第十一章曲線積分與曲面11 7節(jié)斯托克斯公式

第七節(jié)斯托克斯(Stokes)公式1一、Stokes公式二、簡(jiǎn)單應(yīng)用一、斯托克斯(stokes)公式2GS=

Pdx

+

Qdy

+

Rdz?y

?z

?z

?x

?x

?y定理

設(shè)G為分段光滑的空間有向閉曲線，S是以G為邊界的分片光滑的有向曲面,

G的正向與S的側(cè)符合右手規(guī)則,

函數(shù)P(

x,

y,

z),Q(

x,

y,

z),

R(

x,

y,

z)在包含曲面S在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

則有(

?R

-

?Q

)dydz

+(

?P

-

?R

)dzdx

+(

?Q

-

?P

)dxdyGS=

Pdx

+

Qdy

+

Rdzdydzdzdxdxdy????x?y?zPQRG3SdS

=

Pdx

+

Qdy

+

Rdzcosacos

bcos

g????x?y?zPQR另一種形式其中，

={cos

a

,cos

b,cos

g}為有向曲面的單位法向量.n便于記憶形式斯托克斯(Stokes)公式的實(shí)質(zhì):斯托克斯公式格林公式4特殊情形表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.(當(dāng)Σ是xoy面的平面閉區(qū)域時(shí))5例

1 計(jì)

算G

zdx

+

xdy

+

ydz

, 其

中

,

G

是

平

面x

+

y

+

z

=

1被三坐標(biāo)面所截成的三角形的整個(gè)邊界,

它的正向與這個(gè)三角形上側(cè)的法向量之間符合右手規(guī)則.二、簡(jiǎn)單的應(yīng)用0Dxyxyn11z1解：由斯托克斯公式可得：G

zdx

+

xdy

+

ydz=

dydz

+

dzdx

+

dxdyS=

Sdydzdzdxdxdy????x?y?zzxy

dydz

+

dzdx

+

dxdySxyDxo11Dxy26=

3dxdy

=

3由于有向曲面S的法向量的三個(gè)方向余弦都為正，因此，有向曲面S

可分別視為：取前側(cè)、取右側(cè)和取上側(cè).y=

dydz

+

dzdx

+dxdyDyz

Dzx

Dxy例2

計(jì)算222(

y

-

z

)dx

+

(z

-

x

2

)dy

+

(

x

2

-

y

2

)dzG2其中，G

是平面

x

+

y

+

z

=

3

截立方體:

0

￡

x

￡

1,0

￡

y

￡

1,0

￡

z

￡

1的表面所得的截痕,若從x

軸的正向看去,取逆時(shí)針?lè)较?解取Σ為平面x

+y

+z

=32的上側(cè)被G所圍成的部分.則1n

=

3

{1,1,1}zxyoSnG7即3cosa

=

cos

b

=

cosg

=

1

,dS\

I

=

S333????x?y?zy2

-

z

2z

2

-

x2x2

-

y21

1

1S3=

-

4

(

x

+

y

+

z)dsS233

Dxy=

-

4

3

dS

=

-223dxdy

=

-

9

.2(在S上x

+y

+z

=3)Dxy2x

+

y

=

328x

+

y

=

1三、環(huán)流量與旋度

1.環(huán)流量的定義:稱為向量場(chǎng)A沿曲線C

按所取方向的環(huán)流量.9設(shè)向量場(chǎng)

A(

x,

y,

z)

=

P(

x,

y,

z)i

+

Q(

x,

y,

z)

j

+

R(

x,

y,

z)k則沿場(chǎng)A中某一封閉的有向曲線C

上的曲線積分C

CG

=

A ds

=

Pdx

+

Qdy

+

RdzdS10CA ds

=S

i

j

k?

?

??x

?y

?zP

Q

R環(huán)流量

G

=利用stokes公式,有112.旋度的定義:(rotA).稱為為向量場(chǎng)A的旋度向量ijk????x?y?zPQR

設(shè)向量場(chǎng)

A(

x,

y,

z)

=

P(

x,

y,

z)i

+

Q(

x,

y,

z)

j

+

R(

x,

y,

z)k

-

)k

.?x

?y?R

?Q

?P

-

)

j

+

(?z

?x?Q

?P-

)i

+

(?y

?z?R=

(?x

?y

?zP

Q

Ri

j

k?

?

?旋度

rot

A

=斯托克斯公式的又一種形式

S的單位法向量為n

=

cosa

i

+

cos

b

j

+

cosgk

,t

=

cos

l

i

+

cos

m

j

+

cosn

kG的單位切向量為?y

?z

?z

?x

?x

?y[(?R

-

?Q

)cosa

+

(?P

-

?R)cos

b

+

(?Q

-

?P

)cosg]dSS=

(

P

cos

l

+

Q

cos

m

+

R

cosn

)dsG其中12★斯托克斯公式的向量形式

SGA t

dsrotA ndS

=

SGAt

ds(rotA)n

dS

=或其中=

(?R

-

?Q

)cosa

+

(?P

-

?R)cos

b

+

(?Q

-

?P

)cosg?y

?z

?z

?x

?x

?y13(rotA)n

=

rotA

n

tA

=

A

n

=

P

cos

l

+

Q

co