高中數(shù)學(xué)-3.2.1 函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

PAGE5函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材分析地位與作用：“函數(shù)的單調(diào)性”既是一個重要的數(shù)學(xué)概念，又是函數(shù)的一個重要性質(zhì)．在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容里占有十分重要的地位.它體現(xiàn)了函數(shù)的變化趨勢和變化特點(diǎn)，在利用函數(shù)觀點(diǎn)解決問題中起著十分重要的作用，起著承上啟下的作用．重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性定義理解（從形到數(shù)，從文字語言到符號語言）．難點(diǎn)是利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性．二、教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)：（1）通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性；（2）學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)；（3）能夠熟練應(yīng)用定義判斷函數(shù)在某區(qū)間上的的單調(diào)性．能力目標(biāo)：通過概念的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、比較、分析、綜合、抽象、概括的邏輯思維能力，使其能體驗(yàn)和感悟數(shù)學(xué)的一般思維方法.德育目標(biāo)：通過形式化與符號化對函數(shù)單調(diào)性的描述，促使學(xué)生養(yǎng)成用運(yùn)動、發(fā)展、變化的觀點(diǎn)認(rèn)識世界的思維習(xí)慣.三、學(xué)情研究在講授函數(shù)的單調(diào)性之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)等簡單函數(shù)，函數(shù)的概念及函數(shù)的表示，接下來的任務(wù)是對函數(shù)應(yīng)該繼續(xù)研究什么.從各種函數(shù)關(guān)系中研究它們的共同屬性，應(yīng)該是順理成章的，有必要的和有意義的.而且，函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生從已經(jīng)學(xué)習(xí)的函數(shù)中比較容易發(fā)現(xiàn)的一個性質(zhì)，學(xué)生也容易產(chǎn)生共鳴.四、教具選擇多媒體課件，通過對圖形的直觀體驗(yàn)理解概念，化解難點(diǎn).五、過程設(shè)計(jì)問題情境：觀察下列各個函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律：yyx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1用多媒體技術(shù)展示函數(shù)動態(tài)的變化態(tài)勢，讓學(xué)生對圖像的各種變化以及相關(guān)聯(lián)的方面得到充分感知.從而獲得豐富的表象信息，產(chǎn)生眾多的聯(lián)想.學(xué)生活動：學(xué)生通過充分觀察提出自己意見：①隨x的增大，y的值有一定變化；②有的函數(shù)有最大值或最小值；③有的函數(shù)圖象有上升或下降的情形或具有某種對稱性……師：圖1：函數(shù)圖像在整個定義域上都是下降的.圖2：函數(shù)圖像在上下降，在上上升.圖3：函數(shù)圖像在整個定義域上都是上升的.圖4：函數(shù)圖像在部分區(qū)域上上升，在部分區(qū)域上下降.共同特點(diǎn)：圖像在定義域的某些部分上升或下降.師：引導(dǎo)學(xué)生討論一個實(shí)際問題：校門口與地下車庫之間的路是上坡還是下坡？生：有的說上坡，有的說下坡.師：為何說法不一？生：討論之后形成共識：究竟上升還是下降要看方向.不然，容易產(chǎn)生歧義.師：就函數(shù)圖像的上升、下降而言，以什么為參照或方向比較好？生：以x軸的方向?yàn)閰⒄蛰^好.師：圖像的上升或下降表明了函數(shù)在變化中一種不變的性質(zhì).數(shù)學(xué)上把函數(shù)的這種性質(zhì)稱之為“單調(diào)性”.把上升稱為“單調(diào)增”，把下降稱為“單調(diào)減”.意義建構(gòu)：建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)不是一個被動的吸收過程，而是一個以已有的知識和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動的建構(gòu)過程，因此，從具體問題出發(fā)來引出數(shù)學(xué)概念更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.對函數(shù)的單調(diào)性的建構(gòu)有兩個重要的過程：一是建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的意義，二是通過思維構(gòu)造把這個意義用數(shù)學(xué)的形式化語言加以描述.師：“上升、下降”是一種日常語言，這樣來描述函數(shù)的性質(zhì)是不夠準(zhǔn)確的.能否用數(shù)學(xué)的語言來描述函數(shù)的這一特點(diǎn)呢？生：討論之后提出一種表示：上升：函數(shù)隨x的增大而增大下降：函數(shù)隨x的增大而減小師：能否用數(shù)字化的符號給出一種定量的描述？生：x的增大x1<x2，的增大故猜想上升即x1<x2同理：下降即x1<x2師：按剛才所說：對于函數(shù)而言，因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)是增函數(shù).對不對？生：聯(lián)系圖像，發(fā)現(xiàn)問題，改進(jìn)猜想.師：總結(jié)之后給出定義.數(shù)學(xué)理論：函數(shù)單調(diào)性定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有，那么就說在區(qū)間D上是增函數(shù)．D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.注意：eq\o\ac(○,1)函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；eq\o\ac(○,2)必須是對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；當(dāng)x1<x2時(shí)，總有．思考：仿照增函數(shù)的定義說出減函數(shù)的定義．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用：例1．根據(jù)函數(shù)圖象，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：解：（略）鞏固練習(xí)：課本P79練習(xí)第1、2題點(diǎn)評：對于某些函數(shù)，如果能畫出其圖像，那么尋找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就十分容易了，因此，圖像法是求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一種重要方法．例1引申：函數(shù)在整個定義域上是否為單調(diào)函數(shù)？函數(shù)在某個區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，并不能說明函數(shù)在整個定義域上也是單調(diào)的．例2．根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性．求證：函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù).解：（略）鞏固練習(xí)：eq\o\ac(○,1)課本P79練習(xí)第3題； eq\o\ac(○,2)證明函數(shù)在（1，+∞）上為增函數(shù)．例4．解：（略）小結(jié)：判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟： 利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間I上的單調(diào)性的一般步驟： eq\o\ac(○,1)任取x1，x2∈I，且x1<x2； eq\o\ac(○,2)作差；eq\o\ac(○,3)變形（通常是因式分解，配方或有理化）；eq\o\ac(○,4)定號（即判斷差的正負(fù)）；eq\o\ac(○,5)下結(jié)論（即指出函數(shù)在給定的區(qū)間I上的單調(diào)性）．回顧反思：函數(shù)的單調(diào)性一般是先根據(jù)圖象判斷，再利用定義證明．畫函數(shù)圖象可以借助計(jì)算機(jī)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)必須要注意函數(shù)的定義域，單調(diào)性的證明一般分五步：取值→作差→變形→定號→下結(jié)論六、教后反思⑴要實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)新知的建構(gòu)學(xué)習(xí)，教師創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫呈且粋€十分重要的方面.當(dāng)然，情境應(yīng)符合實(shí)際.這里的實(shí)際包括數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的實(shí)際，學(xué)生知識狀況的實(shí)際，學(xué)生思維發(fā)展的實(shí)際等等.⑵函數(shù)的單調(diào)性與很多已有的知識、經(jīng)驗(yàn)、方法有聯(lián)系，這些對函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)有著積極的意義，同時(shí)對函數(shù)單調(diào)性的理解也使得這些知識的意義得到了擴(kuò)展.⑶概念和意義的綜合貫通，不是一次課堂教學(xué)所能解決，因此需要在后續(xù)教學(xué)中多次反思，不斷運(yùn)用.學(xué)情分析函數(shù)是高一數(shù)學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)，學(xué)生有畏懼心理。函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)重要性質(zhì)，是函數(shù)概念的延伸，又是函數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)。通過個別訪談,學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性抽象概念有壓力，講解時(shí)知識的深度不要大，數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生積極討論，老師引導(dǎo)會起到很好的教學(xué)成果。初中學(xué)過函數(shù)的概念及圖像畫法、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù),對函數(shù)的單調(diào)性理解有初步認(rèn)識，會觀察函數(shù)變化趨勢，為學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性打下了基礎(chǔ)。效果分析教學(xué)中，我運(yùn)用了學(xué)生生活中熟知的成語，增加了興趣，同時(shí)選擇了多媒體演示，喚起學(xué)生的注意，，提高了他們的積極主動性。既調(diào)動了學(xué)生的多種感官參與學(xué)習(xí)，又降低了教學(xué)難度。問題情境是生活中的實(shí)際問題，極大的提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。對于概念形成過程中出現(xiàn)的問題，教師做出了正確的引導(dǎo)并及時(shí)進(jìn)行反饋和糾正，使學(xué)生基本掌握了概念。學(xué)生做題時(shí)，教師巡視給學(xué)生答疑解惑，增加了與學(xué)生的親和力，充分調(diào)動了學(xué)生的積極性。從整節(jié)課的活動過程看，有學(xué)生的觀察感受，動手操作，又是生的問答交流，合作總結(jié)，發(fā)揮了老師的引導(dǎo)作用，體現(xiàn)了學(xué)生的主體。通過一系列的問題，激發(fā)了學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的探討和學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生基本掌握了運(yùn)用概念判斷及證明，效果較好。教材分析分析教材的整體定位（地位與作用）《函數(shù)的單調(diào)性》系人教A版高中數(shù)學(xué)必修一第一章第3節(jié)的內(nèi)容，該內(nèi)容包括函數(shù)的單調(diào)性的定義與判斷及其證明。在初中學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，借助圖像的直觀性研究了一些函數(shù)的增減性．這節(jié)內(nèi)容是初中有關(guān)內(nèi)容的深化、延伸和提高．函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)眾多性質(zhì)中的重要性質(zhì)之一，函數(shù)的單調(diào)性一節(jié)中的知識是前一節(jié)內(nèi)容函數(shù)的概念和圖像知識的延續(xù)，它和后面的函數(shù)奇偶性，合稱為函數(shù)的簡單性質(zhì)，是今后研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及其他函數(shù)單調(diào)性的理論基礎(chǔ)；在解決函數(shù)值域、定義域、不等式、比較兩數(shù)大小等具體問題中均需用到函數(shù)的單調(diào)性；同時(shí)在這一節(jié)中利用函數(shù)圖象來研究函數(shù)性質(zhì)的數(shù)形結(jié)合思想將貫穿于我們整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)。教材內(nèi)容這節(jié)通過對具體函數(shù)圖像的歸納和抽象，概括出函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)的準(zhǔn)確含義，明確指出函數(shù)的增減性是相對于某個區(qū)間來說的。教材中判斷函數(shù)的增減性，既有從圖像上進(jìn)行觀察的直觀方法，又有根據(jù)其定義進(jìn)行邏輯推理的嚴(yán)格方法，最后將兩種方法統(tǒng)一起來，形成根據(jù)觀察圖像得出猜想結(jié)論，進(jìn)而用推理證明猜想的體系。具體安排如下：以學(xué)生熟悉的一次函數(shù)和二次函數(shù)為例，給出函數(shù)的圖像，讓學(xué)生從圖像上獲得“上升”“下降”的整體認(rèn)識針對二次函數(shù)給出表格用自然語言描述圖像特征“上升”“下降”，即“圖像在y軸左側(cè)下降，在y軸右側(cè)上升。運(yùn)用數(shù)學(xué)符號將自然語言的描述提升到形式化的定義。教學(xué)目標(biāo)知識與技能目標(biāo)掌握函數(shù)單調(diào)性的概念，并明確函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)。學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)，能夠找出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并會用定義嚴(yán)格證明。過程與方法目標(biāo)掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟，利用數(shù)形結(jié)合思想研究函數(shù)的性質(zhì)從而化難為簡。通過對函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)，初步體會知識發(fā)生、發(fā)展、運(yùn)用的過程，培養(yǎng)對數(shù)學(xué)的理解能力和邏輯推理能力。情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)對知識由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。充分認(rèn)識數(shù)形結(jié)合思想，能夠在以后的學(xué)習(xí)中利用數(shù)形結(jié)合思想簡化題目。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：理解函數(shù)單調(diào)性的概念,明確概念的內(nèi)涵，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性。難點(diǎn)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，及其證明過程教法及學(xué)法《函數(shù)的單調(diào)性》這一節(jié)課是概念課，重點(diǎn)在于理解函數(shù)單調(diào)性的概念并用概念解決問題。因而對于概念的深度剖析就非常重要，概念的本質(zhì)屬性以及引入這一概念的作用都將幫助學(xué)生理解概念。因而再給出概念前要做好鋪墊工作，即根據(jù)函數(shù)圖象觀察走勢再進(jìn)行數(shù)學(xué)的嚴(yán)格刻畫。由于該概念是根據(jù)函數(shù)圖象性質(zhì)而來，因此數(shù)形結(jié)合的思想方法就顯得格外重要。在教學(xué)過程中，要注意學(xué)生第一次接觸代數(shù)形式的證明，為使學(xué)生能迅速掌握代數(shù)證明的格式，要注意讓學(xué)生在內(nèi)容上緊扣定義貫穿整個學(xué)習(xí)過程，在形式上要從有意識的模仿逐漸過渡到獨(dú)立的證明。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)動手操作，積極參與到教學(xué)活動中，注意概念的本質(zhì)屬性理解及概念的內(nèi)涵，積極思考善于觀察。測評練習(xí)1．如圖是函數(shù)y＝f(x)的圖象，則此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間的個數(shù)是() A．1B．2C．3 D．42．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，2)上為增函數(shù)的是()A．y＝3－xB．y＝x2＋1C．y＝eq\f(1,x) D．y＝－|x＋1|3．設(shè)(a，b)，(c，d)都是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系為()A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．不能確定4．若函數(shù)y＝x2＋(2a－1)x＋1在區(qū)間(－∞，2]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))C．(3，＋∞) D．(－∞，－3]5．(多選)下列說法中，正確的有()A．若任意x1，x2∈I，當(dāng)x1<x2時(shí)，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，則y＝f(x)在I上是增函數(shù)B．函數(shù)y＝x2在R上是增函數(shù)C．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x<0，,－x，x≥0))在定義域上是減函數(shù)D．函數(shù)y＝eq\f(1,x)的單調(diào)區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)6．函數(shù)y＝|x|(1－x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．7．若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x＋1)在(a，＋∞)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是________．8．已知f(x)是定義在區(qū)間[－1,1]上的增函數(shù)，且f(x－2)<f(1－x)，則x的取值范圍是________．9．若函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．10．已知函數(shù)f(x)＝mx＋eq\f(1,nx)＋eq\f(1,2)(m，n是常數(shù))，且f(1)＝2，f(2)＝eq\f(11,4).(1)求m，n的值；(2)當(dāng)x∈[1，＋∞)時(shí)，判斷f(x)的單調(diào)性并用定義證明．11．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x－1,x＋1).(1)求f(x)的定義域；(2)證明函數(shù)f(x)＝eq\f(2x－1,x＋1)在[1，＋∞)上是增函數(shù)．課后反思函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個重要的性質(zhì)，在函數(shù)部分起著舉足輕重的作用，對以后的學(xué)習(xí)意義深遠(yuǎn)。作為高一學(xué)生是第一次接觸函數(shù)的單調(diào)性。是一個比較抽象的概念，我認(rèn)為講授函數(shù)的單調(diào)性這一節(jié)，必須強(qiáng)調(diào)從“形”上和從“數(shù)”上兩個方面來理解。并且“數(shù)形結(jié)合”的思想也對以后做題以及數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有很大的作用。所以為了讓學(xué)生更好的理解單調(diào)性，在授課的過程中，應(yīng)該首先從形上來理解，弱化抽象概念的講解，從具體函數(shù)的圖象入手，使學(xué)生從形上對增函數(shù)和減函數(shù)有一個最直觀的體會。（即：圖像上升的即增函數(shù)，下降的即減函數(shù)）。然后再運(yùn)用小組合作通過相應(yīng)的自變量和函數(shù)值的比較和分析，總結(jié)出增函數(shù)和減函數(shù)中函數(shù)值Y與自變量Ｘ之間的變化規(guī)律，從而引出增函數(shù)以及減函數(shù)的定義。進(jìn)而給出函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間的概念。用定義證明一個函數(shù)的單調(diào)性，整堂課下來，使學(xué)生會通過函數(shù)圖象來判斷函數(shù)單調(diào)性這一目標(biāo)基本上達(dá)到，學(xué)生課堂反應(yīng)積極、課堂效果良好。當(dāng)然，其中還是存在了