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文檔簡介
2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題
1.如圖,AB是。。的直徑,AB=4,點P是AB上方圓上的一個動點,連接4P,作/力8
的平分線AC,交。。于點C,過點C作CDLA尸交AP的延長線于點D
(1)求證:CD是的切線;
(2)當(dāng)AP=2時,四邊形APCO是平行四邊形;
(3)連接OP交AC于點M,連接CP,當(dāng)AP=2或時,ACDP與△AOM相似.
解:⑴如圖1,連接OC,
圖1
〈AC是/%8的平分線,
:.ZCAP=ZCAOf
,.?Q4=OC,
???ZOAC=ZCAO=ZCAP,
:.OC//AD,
VAP±CD,
ACOLCD,
???CQ是OO的切線;
(2)由(1)知,OC〃AP,
如果四邊形APCO是平行四邊形,貝ljOC=AP,
即4尸=98=2,
第1頁共5頁
故答案為2;
(3)如圖2,延長CO交圓于點兒連接PH,
圖2
???。。是。0的切線,
:.ZPCO+ZDCP=90°,
???C4是直徑,
ZCPH=90°=NCPO+NOPH=ZPCO+ZOHP,
:.NDPC=NOHP=/PAC,
若△COP與△A。例相似,則存在乙4M。=90°或NAOM=90°兩種情況,
①當(dāng)NAMO=90°時,
':ZCAP^ZCAO,/PM4=NOMA=90°,AM=AM,
.?.△MAP絲△MAO(AAS),
:.PM=OM,
":OA=OC,OM±AC,
:.AM=MC,
:.四邊形APCO為平行四邊形,而OM_L4C,
.?.四邊形”CO為菱形,
1
貝I」AP=AO=抑=2:
②當(dāng)乙4?!?90°時,
則△AOP為等腰直角三角形,
故AP=&AO=2企;
故答案為:2或2vL
2.(1)【學(xué)習(xí)心得】
于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后,感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓,運用圓
第2頁共5頁
的知識解決,可以使問題變得非常容易.
例如:如圖1,在△ABC中,AB=AC,NBAC=90°,。是△ABC外一點,且A£>=AC,
求NBOC的度數(shù).若以點A為圓心,為半徑作輔助則點C、。必在上,Z
54c是OA的圓心角,而/8OC是圓周角,從而可容易得到/BZX?=45°.
(2)【問題解決】
如圖2,在四邊形ABCZ)中,NBAD=NBCD=90°,ZBDC=25°,求NBAC的數(shù).
(3)【問題拓展】
如圖3,如圖,E,尸是正方形A8C。的邊上兩個動點,滿足AE=£>立連接交
8。于點G,連接BE交AG于點從若正方形的邊長為2,則線段?!ㄩL度的最小值是
V5-1.
解:(1)如圖1,\"AB=AC,AD=AC,
二以點A為圓心,點8、C、。必在0A上,
?.?/8AC是GM的圓心角,而NBDC是圓周角,
1
AZBDC=^ZBAC=45°,
故答案是:45;
(2)如圖2,取3。的中點O,連接AO、CO.
■:NBAD=/BCD=90°,
.??點A、B、C、。共圓,
:.ZBDC=ZBAC,
VZBDC=25Q,
ZBAC=25°,
(3)如圖3,在正方形A8CQ中,AB=AD=CD,ZBAD=ZCDA,/ADG=/CDG,
第3頁共5頁
在△A8E和△DC尸中,
AB=CD
Z.BAD=Z-CDA^
AE=DF
:.AABE^ADCF(SAS),
AZ1=Z2,
在△AOG和△COG中,
AD=CD
Z-ADG=Z-CDGf
DG=DG
:?/\ADGm4CDG(SAS),
???N2=N3,
AZ1=Z3,
???NBA”+N3=N8AO=90°,
:.Z\+ZBAH=90°,
AZAHB=180°-90°=90°,
取AB的中點O,連接OH、OD,
則OH=AO^1,
在RtAAO£>中,OD=y/AO2+AD2=Vl2+22=V5,
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,OH+DH>OD,
...當(dāng)0、D、”三點共線時,?!钡拈L度最小,
最小值=0。-OH=V5-1.
(解法二:可以理解為點〃是在
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