復(fù)變函數(shù)第七講課件

第七講泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)羅朗(Lauren級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)(西交大)第七講第七講泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)羅朗(Lauren級(jí)數(shù)§43泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)1.泰勒展開定理2.展開式的唯一性3.簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒展開式1.泰勒(ayor)展開定理由§4.2冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)知:一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù)現(xiàn)在研究與此相反的問題個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)表達(dá)?或者說,一個(gè)解析函數(shù)能否展開成冪級(jí)數(shù)?解析函數(shù)在解析點(diǎn)能否用冪級(jí)數(shù)表示?)以下定理給出了肯定回答任何解析函數(shù)都一定能用冪級(jí)數(shù)表示。引言伴隨著我國(guó)社會(huì)的不斷進(jìn)步，教育水平的不斷提高，道德教育作為學(xué)校教育不可缺少的組分，不斷深化發(fā)展，教育學(xué)家赫爾巴特曾在道德教育與教學(xué)關(guān)系的論述中，指出兩者具有極為緊密的聯(lián)系，相互滲透，相互依賴，精辟的指出了教學(xué)中的教育性原則。小學(xué)數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)性學(xué)科，在教育性原則的體現(xiàn)及德育滲透方面的重要性不言而喻。小學(xué)數(shù)學(xué)在性質(zhì)上屬于理性學(xué)科，但其蘊(yùn)含的德育因素極為豐富，數(shù)學(xué)的發(fā)展歷經(jīng)曲折，經(jīng)過眾多科學(xué)家不斷探索、潛心研究，才有了如今的發(fā)展，這也奠定了數(shù)學(xué)作為德育滲透教材的基礎(chǔ)。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，傳授基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，應(yīng)適時(shí)的進(jìn)行德育教育，便于學(xué)生綜合素質(zhì)的提升。針對(duì)上述情況，筆者結(jié)合自身實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，并通過相關(guān)文獻(xiàn)閱讀，分析闡述了當(dāng)今小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透德育的重要意義，并從五個(gè)方面分析論述了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中德育滲透的思路與相關(guān)實(shí)踐方案。1.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透德育教育的意義隨著德育一直以來都是學(xué)校教育不可缺少的組分，現(xiàn)今新課標(biāo)更是將德育教育置于重要地位。小學(xué)數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)性學(xué)科，在教育方針的貫徹、全民素?|的提高方面的重要性不言而喻。在數(shù)學(xué)教育中進(jìn)行德育滲透，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)較高、實(shí)踐能力和適應(yīng)能力較強(qiáng)的新型人才，已逐步發(fā)展成為現(xiàn)如今小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一。在傳統(tǒng)觀念中，德育教育屬于語文、歷史、政治等文科教學(xué)的任務(wù)，數(shù)學(xué)屬于自然科學(xué)的理性學(xué)科，不必開展德育教學(xué)。但仔細(xì)分析數(shù)學(xué)教材不難發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的德育因素極為豐富，例如，數(shù)學(xué)的發(fā)展歷經(jīng)曲折，是科學(xué)家不斷探索、潛心研究的結(jié)果，對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)等精神品德的培養(yǎng)有著重要作用。除此之外，在教學(xué)過程中，通過教師特殊的教學(xué)設(shè)計(jì)可以很好地實(shí)現(xiàn)辯證唯物主義的滲透，日常品德的灌輸，以及師生感情的培養(yǎng)等德育方面的教學(xué)目的。綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)作為教育的一部分，其德育教育滲透必不可少，通過數(shù)學(xué)具體數(shù)據(jù)與德育理論的結(jié)合，并以優(yōu)美的圖表形式展現(xiàn)，對(duì)于思想相對(duì)稚嫩的小學(xué)生來說，具有極為重要的教育意義。2.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中德育滲透思路與實(shí)踐2.1聯(lián)系實(shí)際，進(jìn)行學(xué)習(xí)目的教育數(shù)學(xué)雖然是屬于自然科學(xué)范疇的基礎(chǔ)性學(xué)科，但其實(shí)用性極強(qiáng)，相關(guān)知識(shí)在日常生活、生產(chǎn)實(shí)踐以及科技發(fā)展等眾多領(lǐng)域均具有極為廣泛的應(yīng)用。因此，教師應(yīng)結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的這一特點(diǎn)，并針對(duì)小學(xué)生的年齡特征及對(duì)相關(guān)知識(shí)的接受能力，聯(lián)系生活實(shí)際，進(jìn)行相關(guān)知識(shí)講解，以此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性，從而達(dá)到深入淺出的教育目的。例如，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材三年級(jí)下冊(cè)第一章“元、角、分與小數(shù)”的教學(xué)中，便可結(jié)合其在日常生活中的廣泛應(yīng)用，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，同時(shí)滲透愛惜人民幣、勤儉節(jié)約等相關(guān)品德。再如，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)第二章“認(rèn)識(shí)圖形”中，涉及“三角形、平行四邊形”的相關(guān)教學(xué)，教師可以結(jié)合三角形的穩(wěn)定性及平行四邊形活動(dòng)性等特征，介紹其在日常及生產(chǎn)中的應(yīng)用――三角形支架、掛衣架等，有意識(shí)的加大德育滲透，例如講述掛衣架便可結(jié)合“父母辛苦下班回家后，同學(xué)們會(huì)幫爸媽把衣服掛在衣架上”這一實(shí)例來滲透“孝”這一中華美德。通過教師理論知識(shí)與實(shí)際生活的聯(lián)系，學(xué)生便能更加明確所學(xué)知識(shí)的重要性。除此之外，還可通過報(bào)刊、廣播等現(xiàn)代化信息資源，進(jìn)行有計(jì)劃、有目的的教學(xué)，介紹相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用實(shí)例，開闊學(xué)生眼界，增強(qiáng)學(xué)生求知欲，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力。2.2結(jié)合對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)過程的指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的思想品德通過對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)過程的改進(jìn)，進(jìn)行德育教育的滲透。一方面，結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)行品德教育。小學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)教材在素材選擇上，內(nèi)容更加寬廣、內(nèi)涵更加豐富，德育素材極為豐富。因此，應(yīng)對(duì)德育因素進(jìn)行針對(duì)性的挖掘，利用不同的教學(xué)形式進(jìn)行德育教育滲透，對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感、生活態(tài)度及價(jià)值觀的教育。另一方面，可以通過數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)及其他教育形式開展德育滲透。例如，借助多媒體、電視、電影等現(xiàn)代化信息方式生動(dòng)的展現(xiàn)經(jīng)典的德育事件、數(shù)學(xué)科學(xué)家故事；通過進(jìn)行家訪、舉辦家長(zhǎng)座談會(huì)等各種活動(dòng)形式，進(jìn)行相關(guān)德育滲透。2.3示范導(dǎo)行，進(jìn)行良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的教育自古以來，教師教學(xué)中都講究言傳身教的教學(xué)方法。針對(duì)小學(xué)生喜歡模仿的特點(diǎn)，在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，教師應(yīng)嚴(yán)格約束自己，起到良好的示范作用，以便學(xué)生良好習(xí)慣的養(yǎng)成。例如，在教學(xué)中通過得體的言談舉止，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)，認(rèn)真的工作態(tài)度等，以及某些不經(jīng)意的細(xì)節(jié)處理，對(duì)學(xué)生進(jìn)行言傳身教，使其養(yǎng)成良好的生活學(xué)習(xí)習(xí)慣，達(dá)到德育滲透。在教學(xué)過程中，“身教”往往比“言傳”具有更強(qiáng)的教育效果，比活動(dòng)形式的教育力度更持久，比課本的教育更為廣泛。因此，身為教師應(yīng)謹(jǐn)言慎行，起到良好的帶頭作用，成為學(xué)生學(xué)習(xí)的榜樣，在數(shù)學(xué)教育中不斷進(jìn)行德育的滲透。例如，小學(xué)數(shù)學(xué)中計(jì)算、應(yīng)用題比重極大，需要學(xué)生們養(yǎng)成細(xì)心、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣，教師便可針對(duì)這一特點(diǎn)，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，同時(shí)應(yīng)在教學(xué)過程中嚴(yán)格約束自己，達(dá)到嚴(yán)謹(jǐn)、細(xì)心。2.4培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)與合作探究的能力教師應(yīng)改變傳統(tǒng)灌輸式教學(xué)模式，適應(yīng)新型的合作探究教學(xué)觀念，在學(xué)生們互動(dòng)交流過程中，配合教師及時(shí)的指導(dǎo)，有利于學(xué)生與人交流、合作等方面的品德修養(yǎng)的提高，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)意識(shí)，使學(xué)生形成良好的集體觀念與合作精神。3.結(jié)語綜上所述，寓教于樂，育德為先。德育是學(xué)校教育的重要內(nèi)容之一，其重要性不言而喻。德育滲透是教師的共同責(zé)任，在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師應(yīng)注重教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)，注重德育內(nèi)容滲透，聯(lián)系實(shí)際，進(jìn)行學(xué)習(xí)目的教育，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)與合作探究的能力，以教師的人格魅力促進(jìn)學(xué)生優(yōu)良品質(zhì)的形成，使學(xué)生在掌握課堂基本知識(shí)的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)思想品德與智力能力的共同進(jìn)步。一、開展農(nóng)村高中數(shù)學(xué)微課教學(xué)的意義（一）創(chuàng)造環(huán)境，增加興趣微課本身包括了很多教學(xué)材料，所以教師在創(chuàng)造教學(xué)環(huán)境的時(shí)候可以利用微課視頻來模擬現(xiàn)實(shí)生活，讓學(xué)生切身體會(huì)教學(xué)的內(nèi)容。這也使學(xué)生能夠生動(dòng)形象地理解自己所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，使得抽象的知識(shí)變得更為直觀易懂。例如，在教學(xué)“指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容時(shí)，教師可以通過微視頻來展示細(xì)胞的變化過程，這樣不但使學(xué)生了解指數(shù)函數(shù)的變化趨勢(shì)，也使學(xué)生更加了解細(xì)胞分裂。既激發(fā)了學(xué)生的好奇心，又能夠讓學(xué)生有更大的興趣來接納和吸收新課程的新知識(shí)，在培養(yǎng)學(xué)生微課學(xué)習(xí)興趣方面有著極大的作用。（二）完善知識(shí)，突破難點(diǎn)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，知識(shí)點(diǎn)過難會(huì)給學(xué)生的認(rèn)識(shí)增加困難。但是微課教學(xué)不但能夠讓學(xué)生形成模塊的概念，還能夠讓學(xué)生清晰地分析數(shù)學(xué)內(nèi)容，甚至還可以發(fā)現(xiàn)和推理數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與邏輯順序，從中更好地搭建自身知識(shí)體系。例如，教師可以把數(shù)學(xué)內(nèi)容中的重點(diǎn)與難點(diǎn)用微課進(jìn)行闡述，重點(diǎn)問題重點(diǎn)介紹，再把各個(gè)難點(diǎn)串聯(lián)起來，讓學(xué)生能夠體會(huì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，也能讓學(xué)生更清楚明白地去了解其中的內(nèi)涵，并加深學(xué)生對(duì)重點(diǎn)、難點(diǎn)的印象。（三）豐富資源，合作探究微課教學(xué)是學(xué)校教學(xué)最為有效的資源之一。不同水平的學(xué)生，對(duì)于所學(xué)內(nèi)容的理解程度不同，微課教學(xué)的出現(xiàn)，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)更加有針對(duì)性，學(xué)生能夠?qū)ΠY下藥，彌補(bǔ)自身的缺陷和不足，同時(shí)也可以讓學(xué)生合理安排自己的學(xué)習(xí)時(shí)間，此外還可以為大家提供自己在學(xué)習(xí)中遇到的問題，有效開展小組討論，增加學(xué)生之間的交流溝通。例如，在學(xué)習(xí)“初等函數(shù)”這一內(nèi)容的時(shí)候，教師可以在微課中播放相關(guān)的教學(xué)視頻，全面圍繞“初等函數(shù)”的實(shí)例舉例，開發(fā)學(xué)生全面的教學(xué)思路。二、農(nóng)村高中數(shù)學(xué)微課的應(yīng)用探究（一）新課預(yù)習(xí)，導(dǎo)入微課教學(xué)在教師課堂的導(dǎo)入中應(yīng)用的微課教學(xué)，應(yīng)該是針對(duì)個(gè)別對(duì)數(shù)學(xué)沒有興趣的高中生采用的措施。微課的導(dǎo)入，能夠?yàn)檎n上教學(xué)埋下伏筆，能夠從側(cè)面來讓學(xué)生對(duì)課上所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行了解。總的來說，結(jié)合一些教材的重點(diǎn)與教學(xué)的相關(guān)問題，來做成微課的視頻，并幫助學(xué)生適應(yīng)過渡的階段。例如，在學(xué)習(xí)“系統(tǒng)排列”的內(nèi)容時(shí)，教師可以從“座位排列”開始制作視頻，過程中可以模擬出的公車現(xiàn)場(chǎng)，分別讓兩位女學(xué)生與兩位男同學(xué)扮演車上的乘客，進(jìn)行一場(chǎng)座位排練的實(shí)驗(yàn)，要求就是把四張車票分別發(fā)給學(xué)生，并要求學(xué)生男女相間而坐。嘗試后發(fā)現(xiàn)座位安排的方法有太多種了，從中導(dǎo)入“排列計(jì)算”的教學(xué)理念。（二）微課教學(xué)，探析難點(diǎn)高中教學(xué)課堂以培養(yǎng)學(xué)生的思維創(chuàng)新能力作為目標(biāo)。所以教學(xué)課堂上經(jīng)常會(huì)以應(yīng)用探究來進(jìn)行一些課程的教學(xué)，主旨就是讓學(xué)生圍繞教學(xué)的難題和重點(diǎn)去學(xué)習(xí)，為發(fā)揮教師在這環(huán)節(jié)的引導(dǎo)性，也不失學(xué)生對(duì)于課堂的重要性，那教師更應(yīng)該把教學(xué)過程的重點(diǎn)與難點(diǎn)用微課的形式展現(xiàn)出來，微課的出現(xiàn)使每一節(jié)課的主題都十分明顯，能夠從宏觀的角度使學(xué)生了解并概括本節(jié)課的重點(diǎn)，通過重點(diǎn)的展開和微課的總結(jié)，不但能夠使學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考，而且還提高了學(xué)生的邏輯思維與創(chuàng)新能力。這樣老師的課堂內(nèi)容也會(huì)顯得井然有序，有側(cè)重點(diǎn)。同時(shí)教師們還可以把相關(guān)的難點(diǎn)微課視頻放入教師群中進(jìn)行交流，也可以借鑒其他老師制作的微課視頻，一起探討，共同研究。最后老師還可以將微課提供學(xué)生下載課后反復(fù)復(fù)習(xí)，這將會(huì)使學(xué)生更加容易掌握教學(xué)難點(diǎn)，加深對(duì)所學(xué)內(nèi)容的印象和理解。（三）課下練習(xí)，運(yùn)用微課知識(shí)通過上文所描述，微課教學(xué)不只是課堂教學(xué)，它更體現(xiàn)一種對(duì)當(dāng)前教學(xué)體系的思考，體現(xiàn)了老師們對(duì)于教學(xué)方式的改革創(chuàng)新。微課的制作不僅僅局限于老師，也可以安排該學(xué)生來實(shí)踐，這樣對(duì)學(xué)生在課下的練習(xí)有著很大的實(shí)效作用。尤其是在農(nóng)村地區(qū)的高中教學(xué)，學(xué)習(xí)氛圍不是很好，學(xué)校的信息建設(shè)是很不完善的，師生交流并沒有專門的資源平臺(tái)，這樣的結(jié)果很容易導(dǎo)致學(xué)生信息閉塞，而且老師對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況難以了解，學(xué)生很可能學(xué)到的是相對(duì)片面的知識(shí)。如果用微課進(jìn)行教學(xué)的話，學(xué)生能夠時(shí)時(shí)刻刻總體把握老師所講，這肯定會(huì)使學(xué)生能夠全面了解自己所學(xué)的內(nèi)容，最為重要的是高三學(xué)生復(fù)習(xí)過程中，微課的一些資源也可以幫助學(xué)生反復(fù)復(fù)習(xí)并加深印象，也能夠使他們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中抓住主要矛盾，抓住問題難點(diǎn)、課程重點(diǎn)，從而大大提高了學(xué)習(xí)效率，使學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間得到充分利用。再者就是老師還可以用微課視頻來進(jìn)行部分知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)訓(xùn)練，給予學(xué)生不同難度的拓展訓(xùn)練，全面滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。千里之行始于足下，知識(shí)體系的構(gòu)建不能一蹴而就，需要我們把每一個(gè)重點(diǎn)做好，而做好重點(diǎn)的重要方法就是微課這種教學(xué)形式，?@不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，降低學(xué)生學(xué)習(xí)理解的難度，并且還能開發(fā)農(nóng)村高中的教學(xué)資源，讓現(xiàn)有的資源更好地投入學(xué)生學(xué)習(xí)當(dāng)中，同時(shí)還可以幫助學(xué)生開啟新的想法思路，全面提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。所以，教師在進(jìn)行教學(xué)模式開發(fā)的時(shí)候，就應(yīng)該充分重視微課教學(xué)的重大作用，結(jié)合相關(guān)的內(nèi)容把微課引導(dǎo)入農(nóng)村高中數(shù)學(xué)課堂中?！?3泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)1.泰勒展開定理2.展開式的唯一性3.簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒展開式1.泰勒(ayor)展開定理由§4.2冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)知:一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù)現(xiàn)在研究與此相反的問題個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)表達(dá)?或者說,一個(gè)解析函數(shù)能否展開成冪級(jí)數(shù)?解析函數(shù)在解析點(diǎn)能否用冪級(jí)數(shù)表示?)以下定理給出了肯定回答任何解析函數(shù)都一定能用冪級(jí)數(shù)表示。定理(泰勒展開定理)設(shè)f(x)在區(qū)域D內(nèi)解析,∈D,R為x到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離→當(dāng)z-0<R時(shí),f(x)2c1(z-xy()f(2)在=處勺Taylor級(jí)數(shù)其中:Cn=,f("(x)n=0,1,2多D分析:cn=,f"(a)1f()27aik:5-an=r代入(1)得∑c(x-a)=∑(x-x0)H=0n=0f()多Dds(z-z0)2nk(2-o)s(5)(x-ao)"l51)m又f(z)==16f()2niJk5-z2)比較1),2)有,z-z0)”()(-x0)-3=q<1,注意到115-x541+)"+…12)故(2=>=2n=)(z-x0)”-(得證!證明設(shè)k:-a0=r,rsC不講z為k內(nèi)任一點(diǎn)由Cchy積分公式:f(x)=2丌q4x-3[1++()(3)(不講)兩端乘以f(),沿著逐項(xiàng)積分得,2元1rf(s∫(x)=2mn5-32raif()d4+2niJk(s-zo)f(4)mids2f∫(zo)+∫'(o)+…+f(")((x-0