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組得到a、b的值，然后可以得解．解：由題意，得，∴，解得：a=1，b=2，∴，故答案為：－1．【點(diǎn)撥】本題考查二元一次方程組的綜合應(yīng)用，熟練掌握二元一次方程組的解法、相反數(shù)的定義及絕對值和平方數(shù)的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．12．3【分析】根據(jù)題意，兩個方程組解相同，則可將x-2y=1和x-y=2聯(lián)立，解出x和y的值，再將x和y的值代入求出m和n的值，隨后即可求出2m-n的值．解：∵方程組和的解相同，∴將x-2y=1和x-y=2聯(lián)立得：，解得：，將

代入得：，∴2m-n=2×4-5=3，故答案為：3【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次方程得解和解一元二次方程，掌握消元得思想，熟練地掌握解二元一次方程組的方法是解題的關(guān)鍵．13．2050【分析】根據(jù)兩人的全程的距離相同可得出，再由當(dāng)小明跑了時，小剛跑了．此后兩人分別以和勻速跑．又過時小剛追上小明，可以得到，解方程求出a、b的值，由此求解即可．解：解：根據(jù)題意，得，解得：所以m故答案為：2050【點(diǎn)撥】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確根據(jù)題意列出方程求解．14．【分析】根據(jù)關(guān)鍵語句“十位數(shù)字與個位數(shù)字的和是7”可得方程，十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，則這個兩位數(shù)是，對調(diào)后組成的兩位數(shù)是，根據(jù)關(guān)鍵語句“這個兩位數(shù)加上45，則恰好成為個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后組成的兩位數(shù)”可得方程，聯(lián)立兩個方程即可得到答案．解：設(shè)這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，根據(jù)題意得：，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題意，抓住關(guān)鍵語句，列出方程．15．【分析】根據(jù)車間有名工人，每人平均每天可加工螺栓個或螺母個，要使每天加工的螺栓和螺母配套（1個螺栓配2個螺母），即可列出二元一次方程組．解：設(shè)應(yīng)分配x人生產(chǎn)螺母，y人生產(chǎn)螺栓，依題意，得．故答案是：．【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意，正確列出二元一次方程組是解決本題的關(guān)鍵．16．27【分析】根據(jù)題意可得關(guān)于x、y的方程，繼而進(jìn)行求解即可得答案．解：根據(jù)題意可得：解得，∴，故答案為：27．【點(diǎn)撥】本題考查了三階幻方，涉及方程，移項等知識，弄清題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．17．【分析】根據(jù)將正方形ABCD的一角折疊，折痕為AE，∠AD比∠BAE大45°以及∠DAB為直角可列出方程組．解：根據(jù)題意可得：．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，以及翻折變換的問題，關(guān)鍵知道正方形的四個角都是直角．18．

4

5解：根據(jù)小強(qiáng)搭的積木的高度=A的高度×2+B的高度×3，小紅搭的積木的高度=A的高度×3+B的高度×2，依兩個等量關(guān)系列出方程組，解得．故答案為：4和5．【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是看清圖形的意思，找出等量關(guān)系列方程組求解．19．(1)加減消元法，第四步 (2)見分析【分析】（1）根據(jù)解方程組的特點(diǎn)判斷，注意系數(shù)化為1時的計算．（2）按照解方程組的步驟求解即可解：（1）根據(jù)解題步驟分析，這種求解方程組的方法是加減消元法，在第四步系數(shù)化為1時，出錯，故答案為：加減消元法，第四步．（2）方程組：解：①×2，得……③

，②－③，得，解得．

將代入①，得3．解得x=．所以，原方程組的解為．【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的解法，熟練掌握方程組的解法是解題的關(guān)鍵．20．(1)，； (2)m=?； (3)公共解為； (4)整數(shù)m的值為-2或-4或-10或4．【分析】（1）確定出方程的正整數(shù)解即可；（2）已知方程與方程組第一個方程聯(lián)立求出x與y的值，進(jìn)而求出m的值；（3）方程變形后，確定出公共解即可；（4）根據(jù)方程組有整數(shù)解，確定出整數(shù)m的值即可．（1）解：方程x+2y=6整理得y=3-，∴方程x+2y=6的正整數(shù)解有：，；（2）解：將x+2y=6記作①，x+y=0記作②，由②，得x=-y，將x=-y代入①，得-y+2y=6，解得y=6，∴x=-6，∴2×（-6）-2×6-6m=8．解得，m=?；（3）解：2x-2y+mx=8變形得：（2+m）x-2y=8，令x=0，得y=-4，∴無論m取如何值，都是方程2x-2y+mx=8的解，∴公共解為；（4）解：，①+②得，3x+mx=14，∴x=，由（1）得y=3-，∵方程組有整數(shù)解，且m是整數(shù)，x是偶數(shù)，∴3+m=±1，3+m=±7，∴m=-2或-4；m=4或-10．此時m=-2，-4，4，-10．當(dāng)m=-2時，x=14，y=-4，符合題意；當(dāng)m=-4時，x=-14，y=10，符合題意；當(dāng)m=-10時，x=-2，y=4，符合題意，當(dāng)m=4時，x=2，y=2，符合題意，綜上，整數(shù)m的值為-2或-4或-10或4．【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用加減消元法．21．(1)兩種型號的汽車每輛進(jìn)價分別為25萬元、10萬元 (2)最大利潤為萬元【分析】（1）設(shè)A種型號的汽車每輛進(jìn)價為萬元，種型號的汽車每輛進(jìn)價為萬元，根據(jù)購進(jìn)3輛A型新能源汽車總價輛B型新能源汽車總價萬元；購進(jìn)4輛A型新能源汽車總價輛B型新能源汽車的總價萬元，列出方程組，解方程組即可；（2）設(shè)購買A型號的汽車輛，種型號的汽車輛，根據(jù)題意得出，根據(jù)m、n為正整數(shù)，求出方程的解，再分別算出各種方案獲得的利潤，進(jìn)行比較即可得出最大利潤．（1）解：設(shè)A種型號的汽車每輛進(jìn)價為萬元，種型號的汽車每輛進(jìn)價為萬元，由題意可得:，解得:，答：兩種型號的汽車每輛進(jìn)價分別為25萬元、10萬元（2）解：設(shè)購買A型號的汽車輛，種型號的汽車輛，由題意可得且的正整數(shù)，解得：或或或，該公司共有四種購買方案，當(dāng)時,獲得的利潤為:(萬元)，當(dāng)時,獲得的利潤為:(萬元)，當(dāng)時,獲得的利潤為:(萬元)，當(dāng)時,獲得的利潤為:(萬元)，由上可得,最大利潤為萬元．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二元一次方程組和二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程，準(zhǔn)確計算．22．(1)180，，，甲工程隊整治河道用的天數(shù)，乙工程隊整治河道用時的天數(shù)； (2)甲工程隊整治河道120米，乙工程隊整治河道60米【分析】（1）根據(jù)所列式子可知，小華同學(xué)所列方程組中未知數(shù)為：設(shè)整治任務(wù)完成后甲工程隊整治河道x米，乙工程隊整治河道y米；小華同學(xué)所列方程組中未知數(shù)為：設(shè)整治任務(wù)完成后，m表示甲工程隊整治河道用的天數(shù)，n表示乙工程隊整治河道用的天數(shù)，據(jù)此補(bǔ)全方程組即可；（2）選小明同學(xué)所列方程組解答即可．（1）解：小明、小華兩位同學(xué)提出的解題思路如下：小明同學(xué)：設(shè)整治任務(wù)完成后甲工程隊整治河道x米，乙工程隊整治河道y米．根據(jù)題意得，小華同學(xué)：設(shè)整治任務(wù)完成后，m表示甲工程隊整治河道用的天數(shù)，n表示乙工程隊整治河道用時的天數(shù)；得，故答案為：，，，甲工程隊整治河道用的天數(shù)，乙工程隊整治河道用時的天數(shù),；（2）解：選小明同學(xué)所列方程組解答如下：設(shè)整治任務(wù)完成后甲工程隊整治河道x米，乙工程隊整治河道y米．由題意得：，②整理得：③，③-①×2得：，把代入①得：，方程組的解為，答：甲工程隊整治河道120米，乙工程隊整治河道60米．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．23．(1)40，30 (2)購進(jìn)甲商品50件，購進(jìn)乙商品12件，全部出售，商場共獲利1360元．