初二數學(教案9)

重慶新思維學校--成績提升專家4/14初二數學證明與相似證明知識點：序號必記項目必記知識必記內容巧記方法1公理三角形全等的判定公理三邊對應相等的兩個三角形全等

兩邊及夾角對應相等的兩個三角形全等；兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等SSS

SAS

ASA2定理三角形全等的判定定理兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等AAS3公理三角形全等的性質全等三角形的對應邊相等、對應角相等4定理等腰三角形的性質的推論等腰三角形的兩個底角相等等邊對等角5定理等腰三角形的判定定理等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線底邊上的高互相重合“三線合一”6定理等邊三角形的判定定理有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形7定理有一個角等于30°的直角三角形的性質在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半8定理等邊三角形的判定定理三個角都相等的三角形是等邊三角形等角對等邊9定理勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方符號語言：若∠C=90°，則c2=a2+b210概念互逆定理如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理11定理勾股定理的逆定理如果三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形為直角三角形符號語言若，則a2+b2=c2，∠C=90°。12定理直角三角形全等的判定定理斜邊和直角邊對應相等的兩個直角三角形全等HL序號必記項目必記知識必記內容巧記方法1定理線段垂直平分線的性質線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等有了中垂線，就有了相等的線段2定理線段垂直平分線的判定到線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上聯(lián)想等腰三角形的“三線合一”3定理三角形的三條邊上的垂直平分線的性質三角形的三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等三邊中垂線共點提示有線段垂直平分線時，通常把垂直平分線上的點與線段的兩端點連接起來，利用等腰三角形的性質來解決問題4定理角平分線的性質角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等圖形與符號結合記憶5定理角平分線的判斷在一個角的內部，且到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上6定理三角形的三條角平分線的性質三角形的三條角平分線相交于一點，且這一點到三條邊的距離相等三條角平分線共點中考題實戰(zhàn)：1.（2011江西）某數學興趣小組開展了一次活動，過程如下：設∠BAC=（0°＜＜90°）.現把小棒依次擺放在兩射線AB，AC之間，并使小棒兩端分別落在兩射線上.活動一：如圖甲所示，從點A1開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在兩端點處互相垂直，A1A2為第1根小棒.數學思考：（1）小棒能無限擺下去嗎？答：.（填“能”或“不能”）（2）設AA1=A1A2=A2A3=1.①=度；②若記小棒A2n-1A2n的長度為an（n為正整數，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此時a2，a3的值，并直接寫出an（用含n的式子表示）.5.（2011上海，25，14分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．點P是AB邊上任意一點，直線PE⊥AB，與邊AC或BC相交于E．點M在線段AP上，點N在線段BP上，EM=EN，sin∠EMP=．（1）如圖1，當點E與點C重合時，求CM的長；（2）如圖2，當點E在邊AC上時，點E不與點A、C重合，設AP=x，BN=y，求y關于x的函數關系式，并寫出函數的定義域；[來源:Zxxk.Com]（3）若△AME∽△ENB（△AME的頂點A、M、E分別與△ENB的頂點E、N、B對應），求AP的長．圖1圖2備用圖6.（2011四川綿陽25，14）已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一個動點，過C作CE垂直于BD或BD的延長線，垂足為E,如圖1.(1)若BD是AC的中線，如圖2，求EQ\f(BD,CE)的值；(2)若BD是∠ABC的角平分線，如圖3，求EQ\f(BD,CE)的值；(3)結合（1)、（2)，請你推斷EQ\f(BD,CE)的值的取值范圍（直接寫出結論，不必證明），并探究EQ\f(BD,CE)的值能小于EQ\f(4,3)嗎？若能，求出滿足條件的D點的位置；若不能，請說明理由.7.（2011湖北武漢市，24，10分）（本題滿分10分）（1）如圖1，在△ABC中，點D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點P．求證：．（2）

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE于M，N兩點①如圖2，若AB=AC=1，直接寫出MN的長；

②如圖3，求證MN2=DM·EN．8.（2011河北，20，8分）如圖10，在6×8網格圖中，每個小正方形邊長均為1，點O和△ABC的頂點均在小正方形的頂點.（1）以O為位似中心，在網格圖中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比為1︰2；（2）連接（1）中的AA′,求四邊形AA′C′C的周長.（結果保留根號）9.如圖10所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動點，EF⊥DE交BC于點F．（1）求證：ADE∽BEF；（2）設正方形的邊長為4，AE=，BF=．當取什么值時，有最大值?并求出這個最大值．10．(2004·南京)如圖,AB⊥BC,DC⊥BC,垂足分別為B、C.(1)當AB=4,DC=1,BC=4時,在線段BC上是否存在點P,使AP⊥PD?如果存在,求線段BP的長;如果不存在,請說明理由.(2)設AB=a,DC=b,AD=c,那么當a、b、c之間滿足什么關系時,在直線BC上存在點P,使AP⊥PD?答案：1【答案】【答案】解：（1）能（2）①22.5°②方法一：∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，∴A1A3=，AA3=1+.又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，∴AA3=A3A4，AA5=A5A6，∴a2=A3A4=AA3=1+,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.∵A3A5=a2,∴a3=A5A6=AA5=a2+a2=(+1)2.方法二：∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，∴A1A3=，AA3=1+.[來源:學_科_網Z_X_X_K]又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，∴a2=A3A4=AA3=1+,又∵∠A2A3A4=∠A4A5A6=90°，∠A2A4A3=∠A4A6A5，∴△A2A3A4∽△A4A5A6，∴，∴a3==(+1)2.an=(+1)n-1.(3)(4)由題意得，∴15°＜≤18°.2.解：（1）在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝得AC＝＝∵BC＝CD，AE＝AD∴AE＝AC－AD＝．（2）∠EAG＝36°，理由如下：∵FA＝FE＝AB＝1，AE＝∴＝∴△FAE是黃金三角形∴∠F＝36°，∠AEF＝72°∵AE＝AG，FA＝FE∴∠FAE＝∠FEA＝∠AGE∴△AEG∽△FEA∴∠EAG＝∠F＝36°．3.【解】（1）△HGA及△HAB；（2）由（1）可知△AGC∽△HAB∴，即，所以，（3）當CG＜時，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH∵AG＜AC，∴AG＜GH又AH＞AG，AH＞GH此時，△AGH不可能是等腰三角形；當CG=時，G為BC的中點，H與C重合，△AGH是等腰三角形；此時，GC=，即x=當CG＞時，由（1）可知△AGC∽△HGA所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH若AG=AH，則AC=CG，此時x=9綜上，當x=9或時，△AGH是等腰三角形．4.【答案】解：∵四邊形EFGH為矩形∴EF∥GH∴∠AHG=∠ABC又∵∠HAG=∠BAC∴△AHG∽△ABC∴（2）由（1）得設HE=x，則HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30-x可得，解得，x=12，2x=24所以矩形EFGH的周長為2×（12+24）=72cm.5.【答案】（1）∵∠ACB=90°，∴AC===40．∵S==,∴CP===24．在Rt△CPM中，∵sin∠EMP=，[來源:學?？?。網Z。X。X。K]∴．∴CM===26．（2）由△APE∽△ACB，得，即，∴PE=．在Rt△MPE中，∵sin∠EMP=，∴．∴EM===．[來源:Zxxk.Com]∴PM=PN===．∵AP+PN+NB=50，∴x++y=50．∴y=(0<x<32)．（3）第三問：由于給出對應頂點，那么解法一可以直接運用相似和三角比求出對應邊長再列比例式求解。本題還可以通過角度之間的關系轉換求解，個人認為從角度入手更加簡潔直觀方法如下：①當點E在線段AC上時，△AME∽△ENB，．∵EM=EN，∴．設AP=x，由（2）知EM=，AM==，NB=．∴解得x1=22，x2=0（舍去）．即AP=22．②

當點E在線段BC上時，根據外角定理，△ACE∽△EPM，∴．∴CE==．設AP=x，易得BE=，∴CE=30．∴30=．解得x=42．即AP=42．∴AP的長為22或42．6.【答案】(1)設AD=x,則AB=2x,根據勾股定理，可得BD=EQ\r(,5)x,∵△ABD∽△CDE,,可得CE=EQ\f(2,EQ\r(,5))x,所以EQ\f(BD,CE)=EQ\f(5,2)（2）設AD=x,根據角平分線定理，可知DC=EQ\r(,2)x，AB=EQ\r(,2)x+x,由勾股定理可知BD=EQ\r(,（4+2EQ\r(,2)）x2)△ABD∽△CDE，,∴EC=,EQ\f(BD,CE)=2,(3)由前面兩步的結論可以看出，,所以這樣的點是存在的，D在AC邊的五等分點和點A之間7.【答案】（1）證明：在△ABQ中，由于DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，

∴DP/BQ＝AP/AQ．同理在△ACQ中，EP/CQ＝AP/AQ．∴DP/BQ＝EP/CQ．（2）

．（3）證明：∵∠B＋∠C=90°，∠CEF＋∠C=90°．∴∠B=∠CEF，又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC．∴DG/CF＝BG/EF，∴DG·EF＝CF·BG又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG

由（1）得DM/BG＝MN/GF＝EN/CF∴（MN/GF）2＝(DM/BG)·(EN/CF)∴MN2＝DM·EN8.【答案】（1）如下圖.[來源:學.科.網]（2）四邊形AA′C′C的周長=4+69、證明：（1）因為ABCD是正方形，所以∠DAE=∠FBE=，所以∠ADE+∠DEA=， 1分又EF⊥DE，所以∠AED+∠FEB=， 2分所以∠ADE=∠FEB， 3分所以ADE∽BEF． 4分（2）解：由（1）ADE∽BEF，AD=4，BE=4-，得，得 5分==， 6分所以當=2時，有最大值， 7分的最大值為1．10..解:(1)如果存在點P,使AP⊥PD,那么∠APD=90°.∴∠APB+∠CPD=90°.∵AB⊥BC,DC⊥BC,∴∠APB+∠BAP=90,∴∠BAP=∠CPD.∵∠B=∠C=90°,∴∠APB=∠CDP.∴△APB∽△PDC,∴設BP=x,則PC=4-x.∴,∴x1=x2=2.∴在線段BC上存在點P,使AP⊥PD,此時,BP=2.(2)如果在直線BC上存在點P,使AP⊥PD,那么點P在以直線AD為直徑的圓上,且圓的半徑為c.取AD的中點O,過點O作OE⊥BC,垂足