第九講數(shù)據(jù)插值與擬合

第九講數(shù)據(jù)插值與擬合第1頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月引言在工程實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常常需要從一組實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)揭示自變量x與因變量y之間的關(guān)系，

一般可以用一個(gè)近似的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f（x）來表示

通?？梢圆捎脙煞N方法：曲線擬合和插值

擬合主要是考慮到觀測(cè)數(shù)據(jù)受隨機(jī)誤差的影響，尋求整體誤差最小、較好反映觀測(cè)數(shù)據(jù)的近似函數(shù)，并不保證所得到的函數(shù)一定滿足曲線擬合的目的是根據(jù)實(shí)驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)去建立因變量與自變量之間有效的經(jīng)驗(yàn)函數(shù)關(guān)系，為進(jìn)一步的深入研究提供線索第2頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

插值函數(shù)一般是已知函數(shù)的線性組合或者稱為加權(quán)平均．插值在工程實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中有著非常廣泛而又十分重要的應(yīng)用，例如，信息技術(shù)中的圖像重建、圖像放大中為避免圖像的扭曲失真的插值補(bǔ)點(diǎn)、建筑工程的外觀設(shè)計(jì)?；瘜W(xué)工程實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與模型的分析、天文觀測(cè)數(shù)據(jù)、地理信息數(shù)據(jù)的處理如(天氣預(yù)報(bào)）以及社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)分析等等．插值則要求函數(shù)在每個(gè)觀測(cè)點(diǎn)處一定要滿足

第3頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1、船在該海域會(huì)擱淺嗎

在某海域測(cè)得一些點(diǎn)(x，y)處的水深z（單位：英尺）由下表給出，水深數(shù)據(jù)是在低潮時(shí)測(cè)得的．船的吃水深度為5英尺，問在矩形區(qū)域(75,200)*(-50，150）里的哪些地方船要避免進(jìn)人．

一、實(shí)例及其模型第4頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月分析由于測(cè)量點(diǎn)是散亂分布的，先在平面上作出測(cè)量點(diǎn)的分布圖，再利用二維插值方法補(bǔ)充一些點(diǎn)的水深，然后作出海底曲面圖和等高線圖，并求出水深小于5的海域范圍．第5頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在化學(xué)反應(yīng)中，為研究某化合物的濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律，測(cè)得一組數(shù)據(jù)如表2、濃度的變化規(guī)律表中的數(shù)據(jù)反映了濃度隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系，它是一種離散關(guān)系若需要推斷20，40分鐘時(shí)的濃度值，能否用一個(gè)顯函數(shù)y=f(t)來擬合表中的離散數(shù)據(jù)，然后再計(jì)算濃度值f(20),f（40）?第6頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月問題分析（1）首先將這些離散數(shù)據(jù)分布在直角坐標(biāo)系下，由此可發(fā)現(xiàn)濃度與時(shí)間之間呈現(xiàn)什么規(guī)律．這種數(shù)據(jù)分布在直角坐標(biāo)系下的圖形被稱為散點(diǎn)圖；（2）根據(jù)散點(diǎn)圖，判段它接近于哪類函數(shù)曲線，即確定函數(shù)形式（3）函數(shù)形式確定以后，關(guān)鍵是要確定函數(shù)中含有的待定參數(shù)。最常用的確定待定系數(shù)的方法是，曲線擬合的最小二乘法

第7頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、插值與擬合1、插值方法（1）分段線性插值分段線性插值的提法如下：

第8頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）分段三次埃爾米特插值

在插值問題中，如果除了插值節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值給定外，還要求在節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為給定值，即插值問題變?yōu)橄喈?dāng)于在每一小段上應(yīng)滿足四個(gè)條件（方程），可以確定四個(gè)待定參數(shù)．三次多項(xiàng)式正好有四個(gè)系數(shù)，所以可以考慮用三次多項(xiàng)式函數(shù)作為插值函數(shù)，這就是分段三次埃爾米特插值，它與分段線性插值一起都稱為分段多項(xiàng)式插值

第9頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）三次樣條插值第10頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、曲線擬合的最小二乘法給定平面上的點(diǎn)進(jìn)行曲線擬合有多種方法，最小二乘法是解決曲線擬合最常用的一種方法最小二乘法的原理是求f(x),使達(dá)到最小簡(jiǎn)單地說，最小二乘法準(zhǔn)則就是使所有散點(diǎn)到曲線的距離平方和最小第11頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性最小二乘法擬合函數(shù)可由一些簡(jiǎn)單的“基函數(shù)”（例如冪函數(shù)，三角函數(shù)等等）

來線性表示現(xiàn)在要確定系數(shù)使達(dá)到極小為此

第12頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、插值的matlab實(shí)現(xiàn)1、一維插值MATLAB中的插值函數(shù)為interp1，其調(diào)用格式為

其中x，y為插值點(diǎn)，yi為在被插值點(diǎn)xi處的插值結(jié)果，x,y為向量。

注意：所有的插值方法都要求x是單調(diào)的，并且xi不能夠超過x的范圍。第13頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月MATLAB提供的插值方法有幾種

表示采用的插值方法：分段線性插值：三次Hermite插值（立方插值）：三次分段樣條插值：最近點(diǎn)等值方式缺省時(shí)表示線性插值

第14頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例1

在一天24小時(shí)內(nèi)，從零點(diǎn)開始每間隔2小時(shí)測(cè)得的環(huán)境溫度數(shù)據(jù)分別為

12，9，9，1，0，18，24，28，27，25，20，18，15，13，推測(cè)中午（即13點(diǎn)）時(shí)的溫度．x=0：2：24；y=[129910182428272520181513]；x1＝13；y1＝interp1（x，y，x1，‘spline’）若要得到一天24小時(shí)的溫度曲線x=0：2：24；y=[129910182428272520181513]xi＝0：1／3600：24；yi=interp1(x,y,xi,’spline’);plot(x,y,’o’,xi,yi)第15頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、高維插值N維插值函數(shù)interpN（）其中N可以為2，3，……，如N＝2為二維插值，調(diào)用格式為

其中x，y，z為插值節(jié)點(diǎn)，zi為被插值點(diǎn)(xi，yi)處的插值結(jié)果且，xi，yi為被插值節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的新的網(wǎng)格數(shù)據(jù)‘methods’代表的意思和可選擇的插值方法和前面一樣注意：所有的插值方法都要求x和y是單調(diào)的網(wǎng)格，x和y可以是等距的也可以是不等距的(1)網(wǎng)格數(shù)據(jù)插值問題第16頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2

氣旋變化情況的可視化下表是氣象學(xué)家測(cè)量得到的氣象資料，它們分別表示在南半球地時(shí)按不同緯度。不同月份的平均氣旋數(shù)字．根據(jù)這些數(shù)據(jù)，繪制出氣旋分布曲面圖形第17頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月y=5:10:85;x=1:12;[x,y]=meshgrid(x,y);plot(x,y,'*');pausez=[2.4,1.6,2.4,3.2,1.0,0.5,0.4,0.2,0.5,0.8,2.4,3.6;18.721.416.29.22.81.71.42.45.89.210.316;20.818.518.216.612.910.18.311.212.521.123.925.5;22.120.120.525.129.232.633.031.028.632.028.125.6;37.328.827.837.240.341.746.239.935.940.338.243.4;48.236.635.54037.635.43534.735.739.54041.9;25.624.225.524.621.122.220.221.222.628.525.324.3;5.35.35.44.94.97.15.37.378.66.36.6;0.3,0,0,0.3,0,0,0.1,0.2,0.3,0,0.1,0.3];figuresurf(x,y,z)pause[xi,yi]=meshgrid(1:12,5:1:85);zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'spline');figuremesh(xi,yi,zi)xlabel('月份'),ylabel('緯度'),zlabel('氣旋'),axis([012090050])title('南半球氣旋可視化圖形')第18頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）、一般二維分布的數(shù)據(jù)插值

在實(shí)際應(yīng)用問題中，大部分的數(shù)據(jù)以實(shí)測(cè)的多組（xi,yi,zi）給出，所以不能直接使用interp2（）函數(shù)。Matlab中提供了另一個(gè)函數(shù)griddata()，用來專門解決這類問題。其調(diào)用格式如下Z=griddata(x,y,z,x0,y0,’method’)x,y,z是已知樣本點(diǎn)的坐標(biāo)，可以是任意分布的。X0,y0是期望的插值位置，即被插值節(jié)點(diǎn),可以是單點(diǎn)，向量或者網(wǎng)格型矩陣插值方法，除了上面的方法外，還有一個(gè)是4.0版本提供的一個(gè)插值方法，選項(xiàng)為’v4’第19頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四、曲線擬合的matlab實(shí)現(xiàn)1、已知函數(shù)原型的（1）多項(xiàng)式擬合假設(shè)已知函數(shù)原型為

Matlab提供的擬合函數(shù)為

a=polyfit(xdata,ydata,n)其中n表示多項(xiàng)式的最高階數(shù)，xdata，ydata為將要擬合的數(shù)據(jù)，它是用數(shù)組的方式輸入輸出參數(shù)a為擬合多項(xiàng)式的系數(shù)

注：多項(xiàng)式在x處的值y可用下面程序計(jì)算．

y=polyval(a,x)第20頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月T=[19.125.030.136.040.045.150.0];R=[76.3077.8079.2580.8082.3583.9085.10];PR=polyfit(T,R,1);t=10:60;r=polyval(PR,t);plot(T,R,'*',t,r)解：Matlab程序第21頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）一般函數(shù)線性組合的曲線擬合假設(shè)已知函數(shù)原型為通過求解線性方程可得待定系數(shù)，一般方法：X=[…]%已知數(shù)據(jù)x的列向量Y=[…]%已知數(shù)據(jù)y的列向量A=[f1(X),f2(X),…,fm(X)]%系數(shù)矩陣，fm（）為基函數(shù)c=A\y第22頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：matlab程序X=[00.10.20.30.40.50.6]'Y=[22.202542.407152.615922.830963.054483.28876]'A=[ones(size(X)),exp(X),exp(-X)];c1=A\Y;C=c1'x=0:0.05:1;y=C(1)+C(2)*exp(x)+C(3)*exp(-x);plot(X,Y,'*',x,y)第23頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）一般的曲線擬合假設(shè)已知函數(shù)原型是一般的函數(shù)，可以是多項(xiàng)式，可以是線性，也可以是非線性的，一般情況下用這個(gè)來求解非線性情況

Matlab在優(yōu)化工具箱中提供的求解一般的曲線擬合函數(shù)lsqcurvefit(),其調(diào)用格式如下其中Fun表示函數(shù)Fun(p,data)的M函數(shù)文件，p0表示函數(shù)的初值.。p=lsqcurvefit(‘Fun’,p0,xdata,ydata)注：若要求解點(diǎn)x處的函數(shù)值可用程序f=Fun(p,x)計(jì)算

第24頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(1)函數(shù)原型m文件functiony=fname(a,t)y=a(1)*exp(-a(2)*t);注：因?yàn)楹竺婵赡芤玫接?jì)算函數(shù)在一些點(diǎn)上的值，因此寫函數(shù)原型表達(dá)式時(shí)，記得用點(diǎn)運(yùn)算第25頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月tk=[0.20.30.40.50.60.70.8];Ik=[3.162.381.751.341.000.740.56];a=lsqcurvefit('fna