高中數(shù)學人教A版選修一數(shù)學歸納法優(yōu)秀課件

新課導入

探究試證：-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)=(-1)n4.1數(shù)學歸納法教學目標知識與能力

了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍和基本步驟.過程與方法1.通過遞推思想研究數(shù)學歸納法.2.通過多米若骨牌游戲這個模型直觀地類比抽象的數(shù)學歸納法.情感態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)學生嚴密的邏輯思維能力和嚴謹?shù)膽B(tài)度.教學重難點重點難點

了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍和基本步驟.排序不等式的證明思路及應(yīng)用.

探究

多米若骨牌是一種碼放骨牌的游戲，碼放時保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定會導致后一塊骨牌倒下.這樣，只要推倒第一塊骨牌，就可以導致第二塊骨牌倒下……最后，不論有多少塊骨牌，都能倒下.

你知道為什么所有骨牌都會倒下嗎？分析使所有骨牌都倒下的條件有兩個：(1)第一塊骨牌倒下；(2)任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下.

其中，條件(2)事實上是一個遞推關(guān)系；當?shù)趉塊倒下時，相鄰的第k+1塊也倒下.只要保證(1)(2)成立，那所有的骨牌一定會全部倒下.按照上述思路證明題目會怎樣？證明(1)當n=1時，等式左右兩邊都等于-1，即這時等式成立.(2)假設(shè)當n=k(k≥1)時等號成立，即-1+3-5+…+(-1)k(2k-1)=(-1)kk此時，左邊=-1+3-5+…+(-1)k(2k-1)+(-1)k+1[2(k+1)-1]=(-1)k[-k+2(k+1)-1]=(-1)k+1(k+1)=右邊所以當n=k+1時，等號成立.由(1)(2)可證等式成立.了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍和基本步驟.然后再用數(shù)學歸納法證明猜想成立.即1+3+…+(2k-1)=k2.(1)當n=1時，命題成立.所以當n=k+1時，等號成立.(2)假設(shè)當n=k(kN+,且k≥n0）時命題成立，證明n=k+1時命題也成立.過這些點中任意兩點作直線，這樣的直線共有多少條？證明你的結(jié)論.你知道為什么所有骨牌都會倒下嗎？由(1)(2)知，命題對一切正整數(shù)成立.你認為數(shù)學歸納法的基本思想是什么？(2)假設(shè)當n=k時命題成立，證明n=k+1時命題也成立.左邊=-1+3-5+…+(-1)k(2k-1)+(-1)k+1[2(k+1)-1]了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍其中，條件(2)事實上是一個遞推關(guān)系；=(-1)k+1(k+1)當證明一個命題對于不小于某正整數(shù)的所有正整數(shù)n都成立，可以用數(shù)學歸納法.而遞推是實現(xiàn)從有限到無限的飛越關(guān)鍵.(1)證明當n=n0時命題成立；解：凸n邊形有條對角線.使所有骨牌都倒下的條件有兩個：凸n邊形有多少條對角線？總結(jié)

當證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立，可以用以下兩個步驟：(1)證明當n=n0

時命題成立；(2)假設(shè)當n=k(kN+,且k≥n0）時命題成立，證明n=k+1時命題也成立.數(shù)學歸納法思考

你認為數(shù)學歸納法的基本思想是什么？

在數(shù)學歸納法的兩個步驟中，第一步是奠基，第二步是假設(shè)與遞推.這兩部非常重要，缺一不可.而遞推是實現(xiàn)從有限到無限的飛越關(guān)鍵.例1

證明：n3+5n(nN+)能夠被6整除.分析

這是一個與整除有關(guān)的命題，它涉及全體正整數(shù)，若用數(shù)學歸納法證明，第一步應(yīng)證n=1時命題成立；第二步要明確目標，即在假設(shè)k3+5k能夠被6整除的前提下證明.證明(1)當n=1時，n3+5n=6顯然能夠被6整除，命題成立.(2)假設(shè)n=k(k≥1)時，命題成立，即k3+5k能被6整除.當n=k+1時，(k+1)3+5(k+1)=(k3+5k)+3k(k+1)+6.由假設(shè)知k3+5k能被6整除，而k(k+1)是偶數(shù)，故3k(k+1)能夠被6整除。因此，當n=k+1時命題成立.

由(1)(2)知，命題對一切正整數(shù)成立，即n3+5n(nN+)能夠被6整除.例2

平面上有n(nN+,n≥3)個點，其中任何三點都不在同一條直線上.過這些點中任意兩點作直線，這樣的直線共有多少條？證明你的結(jié)論.分析

可以先從有限個點的情況中，歸納出一個猜想；然后再用數(shù)學歸納法證明猜想成立.解：猜想過n個點(任意三點不共線)中任意兩點作直線，共有.證明(1)當n=3時，命題成立.(2)假設(shè)當n=k時命題成立,即過k個點(任意三點不共線)中任意兩點作直線，這樣的直線共有當n=k+1時，共有k+1個點(任意三點不共線)，過k個點中的任一兩點作直線，這樣的直線共有條，過這k個點中的任意一點與第k+1個點作直線，這樣的直線共有k條.因此，過這k+1個點中任意兩點作直線，這樣的直線共有所以當n=k+1時命題成立.由(1)(2)可知，猜想正確.思考

結(jié)合上述證明過程，你認為數(shù)學歸納法有什么特殊作用嗎？數(shù)學歸納法實現(xiàn)了由有限到無限的飛躍課堂小結(jié)1.數(shù)學歸納法的步驟：(1)證明當n=n0時命題成立；(2)假設(shè)當n=k時命題成立，證明n=k+1時命題也成立.2.數(shù)學歸納法的應(yīng)用.

當證明一個命題對于不小于某正整數(shù)的所有正整數(shù)n都成立，可以用數(shù)學歸納法.因此，過這k+1個點中任意兩點作直線，這樣的直線共有培養(yǎng)學生嚴密的邏輯思維能力和嚴謹?shù)膽B(tài)度.(1)當n=3時，三角形沒有對角線，命題成立.試證：-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)=(-1)n猜想過n個點(任意三點不共線)中任意兩點作直線，共有.證明：n3+5n(nN+)能夠被6整除.(2)假設(shè)當n=k時，命題成立，即凸k邊形有條對角線.(2)任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下.當?shù)趉塊倒下時，相鄰的第k+1塊也倒下.試證：-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)=(-1)n所以當n=k+1時命題成立.這兩部非常重要，缺一不可.(2)假設(shè)當n=k時命題成立,即過k個點(任意三點不共線)中任意兩點作直線，這樣的直線共有過這些點中任意兩點作直線，這樣的直線共有多少條？證明你的結(jié)論.了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍和基本步驟.當證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立，可以用以下兩個步驟：凸n邊形有多少條對角線？即1+3+…+(2k-1)=k2.可以先從有限個點的情況中，歸納出一個猜想；多米若骨牌是一種碼放骨牌的游戲，碼放時保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定會導致后一塊骨牌倒下.隨堂練習1.由數(shù)學歸納證明：1+3+5+…+(2n-1)=n2證明(1)當n=1時，命題成立.(2)假設(shè)當n=k(k≥1)時，命題成立.即1+3+…+(2k-1)=k2.當n=k+1時,1+3+5+…+（2k-1)+(2k+1)-1=(k+1)2.所以，當n=k+1時，命題成立.由(1)(2)知，命題對一切正整數(shù)成立.2.凸n邊形有多少條對角線？證明你的結(jié)論.解：凸n