專(zhuān)題12相似三角形探究

專(zhuān)題12相似三角形探究因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題，常常出現(xiàn)在綜合題中．一是以幾何圖形為載體，賦予動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線和動(dòng)面，來(lái)探究相似三角形問(wèn)題，進(jìn)而研究面積、函數(shù)最值等問(wèn)題；二是以動(dòng)態(tài)問(wèn)題為背景或與函數(shù)圖象、圓結(jié)合探究相似三角形的存在性問(wèn)題；三是以相似三角形為背景，經(jīng)歷“問(wèn)題情境，建立模型，求解，應(yīng)用”的基本過(guò)程，設(shè)置探究性問(wèn)題．問(wèn)題設(shè)置常常具有開(kāi)放性．相似三角形由于對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的不確定，或者是圖形的不確定，常常需要進(jìn)行分類(lèi)討論，解題時(shí)根據(jù)對(duì)應(yīng)角或?qū)?yīng)邊來(lái)分類(lèi)．要注意確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，做到“不重復(fù)，不遺漏”．1．如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E在CB延長(zhǎng)線上，連結(jié)ED交AB于點(diǎn)F，AF＝x(0.2≤x≤0.8)，EC＝y(tǒng).則在下面函數(shù)圖象中，大致能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是( C

)1

y解析：通過(guò)△DFA∽△EDC

的對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式x＝1，從而得到y(tǒng)

與x

之間函數(shù)關(guān)系式，從而推知該函數(shù)圖象．2．如圖，已知矩形ABCD的長(zhǎng)AB為5，寬BC為4，E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE⊥EF，EF交CD于點(diǎn)F.設(shè)BE＝x，F(xiàn)C＝y(tǒng)，則點(diǎn)

E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，能表示y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是(

A

)利用相似三角形，得出比例式，代入函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合圖象進(jìn)行判斷．3．如圖，△ABC

中，P

為AB

上一點(diǎn)，在下列四個(gè)條件下：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2

＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB，能使△ABC∽△ACP

的是(

)A．①②④

B．①③④C．②③④

D．①②③解析：由圖形可得∠A＝∠A，根據(jù)相似三角形的判定定理可判斷，CP

AP但④AB·CP＝AP·CB

化成CB＝AB，∠A

并非其中兩邊的夾角．D4．如圖，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝6，AD＝2，問(wèn)當(dāng)

AB

的長(zhǎng)為多少時(shí)，這兩個(gè)直角三角形相似？【解析】要使這兩個(gè)直角三角形相似，有兩種情況，需要分類(lèi)．解：由勾股定理得

CD＝

AC2—AD2＝

2.要使這兩個(gè)直角三角形相AC

AB似，有兩種情況：①當(dāng)

Rt△ABC∽R(shí)t△ACD

時(shí)，有

＝

，∴AB＝3AD

ACAC

AB②當(dāng)

Rt△ACB∽R(shí)t△CDA

時(shí)，有

＝

，∴AB＝3 2.∴當(dāng)

AB

的長(zhǎng)為CD

AC3

或

3

2時(shí)，這兩個(gè)直角三角形相似5．(2017·預(yù)測(cè))如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使點(diǎn)C落在斜邊AB上某一點(diǎn)D處，折痕為EF(點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上)．若△CEF與△ABC相似．①當(dāng)AC＝BC＝2時(shí)，求AD的長(zhǎng)；②當(dāng)AC＝3，BC＝4時(shí)，求AD的長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，△CEF與△ABC相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)若△CEF

與△ABC

相似．①當(dāng)AC＝BC＝2

時(shí)，△ABC

為等腰直角三角形，如答圖

1

所示．此時(shí)

D

為

AB

邊中點(diǎn)，

AD

2

＝

2；②當(dāng)

AC＝3，BC＝

2

AC＝4

時(shí)，有兩種情況：(Ⅰ)若

CE∶CF＝3∶4，如答圖

2

所示，∵CE∶CF＝AC∶BC，∴EF∥BC，由折疊性質(zhì)可知CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此時(shí)CD

為AB

邊上的高，在

Rt△ABC

中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∴cosA＝3

AD＝5，AC·cosA＝3×3＝1.8；(Ⅱ)若CF∶CE＝3∶4，如答圖3

所示，∵△CEF∽△CBA5∴∠CEF＝∠B，由折疊性質(zhì)可知∠CEF＋∠ECD＝90°，又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠A＝∠ECD，∴AD＝CD，同理可得：∠B＝∠FCD，CD＝BD，∴此時(shí)12

2AD＝1AB＝

×5＝2.5.綜上可知，當(dāng)AC＝3，BC＝4時(shí)，AD

的長(zhǎng)為1.8

或2.56．如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心，AB＝10

cm，BC＝12

cm，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別從A，B，C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針?lè)较騽蛩龠\(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為1.5

cm/s，當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C(即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合)時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△EBF關(guān)于直線EF的對(duì)稱(chēng)圖形是△EB′F.設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)，G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(單位：s)．(1)當(dāng)t＝

s時(shí)，四邊形EBFB′為正方形；(2)若以點(diǎn)E，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值．2.5解：(1)若四邊形EBFB′為正方形，則BE＝BF，即10－t＝3t，解得t＝2.5

(2)分兩種情況，討論如下：①若△EBF∽△FCG，則有＝EB

BFFC

CG10－t

3t

EB即

＝

，解得

t＝2.8；②若△EBF∽△GCF，則有

＝BF12－3t

1.5t

CG

FC，即1.5t10－t12－3t＝

3t

，解得

t＝－14－2

69(不合題意，舍去)或

t＝－14＋2

69.∴當(dāng)t＝2.8

s

或

t＝(－14＋2 69)s

時(shí)，以點(diǎn)

E，B，F(xiàn)

為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)

FC，G

為頂點(diǎn)的三角形相似兩個(gè)三角形相似，根據(jù)不同的對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角，進(jìn)行分類(lèi)討論．(一)直線上取點(diǎn)7．(2017·預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy

中，直線y＝－x＋3

與x

軸交于點(diǎn)

C，與直線

AD

交于點(diǎn)

A(4

)3，35，點(diǎn)D

的坐標(biāo)為(0，1)．求直線AD

的解析式；直線AD

與x

軸交于點(diǎn)B，若點(diǎn)E

是直線AD

上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合)，當(dāng)△BOD

與△BCE

相似時(shí)，求點(diǎn)E

的坐標(biāo)．【解析】(1)首先設(shè)出一次函數(shù)解析式，將點(diǎn)A，D

代入即可求出一次函數(shù)解析式；(2)先寫(xiě)出OB，OD，BC

的長(zhǎng)度，然后分兩種情況討論：①△BOD∽△BCE；②△BOD∽△BEC.1解：(1)直線AD

的解析式為y＝

x＋1212(2)設(shè)點(diǎn)E

的坐標(biāo)為(m，m1＋1)，令y＝

x＋1＝0

得x＝－2，點(diǎn)B

的坐標(biāo)為(－2，0)，令y＝－x＋32＝0

得

x＝3

點(diǎn)

C

的坐標(biāo)為(3，0)，∴OB＝2,

OD＝1,

BC＝5,

BD＝

1＋22＝

5.①當(dāng)△BOD∽△BCE

時(shí)，如圖①所示，過(guò)點(diǎn)C

作CE⊥AB

交直線AB

于E，則OB

OD

2BC

CE

5

CE＝

，即＝

1

，∴CE2

25

1

52＝

，∴m＋1＝

，解得m＝3∴此時(shí)E

點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，2)5

；②當(dāng)△BOD∽△BEC

時(shí)，如圖②所示，過(guò)點(diǎn)E

作EF⊥BC

于F

點(diǎn)則OD

BD

1

5CE

BC

CE

5＝

，∴

＝

，∴CE＝

5，∴BE＝

BC2－CE2＝

25－5＝12 5，∴

BE·CE＝

EF·BC，∴21

12

2

25· 5＝EF·5，∴EF＝2，

m＋1＝2，解得m＝2，∴此時(shí)E

點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，2)，當(dāng)△BOD

與△BCE

相似時(shí)，2滿(mǎn)足條件的E

坐標(biāo)(3，)5，(2，2)．8．(2017·預(yù)測(cè))如圖，直線y＝－x＋3與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)B，C，經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)的拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P，且對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2.求該拋物線的解析式；連結(jié)AC，在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)該拋物線的解析式為

y＝x2－4x＋3

(2)如圖，由

y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1

得P(2，－1)，設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x

軸于點(diǎn)M，∵在Rt△PBM

中，PM＝MB＝1，∴∠PBM＝45°，PB＝

2.由點(diǎn)

B(3，0)，C(0，3)易得

OB＝OC＝3，在等腰直角三角形

OBC

中，∠ABC＝45°由勾股定理，得

BC＝3 2.假設(shè)在

x

軸上存在點(diǎn)

Q，使得以點(diǎn)

P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC

相似．①當(dāng)BQBC

AB＝PB，∠PBQ＝∠ABC＝45°3

22時(shí)，△PBQ∽△ABC.即BQ

＝

，解得

BQ＝3，∴點(diǎn)

Q

與點(diǎn)

O

重合，2∴Q1

的坐標(biāo)是(0，0)．②當(dāng)QB

PBAB

CB＝

，∠QBP＝∠ABC＝45°時(shí)，△QBP∽△ABC.即QB2＝3

2

2

2，解得QB＝

.∴OQ＝OB－QB＝32

72—＝

，∴Q

的坐標(biāo)是73

3

3

3(

，0)．③當(dāng)Q

在B

點(diǎn)右側(cè)，則∠PBQ＝180°－45°＝135°，∠BAC＜135°，故∠PBQ≠∠BAC.則點(diǎn)Q

不可能在B

點(diǎn)右側(cè)的x

軸上，綜上所述，在x173軸上存在兩點(diǎn)Q

(0，0)，Q2(，0)，能使得以點(diǎn)P，B，Q

為頂點(diǎn)的三角形與△ABC

相似9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC

的頂點(diǎn)A

在x

軸負(fù)半軸上頂點(diǎn)C

在x

軸正半軸上，頂點(diǎn)B

在第一象限，過(guò)點(diǎn)B

作BD⊥y

軸于點(diǎn)D，線段OA，OC

的長(zhǎng)是一元二次方程x2－12x＋36＝0

的兩根，BC＝4

5，∠BAC＝45°.求點(diǎn)A，C

的坐標(biāo)；在y

軸上是否存在點(diǎn)P，使以P，B，D

為頂點(diǎn)的三角形與以P，O，A

為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P

的個(gè)數(shù)，并直接寫(xiě)出其中兩個(gè)點(diǎn)P

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)解一元二次方程x2－12x＋36＝0，解得x1＝x2＝6，∴OA＝OC＝6，∴A(－6，0)，C(6，0)

(2)存在．如圖1，若點(diǎn)P

在OD上，若△PDB∽△AOP，則OA＝DP

DB

8－OP

2OP

6

OP，即

＝

，解得

OP＝2

或

OP＝6.∴P(0，2)或P(0，6)；如圖2，若點(diǎn)P

在OD

上方，△PDB∽△AOP，則PD

DBOP－82PO

OA

OP

6＝

，即 ＝

，解得

OP＝12，∴P(0，12)；如圖

3，若點(diǎn)

P在

OD

上方，△BDP∽△AOP，則PD＝DBOP－8OA

OP

6

OP，即 ＝

2

，解得

OP＝4＋2

7或

OP＝4－2 7(不合題意，舍去)，∴P(0，4＋2

7)；如圖

4，若點(diǎn)P

在y

軸負(fù)半軸，△PDB∽△AOP，則PD＝DBOP＋8，即

＝2OA

OP

6

OP解得

OP＝－4＋2

7或－4－2

7(不合題意，舍去)，則

P

點(diǎn)坐標(biāo)為(0，4－2

7)．∴點(diǎn)

P

的坐標(biāo)為(0，2)或(0，6)或(0，12)或(0，4＋2

7)或(0，4－2

7)(二)拋物線上取點(diǎn)10．(原創(chuàng)題)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2＋1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4，－3)，頂點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)(0，2)且垂直于y軸的直線，過(guò)P作PH⊥l，垂足為H，連結(jié)PO.(1)求拋物線的解析式，并寫(xiě)出其頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)求證：PO＝PH.(3)如圖2，設(shè)點(diǎn)C(1，－2)，問(wèn)是否存在點(diǎn)P，使得以P，O，H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】第(2)題首先判斷PH

與BC，PO

與AC

是對(duì)應(yīng)邊，設(shè)點(diǎn)P(m21

PH

BC－4

m

＋1)，由HO＝BA列出方程即可解決問(wèn)題．解：(1)∵拋物線y＝ax2＋1

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4，－3)，∴－3＝16a＋1，∴a＝－1

1424，∴拋物線解析式為y＝－x

＋1，頂點(diǎn)B(0，1)14(2)設(shè)點(diǎn)P

坐標(biāo)(m，－m142＋1)，∵PH＝2－(－

m142＋1)＝

m2＋1，m21PO＝ ＋（－

m214

42＋1）

＝

m2＋1，∴PO＝PH(3)存在，理由：∵BC＝

12＋32＝

10，AC＝

12＋32＝

10，AB＝

42＋42＝4

2，∴BC＝AC，∵PO＝PH，又∵以P，O，H

為頂點(diǎn)的三角形與△ABC

相似，∴PH

與BC，PO

與AC

是對(duì)應(yīng)邊，∴PH＝BCHO

BA設(shè)點(diǎn)P(m142，－

m

＋1)，∴41m2＋12m

＋4104

2＝

，解得m＝±1，∴點(diǎn)P

坐標(biāo)(13434)或(－1，)11．(2017·預(yù)測(cè))如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為A(1，1)，且與直線y＝x－2交于B，C兩點(diǎn)．求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；若點(diǎn)N為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作MN⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】設(shè)出N

點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出M

點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出MN，MNON

的長(zhǎng)度，當(dāng)△MON

和△ABC

相似時(shí)，利用三角形相似的性質(zhì)可得ABON

MN

ON＝BC或BC

＝AB，可求得N

點(diǎn)的坐標(biāo)．解：(1)∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，∴設(shè)拋物線解析式為y＝a(x－1)2＋1，又拋y＝x－2，

物線過(guò)原點(diǎn)，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a＝－1，∴拋物線解析式為y＝－(x

－1)2

＋1

，即y

＝－x2

＋2x

，聯(lián)立拋物線和直線解析式可得

y＝－x2＋2x，

x＝2，

x＝－1，解得

或y＝0

y＝－3，∴B(2，0)，C(－1，－3)(2)假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)N，設(shè)N(x，0)，則M(x，－x2＋2x)，∴ON＝|x|，MN＝|－x2＋2x|，由(2)在

Rt△ABD和

Rt△CEB

中，可分別求得

AB＝

2，BC＝3

2，∵M(jìn)N⊥x

軸于點(diǎn)

N.∴∠ABC＝∠MNO＝90°∴當(dāng)△ABC

和△MNO

相似時(shí)有AB

＝MN

ON

MN

ONMN

ONBC

BC

AB

AB

BC或

＝

，①當(dāng)

＝ 時(shí)，則有|－x2＋2x|2

3

2

|x|

13＝

，即|x|·|－x＋2|＝

|x|，∵當(dāng)x＝0

時(shí)，M，O，N

不能構(gòu)成三角形，∴x≠0，∴|－x＋2|3＝

，即－x＋21

1353＝±，解得x＝或x337

5

73＝

，此時(shí)N

點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)或(，0)；②當(dāng)MN

ONBC

AB＝

時(shí)，則有|－x2＋2x|3

2＝

|x|

，即|x|·|－x＋2|＝3|x|，∴|－x＋2|＝3，即－x＋2＝±3，解得2x＝5

或x＝－1，此時(shí)N

點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，0)或(5，0)，綜上可知，存在滿(mǎn)3足條件的N

點(diǎn)，其坐標(biāo)為5(

，30)或

7

0)或(－1，0)或(5，0)(

，(三)圓周上取點(diǎn)12．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以P(1，1)為圓心的⊙P與x軸、y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N，點(diǎn)F從點(diǎn)M出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PF，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PF交y軸于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t＞0)．若點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上(如圖所示)，求證：PE＝PF；在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)OE＝a，OF＝b，試用含a的代數(shù)式表示b；(3)作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F′，經(jīng)過(guò)M，E和F′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)Q，連結(jié)QE.在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得以點(diǎn)Q，O，E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P，M，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】(1)連結(jié)PM，PN，運(yùn)用△PMF≌△PNE證明，(3)分三種情況：當(dāng)0＜t＜1時(shí)，當(dāng)1＜t＜2時(shí)，當(dāng)t＞2時(shí)，三角形相似時(shí)還要分類(lèi)討論，根據(jù)比例式求出時(shí)間t.解：(1)連結(jié)PM，PN，∵⊙P

與x

軸、y

軸分別相切于點(diǎn)M

和點(diǎn)N，∴PM⊥MF，PN⊥ON

且PM＝PN，∴∠PMF＝∠PNE＝90°且∠NPM＝90°，∵PE⊥PF，∠NPE＝∠MPF＝90°－∠MPE，在△PMF

和△PNE∠MPF＝∠NPE，中，PM＝PN，∴△PMF≌△PNE(ASA)，∴PE＝PF(2)①當(dāng)∠PMF＝∠PNE，t＞1

時(shí)，點(diǎn)E

在y

軸的負(fù)半軸上，由(1)得△PMF≌△PNE，∴NE＝MF＝t，PM＝PN＝1，∴b＝OF＝OM＋MF＝1＋t，a＝NE－ON＝t－1，∴b＝2＋a；②當(dāng)0＜t≤1

時(shí)，同理可證△PMF≌△PNE，∴b＝OF＝OM＋MF＝1＋t，a＝ON－NE＝1－t，∴b＝2－a(3)①如圖1，當(dāng)1＜t＜2時(shí)，∵F(1＋t，0)，F(xiàn)