相關(guān)與回歸分析

相關(guān)與回歸分析第1頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月2第七章相關(guān)與回歸分析第一節(jié)相關(guān)與回歸分析的基本概念第二節(jié)簡(jiǎn)單線性相關(guān)與回歸分析第2頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月3第一節(jié)相關(guān)與回歸分析的基本概念一、函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系二、相關(guān)關(guān)系的種類三、相關(guān)分析與回歸分析四、相關(guān)圖第3頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月4一、函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系當(dāng)一個(gè)或幾個(gè)變量取一定的值時(shí)，另一個(gè)變量有確定值與之相對(duì)應(yīng)，我們稱這種關(guān)系為確定性的函數(shù)關(guān)系。例如，商品的銷售收入Ｙ與該商品的銷售量Ｘ以及該商品價(jià)格Ｐ之間的關(guān)系Y=PX。當(dāng)一個(gè)或幾個(gè)相互聯(lián)系的變量取一定數(shù)值時(shí)，與之相對(duì)應(yīng)的另一變量的值雖然不確定，但它仍按某種規(guī)律在一定的范圍內(nèi)變化。變量間的這種相互關(guān)系，稱為具有不確定性的相關(guān)關(guān)系。例如，勞動(dòng)生產(chǎn)率與工資水平的關(guān)系。第4頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月5變量之間的函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系，在一定條件下是可以互相轉(zhuǎn)化的。本來具有函數(shù)關(guān)系的變量，當(dāng)存在觀測(cè)誤差時(shí)，其函數(shù)關(guān)系往往以相關(guān)的形式表現(xiàn)出來。而具有相關(guān)關(guān)系的變量之間的聯(lián)系，如果我們對(duì)它們有了深刻的規(guī)律性認(rèn)識(shí)，并且能夠把影響因變量變動(dòng)的因素全部納入方程，這時(shí)的相關(guān)關(guān)系也可能轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系。第5頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月6相關(guān)關(guān)系也具有某種變動(dòng)規(guī)律性，所以，相關(guān)關(guān)系經(jīng)?？梢杂靡欢ǖ暮瘮?shù)形式去近似地描述?？陀^現(xiàn)象的函數(shù)關(guān)系可以用數(shù)學(xué)分析的方法去研究，而研究客觀現(xiàn)象的相關(guān)關(guān)系必須借助于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的相關(guān)與回歸分析方法。第6頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月7二、相關(guān)關(guān)系的種類

按相關(guān)的程度可分為完全相關(guān)、不完全相關(guān)和不相關(guān)。當(dāng)一種現(xiàn)象的數(shù)量變化完全由另一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量變化所確定時(shí)，稱這兩種現(xiàn)象間的關(guān)系為完全相關(guān)。在這種場(chǎng)合，相關(guān)關(guān)系便成為函數(shù)關(guān)系。因此也可以說函數(shù)關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的一個(gè)特例。當(dāng)兩個(gè)現(xiàn)象彼此互不影響，其數(shù)量變化各自獨(dú)立時(shí)，稱為不相關(guān)現(xiàn)象。兩個(gè)現(xiàn)象之間的關(guān)系介于完全相關(guān)和不相關(guān)之間，稱為不完全相關(guān)，一般的相關(guān)現(xiàn)象都是指這種不完全相關(guān)。第7頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月8按相關(guān)的方向可分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)。當(dāng)一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量增加（或減少），另一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量也隨之增加（或減少）時(shí)，稱為正相關(guān)。例如，消費(fèi)水平隨收入的增加而提高。當(dāng)一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量增加（或減少），而另一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量向相反方向變動(dòng)時(shí)，稱為負(fù)相關(guān)。例如商品流轉(zhuǎn)的規(guī)模愈大，流通費(fèi)用水平則愈低。第8頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月9按相關(guān)的形式可分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)。

當(dāng)兩種相關(guān)現(xiàn)象之間的關(guān)系大致呈現(xiàn)為線性關(guān)系時(shí)，稱之為線性相關(guān)。如果兩種相關(guān)現(xiàn)象之間，并不表現(xiàn)為直線的關(guān)系，而是近似于某種曲線方程關(guān)系，則這種相關(guān)關(guān)系稱為非線性相關(guān)。第9頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月按所研究的變量多少可分為單相關(guān)、復(fù)相關(guān)和偏相關(guān)。兩個(gè)變量之間的相關(guān)，稱為單相關(guān)。當(dāng)所研究的是一個(gè)變量對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上其他變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，稱為復(fù)相關(guān)。在某一現(xiàn)象與多種現(xiàn)象相關(guān)的場(chǎng)合，假定其他變量不變，專門考察其中兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系稱為偏相關(guān)。例如，在假定人們的收入水平不變的條件下，某種商品的需求與其價(jià)格水平的關(guān)系就是一種偏相關(guān)。10第10頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月11三、相關(guān)分析與回歸分析

相關(guān)分析是用一個(gè)指標(biāo)來表明現(xiàn)象間相互依存關(guān)系的密切程度?；貧w分析是根據(jù)相關(guān)關(guān)系的具體形態(tài)，選擇一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，來近似地表達(dá)變量間的平均變化關(guān)系。第11頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)分析和回歸分析有著密切的聯(lián)系，它們不僅具有共同的研究對(duì)象，而且在具體應(yīng)用時(shí)，常常必須互相補(bǔ)充。相關(guān)分析需要依靠回歸分析來表明現(xiàn)象數(shù)量的具體形式；回歸分析則需要依靠相關(guān)分析來表明數(shù)量變化的相關(guān)程度。12第12頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月13相關(guān)分析與回歸分析之間在研究目的和方法上是有明顯區(qū)別的。相關(guān)分析研究變量之間相關(guān)的方向和相關(guān)的程度?；貧w分析則是研究變量之間相互關(guān)系的具體形式，它對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的變量之間的數(shù)量聯(lián)系進(jìn)行測(cè)定，確定一個(gè)相關(guān)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，根據(jù)這個(gè)數(shù)學(xué)方程式可以從已知量來推測(cè)未知量，從而為估算和預(yù)測(cè)提供一個(gè)重要的方法。第13頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)分析不能指出變量間相互關(guān)系的具體形式，也無法從一個(gè)變量的變化來推測(cè)另一個(gè)變量的變化情況?？梢圆槐卮_定變量中哪個(gè)是自變量，哪個(gè)是因變量，其所涉及的變量可以都是隨機(jī)變量?；貧w分析則必須事先研究確定具有相關(guān)關(guān)系的變量中哪個(gè)為自變量，哪個(gè)為因變量。一般地說，回歸分析中因變量是隨機(jī)的，而把自變量作為研究時(shí)給定的非隨機(jī)變量。在應(yīng)用相關(guān)與回歸分析方法對(duì)客觀現(xiàn)象進(jìn)行研究時(shí)，一定要注意把定性分析和定量分析結(jié)合起來，在定性分析的基礎(chǔ)上開展定量分析。14第14頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月15【例7-1】教堂數(shù)與監(jiān)獄服刑人數(shù)同步增長(zhǎng)。美國(guó)印第安納州的地區(qū)教會(huì)想要籌款興建新教堂，提出教堂能潔凈人們的心靈，減少犯罪，降低監(jiān)獄服刑人數(shù)的口號(hào)。為了增進(jìn)民眾參與的熱誠(chéng)和信心，教會(huì)的神父收集了近１５年的教堂數(shù)與在監(jiān)獄服刑的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。結(jié)果卻令教會(huì)大吃一驚。最近１５年教堂數(shù)與監(jiān)獄服刑人數(shù)呈顯著的正相關(guān)。那么是否可以由此得出，教堂建得越多，就可能帶來更多的犯罪呢？經(jīng)過統(tǒng)計(jì)學(xué)家和教會(huì)神父深入討論，并進(jìn)一步收集近１５年的當(dāng)?shù)厝丝谧儎?dòng)資料和犯罪率等資料作進(jìn)一步分析，發(fā)現(xiàn)監(jiān)獄服刑人數(shù)的增加和教堂數(shù)的增加都與人口的增加有關(guān)。教堂數(shù)的增加并非監(jiān)獄服刑人數(shù)增加的原因。至此，教會(huì)人士總算松了一口氣。第15頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月16四、相關(guān)圖

相關(guān)圖又稱散點(diǎn)圖。它是以直角坐標(biāo)系的橫軸代表變量X，縱軸代表變量Y,將兩個(gè)變量間相對(duì)應(yīng)的變量值用坐標(biāo)點(diǎn)的形式描繪出來，用來反映兩變量之間相關(guān)關(guān)系的圖形。

圖a圖b圖c第16頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月17第二節(jié)簡(jiǎn)單線性相關(guān)與回歸分析

一、相關(guān)系數(shù)及其檢驗(yàn)二、標(biāo)準(zhǔn)的一元線性回歸模型三、一元線性回歸模型的估計(jì)四、一元線性回歸模型的檢驗(yàn)五、一元線性回歸模型預(yù)測(cè)第17頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月18一、相關(guān)系數(shù)及其檢驗(yàn)（一）相關(guān)系數(shù)的定義

總體相關(guān)系數(shù)的定義式是 總體相關(guān)系數(shù)是反映兩變量之間線性相關(guān)程度的一種特征值，表現(xiàn)為一個(gè)常數(shù)。樣本相關(guān)系數(shù)的定義公式是 上式中，和分別是Ｘ和Ｙ的樣本平均數(shù)。 樣本相關(guān)系數(shù)是根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算的，抽取的樣本不同，其具體的數(shù)值也會(huì)有所差異。樣本相關(guān)系數(shù)是總體相關(guān)系數(shù)的一致估計(jì)量。第18頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月19（二）相關(guān)系數(shù)的特點(diǎn)

(1)r的取值介于-1與1之間。(2)當(dāng)r=0時(shí)，Ｘ與Ｙ的樣本觀測(cè)值之間沒有線性關(guān)系。(3)在大多數(shù)情況下，0<｜r｜<1，即Ｘ與Ｙ的樣本觀測(cè)值之間存在著一定的線性關(guān)系，當(dāng)r>0時(shí)，Ｘ與Ｙ為正相關(guān)，當(dāng)r<0時(shí)，Ｘ與Ｙ為負(fù)相關(guān)。(4)如果｜r｜=1，則表明Ｘ與Ｙ完全線性相關(guān)，當(dāng)r=1時(shí)，稱為完全正相關(guān)，而ｒ＝-1時(shí)，稱為完全負(fù)相關(guān)。(5)ｒ是對(duì)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的度量。r=0只是表明兩個(gè)變量之間不存在線性關(guān)系，它并不意味著Ｘ與Ｙ之間不存在其他類型的關(guān)系。對(duì)于二者之間可能存在的非線性相關(guān)關(guān)系，需要利用其他指標(biāo)去進(jìn)行分析。第19頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月20（三）相關(guān)系數(shù)的計(jì)算

具體計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)時(shí),通常利用以下公式：第20頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月21

【例7-2】表7-1是1992年-2003年我國(guó)城鎮(zhèn)居民人均年消費(fèi)性支出和人均年可支配收入的有關(guān)資料，試計(jì)算消費(fèi)性支出與可支配收入的樣本相關(guān)系數(shù)。第21頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月22（四）相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)

對(duì)總體相關(guān)系數(shù)ｒ是否等于０進(jìn)行檢驗(yàn)。計(jì)算相關(guān)系數(shù)r的ｔ值：根據(jù)給定的顯著性水平和自由度（n-2），查找ｔ分布表中相應(yīng)的臨界值tα/2。若｜t｜≥tα/2，表明ｒ在統(tǒng)計(jì)上是顯著的。若｜t｜≤tα/2，表明ｒ在統(tǒng)計(jì)上是不顯著的。第22頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月23【例7-3】假設(shè)根據(jù)６對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算出某公司的股票價(jià)格與氣溫的樣本相關(guān)系數(shù)r=0.5，試問是否可以根據(jù)５％的顯著水平認(rèn)為該公司的股票與氣溫之間存在一定程度的線性相關(guān)關(guān)系?解：Ｈ0：ρ＝０；Ｈ1：ρ≠０

ｒ的ｔ檢驗(yàn)值

查表可知：自由度為４的臨界值t0.025=2.776,上式中的t=1.1547<2.776，因此，ｒ不能通過顯著性檢驗(yàn)。這就是說，盡管根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算的ｒ達(dá)到0.5，但是由于樣本單位過少，這一結(jié)論并不可靠，它不足以證明該公司的股票與氣溫之間存在一定程度的線性相關(guān)關(guān)系。第23頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月24二、標(biāo)準(zhǔn)的一元線性回歸模型

(一)總體回歸函數(shù)

上式被稱為總體回歸函數(shù)。式中的β1和β2是未知的參數(shù)，又叫回歸系數(shù)。Ｙt和Ｘt分別是Ｙ和Ｘ的第ｔ個(gè)觀測(cè)值。ut是隨機(jī)誤差項(xiàng)，又稱隨機(jī)干擾項(xiàng)，它是一個(gè)特殊的隨機(jī)變量，反映未列入方程式的其他各種因素對(duì)Ｙ的影響。第24頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月25（二）樣本回歸函數(shù)

在現(xiàn)實(shí)問題研究中，由于所要研究的現(xiàn)象的總體單位數(shù)一般是很多的，在許多場(chǎng)合甚至是無限的，因此無法掌握因變量Ｙ總體的全部取值。也就是說，總體回歸函數(shù)事實(shí)上是未知的，需要利用樣本的信息對(duì)其進(jìn)行估計(jì)。一元線性回歸模型的樣本回歸線可表示為：式中的是樣本回歸線上與Ｘt相對(duì)應(yīng)的Ｙ值，可視為Ｅ(Ｙt)的估計(jì)；是樣本回歸函數(shù)的截距系數(shù)，是樣本回歸函數(shù)的斜率系數(shù)，它們是對(duì)總體回歸系數(shù)β1和β2的估計(jì)。第25頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月26實(shí)際觀測(cè)到的因變量Ｙt值，并不完全等于，如果用ｅt表示二者之差(),則有：（ｔ＝１，２，...ｎ）上式稱為樣本回歸函數(shù)。式中ｅt稱為殘差。第26頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月27樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)之間的間的區(qū)別?？傮w回歸線是未知的，它只有一條。而樣本回歸線則是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)擬合的，每抽取一組樣本，便可以擬合一條樣本回歸線?？傮w回歸函數(shù)中的β1和β2是未知的參數(shù)，表現(xiàn)為常數(shù)。而樣本回歸函數(shù)中的和是隨機(jī)變量，其具體數(shù)值隨所抽取的樣本觀測(cè)值不同而變動(dòng)?？傮w回歸函數(shù)中的ut是Ｙt與未知的總體回歸線之間的縱向距離，它是不可直接觀測(cè)的。而樣本回歸函數(shù)中的ｅt是Ｙt與樣本回歸線之間的縱向距離，當(dāng)根據(jù)樣本觀測(cè)值擬合出樣本回歸線之后，可以計(jì)算出ｅt的具體數(shù)值。第27頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月28(三)誤差項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)假定

假定１：誤差項(xiàng)的期望值為０，即對(duì)所有的ｔ總有假定２：誤差項(xiàng)的方差為常數(shù)，即對(duì)所有的ｔ總有假定３：誤差項(xiàng)之間不存在序列相關(guān)關(guān)系，其協(xié)方差為零，即當(dāng)ｔ≠ｓ時(shí)有：假定４：自變量是給定的變量，與隨機(jī)誤差項(xiàng)線性無關(guān)。假定５：隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布。 滿足以上標(biāo)準(zhǔn)假定的一元線性模型，稱為標(biāo)準(zhǔn)的一元線性回歸模型。第28頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月29三、一元線性回歸模型的估計(jì)

（一）回歸系數(shù)的點(diǎn)估計(jì)

所謂最小二乘法就是根據(jù)這一思路，是通過使殘差平方和為最小來估計(jì)回歸系數(shù)的一種方法。

第29頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月以上方程組稱為正規(guī)方程組或標(biāo)準(zhǔn)方程組，式中的ｎ是樣本容量。求解這一方程組可得：

加以整理后有

第30頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月31

【例7-４】我們利用例7-2的表7-1中已給出我國(guó)歷年城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出和人均可支配收入的數(shù)據(jù)，來估計(jì)我國(guó)城鎮(zhèn)居民的邊際消費(fèi)傾向和基礎(chǔ)消費(fèi)水平。解：Ｙt＝β1＋β2Ｘt＋ut

=50.073÷12-0.7511×62.976÷12＝0.2310樣本回歸方程為：上式中：0.7511是邊際消費(fèi)傾向，表示人均可支配收入每增加1千元，人均消費(fèi)支出會(huì)增加0.7511千元；0.2310是基本消費(fèi)水平，即與收入無關(guān)最基本的人均消費(fèi)為0.2310千元。

第31頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月32（二）總體方差的估計(jì)數(shù)學(xué)上可以證明，σ2的無偏估計(jì)S2可由下式給出：

式中，分子是殘差平方和,分母是自由度，其中ｎ是樣本觀測(cè)值的個(gè)數(shù)，２是一元線性回歸方程中回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)。）S2的正平方根又叫做回歸估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差。一般采用以下公式計(jì)算殘差平方和：上式的推導(dǎo)過程如下：

第32頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月33【例7-５】根據(jù)例7-２中給出的有關(guān)數(shù)據(jù)和例7-４中已得到的回歸系數(shù)估計(jì)值，計(jì)算我國(guó)城鎮(zhèn)居民消費(fèi)函數(shù)的總體方差S2和回歸估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差S。解：根據(jù)例7-２中給出的有關(guān)數(shù)據(jù)和例7-４中已得到的回歸系數(shù)估計(jì)值，可得：

=232.7719-0.2310×50.073-0.7511×294.4539=0.0407 S2=0.0407/(12-2)=0.00407

進(jìn)而有：S=0.0638第33頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月34（三）最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)按照最小二乘法求得的估計(jì)總體回歸系數(shù)的數(shù)學(xué)公式是樣本觀測(cè)值的函數(shù)，通常稱之為最小二乘估計(jì)量。可以證明，在標(biāo)準(zhǔn)假定能夠得到滿足的條件下，回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)量的期望值等于其真值，即有：其方差為：和的期望值與方差的推導(dǎo)過程基本類似。這里只就進(jìn)行證明。第34頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月35

為了便于討論，將Yt＝β1＋β2Xt＋ut代入估計(jì)量，并作以下變形：

為了推導(dǎo)上式，利用了以下恒等式:

這樣，回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)量可以表現(xiàn)為所要估計(jì)的參數(shù)的真值與隨機(jī)誤差項(xiàng)的線性組合。由于我們已假定Ｘt是給定的變量（不是隨機(jī)變量），因此，同各期誤差項(xiàng)相乘的權(quán)數(shù)也都是確定量。為了敘述的方便，令第35頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月36利用前面所述的關(guān)于隨機(jī)誤差項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)假定和期望值運(yùn)算的規(guī)則，可以證明的期望值和方差分別為：根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)假定４根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)假定１根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)假定４、3根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)假定2根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)假定４證畢。第36頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月37由以上推導(dǎo)過程可知，最小二乘估計(jì)量是因變量觀測(cè)值Ｙt的線性函數(shù)，其期望值等于總體回歸系數(shù)的真值。因此，最小二乘估計(jì)量是總體回歸系數(shù)的線性無偏估計(jì)量。數(shù)學(xué)上還可以進(jìn)一步證明，在所有的線性無偏估計(jì)量中，回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)量的方差最??；同時(shí)隨著樣本容量的增大，其方差會(huì)不斷縮小。也就是說，回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)量是最優(yōu)線性無偏估計(jì)量和一致估計(jì)量。高斯-馬爾可夫定理表明，在標(biāo)準(zhǔn)的假定條件下，最小二乘估計(jì)量是一種最佳的估計(jì)方式。但是應(yīng)當(dāng)明確，這并不意味著根據(jù)這一方式計(jì)算的每一個(gè)具體的估計(jì)值都比根據(jù)其他方式計(jì)算的具體估計(jì)值更接近真值，而只是表明如果反復(fù)多次進(jìn)行估計(jì)值計(jì)算或是擴(kuò)大樣本的容量進(jìn)行估計(jì)值計(jì)算，按最佳估計(jì)方式計(jì)算的估計(jì)值接近真值的可能性（概率）最大。第37頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月38(四)回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)根據(jù)第五章中介紹的關(guān)于參數(shù)區(qū)間估計(jì)的原理，可得到以下回歸系數(shù)區(qū)間估計(jì)的公式：（j=1,2）式中，是回歸系數(shù)估計(jì)的樣本標(biāo)準(zhǔn)誤差，是顯著水平為α，自由度為(n-2)的ｔ分布雙側(cè)臨界值。第38頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月39【例7-6】利用例7-２的有關(guān)資料和例7-４與例7-５的結(jié)果，對(duì)例7-４中估計(jì)的我國(guó)城鎮(zhèn)居民邊際消費(fèi)傾向進(jìn)行置信度為95％的區(qū)間估計(jì)。解： 查ｔ分布表可知：顯著水平為５％，自由度為10的ｔ分布雙側(cè)臨界值是2.228，前面已求得，將其代入回歸系數(shù)區(qū)間估計(jì)的公式，可得：第39頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月40四、一元線性回歸模型的檢驗(yàn)

（一）回歸模型檢驗(yàn)的種類回歸模型的檢驗(yàn)包括理論意義檢驗(yàn)、一級(jí)檢驗(yàn)和二級(jí)檢驗(yàn)。理論意義檢驗(yàn)主要涉及參數(shù)估計(jì)值的符號(hào)和取值區(qū)間，如果它們與實(shí)質(zhì)性科學(xué)的理論以及人們的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)不相符，就說明模型不能很好地解釋現(xiàn)實(shí)的現(xiàn)象。例如，在前面所舉的消費(fèi)函數(shù)中，β2的取值區(qū)間應(yīng)在０至１之間。在對(duì)實(shí)際的社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行回歸分析時(shí)，常常會(huì)遇到經(jīng)濟(jì)意義檢驗(yàn)不能通過的情況。造成這一結(jié)果的主要原因是：社會(huì)經(jīng)濟(jì)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)無法像自然科學(xué)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)那樣通過有控制的實(shí)驗(yàn)去取得，因而所觀測(cè)的樣本容量有可能偏小，不具有足夠的代表性，或者不能滿足標(biāo)準(zhǔn)線性回歸分析所要求的假定條件。第40頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月41一級(jí)檢驗(yàn)又稱統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn)，它是利用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的抽樣理論來檢驗(yàn)樣本回歸方程的可靠性，具體又可分為擬合程度評(píng)價(jià)和顯著性檢驗(yàn)。一級(jí)檢驗(yàn)是對(duì)所有現(xiàn)象進(jìn)行回歸分析時(shí)都必須通過的檢驗(yàn)。二級(jí)檢驗(yàn)又稱經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)檢驗(yàn)，它是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型的假定條件能否得到滿足進(jìn)行檢驗(yàn)，具體包括序列相關(guān)檢驗(yàn)、異方差性檢驗(yàn)、多重共線性檢驗(yàn)等。二級(jí)檢驗(yàn)對(duì)于社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的定量分析具有特別重要的意義。第41頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月42（二）擬合程度的評(píng)價(jià)總離差平方和的分解 對(duì)任一實(shí)際觀測(cè)值Ｙt總有：

對(duì)上式兩邊取平方并求和，得到：

可以證明：

從而有：

即ＳＳＴ＝ＳＳＲ＋ＳＳＥ

第42頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月43上式中，ＳＳＴ是總離差平方和；ＳＳＲ是由回歸直線可以解釋的那一部分離差平方和，稱為回歸平方和；ＳＳＥ是用回歸直線無法解釋的離差平方和，稱為殘差平方和。式子兩邊同除以ＳＳＴ，得：顯而易見，各個(gè)樣本觀測(cè)點(diǎn)與樣本回歸直線靠得越緊，SSR在SST中所占的比例就越大。因此，可定義這一比例為決定系數(shù)，即有：決定系數(shù)是對(duì)回歸模型擬合程度的綜合度量，決定系數(shù)越大，模型擬合程度越高。決定系數(shù)越小，則模型對(duì)樣本的擬合程度越差。第43頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月44決定系數(shù)r2具有如下特性：1．決定系數(shù)r2具有非負(fù)性。 由決定系數(shù)的定義式可知，r2的分子分母均是不可能為負(fù)值的平方和，因此其比值必大于零。（但是在回歸模型中不包括截距項(xiàng)的場(chǎng)合，由于總離差平方和的分解公式不成立，按該式計(jì)算的r2有可能小于０。）2．決定系數(shù)的取值范圍為０≤r2≤１。3．決定系數(shù)是樣本觀測(cè)值的函數(shù)，它也是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。4．在一元線性回歸模型中，決定系數(shù)是單相關(guān)系數(shù)的平方。第44頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月45【例7-7】利用例7-5中計(jì)算的殘差平方和，計(jì)算例7-3所擬合的樣本回歸方程的決定系數(shù)。解： 上式中的SST是利用表7-1中給出的數(shù)據(jù)按下式計(jì)算的：第45頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月46（三）顯著性檢驗(yàn)所謂回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，就是根據(jù)樣本估計(jì)的結(jié)果對(duì)總體回歸系數(shù)的有關(guān)假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。下面我們以β2的檢驗(yàn)為例，介紹回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)的基本步驟：第46頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月471．t檢驗(yàn)（1）提出假設(shè)。對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，所提出的假設(shè)的一般形式是：式中，Ｈo表示原假設(shè)；Ｈ1表示備擇假設(shè)；是假設(shè)的總體回歸系數(shù)的真值。在許多回歸分析的計(jì)算機(jī)程序里，常常令＝0。這是因?yàn)棣?

是否為０，可以表明Ｘ對(duì)Ｙ是否有顯著的影響。第47頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月48（2）確定顯著水平α。 顯著水平的大小應(yīng)根據(jù)犯哪一類錯(cuò)誤可能帶來損失的大小確定。一般情況下可取0.05。（3）計(jì)算回歸系數(shù)的ｔ值。

上式中，是回歸系數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差。第48頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月49（4）確定臨界值。

t檢驗(yàn)的臨界值是由顯著水平和自由度df決定的。這時(shí)應(yīng)該注意，原假設(shè)和備擇假設(shè)設(shè)定的方式不同，據(jù)以判斷的接受域和拒絕域也不相同。例如，對(duì)Ｈ0：β2=0，Ｈ1：β2≠0,進(jìn)行的是雙側(cè)ｔ檢驗(yàn)；而對(duì)Ｈ0：β2=0.9，Ｈ1：β2<0.9，進(jìn)行的是單側(cè)ｔ檢驗(yàn)。對(duì)此，在雙側(cè)檢驗(yàn)的場(chǎng)合，依據(jù)α和df，查ｔ分布表所確定的臨界值是（-tα/2）和（tα/2

）；而在單側(cè)檢驗(yàn)的場(chǎng)合，所確定的臨界值是（tα）。（5）做出判斷。 如果的絕對(duì)值大于臨界值的絕對(duì)值，就拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)；反之，如果的絕對(duì)值小于臨界值的絕對(duì)值，則接受原假設(shè)。第49頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月502．p檢驗(yàn) 回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)還可以采用p檢驗(yàn)。其前三步與t檢驗(yàn)相同，但t值計(jì)算出來之后，并不與t分布的臨界值進(jìn)行對(duì)比，而是直接計(jì)算自由度為n-2的t統(tǒng)計(jì)量大于或小于根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算的的概率即p值。然后將其與給定的顯著水平α對(duì)比，如果p小于α，則拒絕原假設(shè)，反之則接受原假設(shè)。利用Excel進(jìn)行回歸分析時(shí)，計(jì)算機(jī)將直接給出回歸系數(shù)估計(jì)的p值。第50頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月51【例7-8】利用例7-4和例7-6的有關(guān)資料和結(jié)果，對(duì)例7-4中估計(jì)的我國(guó)城鎮(zhèn)居民邊際消費(fèi)傾向進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。 （1）以５％的顯著水平檢驗(yàn)可支配收入是否對(duì)消費(fèi)支出有顯著影響。 （2）對(duì)Ｈo：β2＝0.8，Ｈ1：β2＜０.8進(jìn)行檢驗(yàn)。 解： (1)首先,提出假設(shè)Ｈ0：β2＝０，Ｈ1：β2≠０。其次，計(jì)算ｔ值＝0.7511/0.0098＝76.6429

查ｔ分布表可知：顯著水平為５％，自由度為10的雙側(cè)ｔ檢驗(yàn)的臨界值是2.228。以上計(jì)算的ｔ值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于此臨界值,所以拒絕原假設(shè),接受備擇假設(shè)，即認(rèn)為可支配收入對(duì)消費(fèi)支出的影響是非常顯著的。

(2)＝(0.7511-0.8)/0.0098＝-4.9898

查ｔ分布表可知：顯著水平為５％，自由度為10的單側(cè)ｔ檢驗(yàn)的臨界值是1.812。因?yàn)橛?jì)算的ｔ值的絕對(duì)值大于此臨界值,所以否定β2＝０.8的原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，認(rèn)為我國(guó)城鎮(zhèn)居民的平均消費(fèi)傾向小于0.8。第51頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月52五、一元線性回歸模型預(yù)測(cè)

（一）回歸預(yù)測(cè)的基本公式簡(jiǎn)單回歸預(yù)測(cè)的基本公式如下：式中，Ｘf是給定的Ｘ的具體數(shù)值；是Ｘf給定時(shí)Ｙ的預(yù)測(cè)值；和是已估計(jì)出的樣本回歸系數(shù)。回歸預(yù)測(cè)是一種有條件的預(yù)測(cè)，在進(jìn)行回歸預(yù)測(cè)時(shí)，必須先給出Ｘf的具體數(shù)值。當(dāng)給出的Ｘf屬于樣本內(nèi)的數(shù)值時(shí)，利用該式去計(jì)算稱為內(nèi)插檢驗(yàn)或事后預(yù)測(cè)。而當(dāng)給出的Ｘf在樣本之外時(shí)，利用該式去計(jì)算稱為外推預(yù)測(cè)或事前預(yù)測(cè)。通常所說的預(yù)測(cè)是指事前預(yù)測(cè)。第52頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月53（二）預(yù)測(cè)誤差在實(shí)際的回歸模型預(yù)測(cè)中，發(fā)生預(yù)測(cè)誤差的原因可以概括為以下四個(gè)：1.模型本身中的誤差因素所造成的誤差；這一誤差可以用總體隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差來評(píng)價(jià)。2.由于回歸系數(shù)的估計(jì)值同其真值不一致所造成的誤差；這一誤差可以用回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)量的方差來評(píng)價(jià)。3.由于自變量Ｘ的設(shè)定值同其實(shí)際值的偏離所造成的誤差。4.由于未來時(shí)期總體回歸系數(shù)發(fā)生變化所造成的誤差。在以上造成預(yù)測(cè)誤差的原因中，3、4、兩項(xiàng)不屬于回歸方程本身的問題，而且也難以事先予以估計(jì)和控制。因此，在下面的討論中，假定只存在1、2、兩種誤差。第53頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月54

設(shè)Ｘf給定時(shí)Ｙ的真值為Ｙf， Ｙf＝β1＋β2Ｘf＋uf

則有 式中,ｅf是預(yù)測(cè)的殘差。利用期望值與方差的運(yùn)算規(guī)則以及前面給出的回歸系數(shù)最小二乘估計(jì)量的期望值和方差，可以證明：

在此基礎(chǔ)上，還可以進(jìn)一步證明是Ｙf的最優(yōu)線性無偏預(yù)測(cè)，即在標(biāo)準(zhǔn)假定能夠滿足的情況下，公式是Ｙf的最佳預(yù)測(cè)方式。第54頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月55（三）區(qū)間預(yù)測(cè) 若用Sef來表示預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)值， 則數(shù)學(xué)上可以證明：服從于自由度為(n-2)的ｔ分布。按照確定置信區(qū)間的方法，可以得出Ｙf的(1-α)的置信區(qū)間為： 式中，是置信度為(1-α)、自由度為(n-2)的ｔ分布的臨界值。第55頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月56對(duì)于每一個(gè)給定的Ｘ值，計(jì)算相應(yīng)的Ｙ的置信區(qū)間，并將連接各點(diǎn)的曲線描繪在平面圖上，便可得到右圖。從置信區(qū)間和Sef的計(jì)算公式以及右圖，可以得到以下結(jié)論：回歸預(yù)測(cè)的置信區(qū)間第56頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月57第一，置信區(qū)間的上下限對(duì)稱地落在樣本回歸直線兩邊,呈中間小兩頭大的喇叭型。當(dāng)Ｘf＝時(shí)的置信區(qū)間最窄，而當(dāng)Ｘf遠(yuǎn)離時(shí)，其置信間逐漸增大。這就是說，在用回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，Ｘ

f的取值不宜離開過遠(yuǎn)，否則預(yù)測(cè)精度將會(huì)降低，有可能使預(yù)測(cè)失效。第二，在樣本容量n保持不變時(shí)，

的值，隨置信度(1-α)的提高而增加，因此，要求預(yù)測(cè)值的概率保證程度增加，在其它條件不變時(shí)，也就意味著預(yù)測(cè)精度的降低。第三，當(dāng)其它條件不變時(shí)，和Sef的值均為樣本容量n的減函數(shù)，即隨著n的增加，這二者將逐漸減少。這說明隨著樣本容量的增加，預(yù)測(cè)精度將會(huì)提高，而樣本容量過小，預(yù)測(cè)的精度就較差。第57頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月58第四，當(dāng)n足夠大時(shí)，Sef會(huì)趨近于S；會(huì)趨近于ｚα/2。（ｚα/2是置信度為（1-α）的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界值）。這時(shí)，可以用S和ｚα/2取代Sef和tα/2來確定預(yù)測(cè)區(qū)間。即樣本容量充分大時(shí)，Ｙf的（1-α）的置信區(qū)間為：Ｙf±ｚα/2×S

按上式確定的預(yù)測(cè)區(qū)間的上、下限在平面圖上呈兩條直線（參見圖“回歸預(yù)測(cè)的置信區(qū)間”中與樣本回歸線平行的兩條虛線）。第58頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月59【例7-9】假定已知某居民家庭的年人均可支配收入為8千元，要求利用例7-4中擬合的樣本回歸方程與有關(guān)數(shù)據(jù)，計(jì)算置信度為95％的年人均消費(fèi)支出的預(yù)測(cè)區(qū)間。解：將有關(guān)數(shù)據(jù)代入擬合好的樣本回歸方程，可得：

從前面幾例的結(jié)果可知：S=0.0638，n=12

將其代入求預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)誤差估計(jì)值的公式，有

查ｔ分布表可知：顯著水平為５％，自由度為10的雙側(cè)ｔ檢驗(yàn)的臨界值是2.228。因此，當(dāng)人均可支配收入為8千元時(shí)，置信度為95％的消費(fèi)支出的預(yù)測(cè)區(qū)間如下：

6.2398－2.228×0.0717≤Yf≤6.2398＋2.228×0.07176.0801(千元)≤Yf

≤6.3995(千元)第59頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月60第三節(jié)多元線性相關(guān)與回歸分析一、標(biāo)準(zhǔn)的多元線性回歸模型二、多元線性回歸模型的估計(jì)第60頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月61一、標(biāo)準(zhǔn)的多元線性回歸模型研究在線性相關(guān)條件下，兩個(gè)和兩個(gè)以上自變量對(duì)一個(gè)因變量的數(shù)量變化關(guān)系，稱為多元線性回歸分析，表現(xiàn)這一數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)公式，稱為多元線性回歸模型。多元線性回歸模型總體回歸函數(shù)的一般形式如下：多元線性回歸模型的樣本回歸函數(shù)如下：

(t＝1,2,…,n)上式中，et是Yt與其估計(jì)之間的離差，即殘差。與一元線性回歸分析相類似，為了進(jìn)行多元線性回歸分析也需要提出一些必要的假定。多元線性回歸分析的標(biāo)準(zhǔn)假定除了包括上一節(jié)中已經(jīng)提出的關(guān)于隨機(jī)誤差項(xiàng)的假定外，還要追加一條假定。這就是回歸模型所包含的自變量之間不能具有較強(qiáng)的線性關(guān)系，同時(shí)樣本容量必須大于所要估計(jì)的回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)即n>k。我們稱這條假定為標(biāo)準(zhǔn)假定6。第61頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月62二、多元線性回歸模型的估計(jì)（一）回歸系數(shù)的估計(jì)多元線性回歸模型中回歸系數(shù)的估計(jì)同樣采用最小二乘法。設(shè)根據(jù)微積分中求極小值的原理，可知?dú)埐钇椒胶停汛嬖跇O小值，欲使Ｑ達(dá)到最小，Ｑ對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)必須等于零。將Ｑ對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，加以整理后可得到以下ｋ個(gè)方程式：

以上ｋ元一次方程組稱為正規(guī)方程組或標(biāo)準(zhǔn)方程組，通過求解這一方程組便可以得到。第62頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月63求解多元回歸方程，用矩陣形式來表達(dá)較為簡(jiǎn)便（這里給出的矩陣形式具有一般性，對(duì)于一元線性回歸模型也同樣適用。對(duì)于尚未學(xué)過矩陣代數(shù)的讀者,可以不必掌握這一部分內(nèi)容。）記第63頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月64則總體回歸函數(shù)(7.50)式可以寫為：Y

＝XB＋U樣本回歸函數(shù)(7.51)式可以寫為：

標(biāo)準(zhǔn)方程組可以寫為：

式中X'表示X的轉(zhuǎn)置矩陣。(X'X)是一個(gè)ｋ×ｋ的對(duì)稱矩陣，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)假定6，(k-1)個(gè)自變量之間不存在高度的線性相關(guān)，因此其逆矩陣存在。在上式兩邊同時(shí)左乘(X'X)-1，可以得到：上式是回歸系數(shù)最小二乘估計(jì)的一般形式。第64頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月65（二）總體方差的估計(jì)多元線性回歸模型中的σ2也是利用殘差平方和除以其自由度來估計(jì)的。即有：上式中，n是樣本觀測(cè)值的個(gè)數(shù)；k是方程中回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)；數(shù)學(xué)上可以證明，S2是σ2的無偏估計(jì)。S2的正平方根S又叫做回歸估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差。S越小表明樣本回歸方程的代表性越強(qiáng)。在編制計(jì)算機(jī)程序時(shí)，殘差平方和一般不是按照其定義式計(jì)算，而是利用以下公式計(jì)算：上式是殘差平方和的矩陣形式。式中Y是因變量樣本觀測(cè)值向量；X是自變量樣本觀測(cè)值矩陣；是回歸系數(shù)估計(jì)值向量的轉(zhuǎn)置向量。第65頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月66（三）最小二乘估計(jì)量的性質(zhì) 在標(biāo)準(zhǔn)的多元線性回歸模型中，高斯.馬爾可夫定理同樣成立。第66頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月67三、多元線性回歸模型的檢驗(yàn)和預(yù)測(cè)（一）擬合程度的評(píng)價(jià)利用R2來評(píng)價(jià)多元線性回歸方程的擬合程度，必須注意以下問題。由決定系數(shù)的定義可知，R2的大小取決于殘差平方和在總離差平方和中所占的比重。在樣本容量一定的條件下，總離差平方和與自變量的個(gè)數(shù)無關(guān)，而殘差平方和則會(huì)隨著模型中自變量個(gè)數(shù)的增加不斷減少，至少不會(huì)增加。因此，R2是自變量個(gè)數(shù)的非遞減函數(shù)。在一元線性回歸模型中，所有模型包含的變量數(shù)目都相同，如果所使用的樣本容量也一樣，決定系數(shù)便可以直接作為評(píng)價(jià)擬合程度的尺度。然而在多元線性回歸模型中，各回歸模型所含的變量的數(shù)目未必相同，以R2的大小作為衡量擬合優(yōu)劣的尺度是不合適的。第67頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月68在多元回歸分析中，人們更常用的評(píng)價(jià)指標(biāo)是所謂的修正自由度的決定系數(shù)。該指標(biāo)的定義如下：式中，n是樣本容量；k是模型中回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)。（n-１）和（n-k

）實(shí)際上分別是總離差平方和與殘差平方和的自由度。第68頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月69修正自由度的決定系數(shù)具有以下特點(diǎn)：1.。因?yàn)閗≥1，所以根據(jù)和R2各自的定義式可以得出這一結(jié)論。對(duì)于給定的R2值和n值，k值越大越小。在進(jìn)行回歸分析時(shí)，一般總是希望以盡可能少的自變量去達(dá)到盡可能高的擬合程度。作為綜合評(píng)價(jià)這兩方面情況的一項(xiàng)指標(biāo)顯然比R2更為合適。2.小于1，但未必都大于0。在擬合極差的場(chǎng)合，有可能取負(fù)值。第69頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月70【例7-10】假設(shè)有7年的年度統(tǒng)計(jì)資料，現(xiàn)利用其對(duì)同一因變量擬合了兩個(gè)樣本回歸方程。方程一中：k=6，R2=0.82；方程二中：k=2，R2=0.80。試對(duì)這兩個(gè)回歸方程的擬合程度做出評(píng)價(jià)。解：如果僅從R2考察，似乎方程一的擬合程度更佳。但是，由于兩個(gè)方程選用的自變量個(gè)數(shù)不同，這一結(jié)論是不正確的。將上列數(shù)據(jù)代入修正自由度的決定系數(shù)公式，可得：方程一的=1-((7-1)/(7-6))(1-0.82)=-0.08方程二的=1-((7-1)/(7-2))(1-0.80)=0.76由此可見，方程二的實(shí)際擬合程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于方程一。第70頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月71(二)顯著性檢驗(yàn)1．回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)多元回歸中進(jìn)行這一檢驗(yàn)的目的主要是為了檢驗(yàn)與各回歸系數(shù)對(duì)應(yīng)的自變量對(duì)因變量的影響是否顯著，以便對(duì)自變量的取舍做出正確的判斷。一般來說，當(dāng)發(fā)現(xiàn)某個(gè)自變量的影響不顯著時(shí)，應(yīng)將其從模型中刪除。這樣才能夠做到以盡可能少的自變量去達(dá)到盡可能高的擬合優(yōu)度。多元模型中回歸系數(shù)的檢驗(yàn)同樣采用ｔ檢驗(yàn)和P檢驗(yàn)，其原理和基本步驟與一元回歸模型基本相同，這里不再贅述。下面僅給出回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)ｔ統(tǒng)計(jì)量的一般計(jì)算公式。第71頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月72j=1,2,…,k式中，是回歸系數(shù)的估計(jì)值，

是的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值，其按下式計(jì)算：式中，是(X’X)-1的第j個(gè)對(duì)角線元素，S2是隨機(jī)誤差項(xiàng)方差的估計(jì)值。上式的t統(tǒng)計(jì)量背后的原假設(shè)是Ｈ0：βj=0，因此t的絕對(duì)值越大表明βj為0的可能性越小，即表明相應(yīng)的自變量對(duì)因變量的影響是顯著的。第72頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月732．回歸方程的顯著性檢驗(yàn) 必須在方差分析的基礎(chǔ)上利用Ｆ檢驗(yàn)進(jìn)行。其具體的方法步驟可歸納如下：（1）假設(shè)總體回歸方程不顯著，即有

H0：β2＝β3＝……＝βk＝0

（2）進(jìn)行方差分析，列出回歸方差分析表（見下表）第73頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月74回歸模型方差分析表表中，回歸平方和的取值受ｋ個(gè)回歸系數(shù)估計(jì)值的影響，同時(shí)又要服從的約束條件，因此其自由度是k-1。殘差平方和取決于n個(gè)因變量的觀測(cè)值，同時(shí)又要服從k個(gè)正規(guī)方程式的約束，因此其自由度是n-k。回歸平方和與殘差平方和各除以自身的自由度得到的是樣本方差。第74頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月75（3）根據(jù)方差分析的結(jié)果求Ｆ統(tǒng)計(jì)量，即 數(shù)學(xué)上可以證明，在隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布同時(shí)原假設(shè)成立的條件下，Ｆ服從于自由度為(k-1)和(n-k)的Ｆ分布。（4）根據(jù)自由度和給定的顯著性水平α，查F分布表中的理論臨界值Fα。當(dāng)F>Fα?xí)r，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為總體回歸函數(shù)中各自變量與因變量的線性回歸關(guān)系顯著。當(dāng)F<Fα?xí)r，接受原假設(shè)，即認(rèn)為總體回歸函數(shù)中，自變量與因變量的線性關(guān)系不顯著，因而所建立的回歸模型沒有意義。第75頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月76（三）多元線性回歸預(yù)測(cè)在通過各種檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上，多元線性回歸模型可以用于預(yù)測(cè)。多元線性回歸預(yù)測(cè)與一元線性回歸預(yù)測(cè)的原理是一致的，其基本公式如下：式中，Xjf(j=2,3,……k)是給定的Xj在預(yù)測(cè)期的具體數(shù)值；是已估計(jì)出的樣本回歸系數(shù)；是Xj給定時(shí)Ｙ的預(yù)測(cè)值。該方程的矩陣形式為：第76頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月77

式中：多元線性回歸預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)誤差的計(jì)算公式如下： 式中，S是回歸方程估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差。多元線性回歸預(yù)測(cè)Ｙf的（１－α）的置信區(qū)間可由下式給出： 式中，tα/2是顯著水平為α的t分布雙側(cè)臨界值。第77頁，課件共84頁，創(chuàng)作于2023年2月78四、復(fù)相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)（一）復(fù)相關(guān)系數(shù)樣本復(fù)相關(guān)系數(shù)（以下簡(jiǎn)稱復(fù)相關(guān)系數(shù)）的定義式如下：實(shí)際計(jì)算復(fù)相關(guān)系數(shù)時(shí)，一般不直接根據(jù)其定義式，而是先計(jì)算出決定系數(shù)，然后再求決定系數(shù)的平方根