2.2+基本不等式+教學設(shè)計-2022-2023學年高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

第-7-《2.2基本不等式》單元-課時教學設(shè)計一.內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容（1）本節(jié)的知識結(jié)構(gòu)框圖（梅州教研活動作者放“2（3）內(nèi)容地位與作用”）基本不等式基本不等式證明含義應(yīng)用概念幾何解釋數(shù)學應(yīng)用實際應(yīng)用（2）本節(jié)的知識內(nèi)容：基本不等式的含義（概念、證明、幾何解釋）及其應(yīng)用。2.內(nèi)容解析（1）內(nèi)容的本質(zhì)“基本不等式”是求最值的常用方法之一，是兩個量（正數(shù)）的“算術(shù)平均數(shù)”與“幾何平均數(shù)”之間的大小關(guān)系，也可稱為“均值不等式”（其實，可以推廣到多個量）?！盎静坏仁健斌w現(xiàn)“加法”與“乘法”兩種運算之間的一種區(qū)別?！盎静坏仁健痹趲缀我饬x上，是“直徑為最長弦長”。（2）蘊含的數(shù)學思想方法本節(jié)安排的內(nèi)容蘊涵了許多重要的數(shù)學思想方法：①在基本不等式的證明和運用基本不等式時的轉(zhuǎn)化思想；②在基本不等式的幾何解釋時的數(shù)形結(jié)合思想；②在解決實際問題中的建模思想。（3）知識的上下位“基本不等式”是前面學習完不等式性質(zhì)之后的第一個具體且重要的不等式（定理），在此章與“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”有著并列的地位，屬于預(yù)備知識，為后面研究函數(shù)做好必要知識的鋪墊。（4）育人價值本節(jié)教科書充分關(guān)注了與實際問題的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學應(yīng)用的價值。例如，教科書從“北京舉辦的24屆國際數(shù)學大會”“籬笆圍菜園”“建造長方體形無蓋貯水池”等實際生活中的問題，有利用學生更好地感受“數(shù)學來源于生活、服務(wù)于生活”，促進學生關(guān)心生活、關(guān)注社會，增強社會責任意識，所以在教學中，我們結(jié)合具體的實際問題滲透數(shù)學思想方法和彰顯人文價值。①通過基本不等式的幾何解析，可以培養(yǎng)學生“直觀想象”的素養(yǎng)，并從中感受“數(shù)形一致”的數(shù)學魅力。②通過嚴謹?shù)淖C明活動，發(fā)展學生“邏輯推理”的素養(yǎng)。③通過具體運用基本不等式求解相關(guān)函數(shù)最值時，培養(yǎng)學生數(shù)學運算素養(yǎng)④通過建立數(shù)學模型，并利用基本不等式求解最優(yōu)化等實際問題，發(fā)展學生“數(shù)學建?！彼仞B(yǎng)。（5）教學重難點重點：基本不等式含義的理解與證明。難點：利用基本不等式求最值的基本方法及實際應(yīng)用。二.目標和目標解析1.課程目標（1）掌握基本不等式（2）結(jié)合具體實例，能利用基本不等式求簡單的最值問題。2.素養(yǎng)目標（1）數(shù)學抽象：通過抽象和概括基本不等式的概念，幫助學生發(fā)展數(shù)學抽象核心素養(yǎng).（2）直觀想象：將基本不等式的幾何解釋通過數(shù)形結(jié)合直觀感知、求證，幫助學生發(fā)展直觀想象的數(shù)學素養(yǎng)。（3）邏輯推理：通過對基本不等式嚴謹?shù)淖C明活動，發(fā)展學生“邏輯推理”的素養(yǎng)。（4）數(shù)學建模：通過建立數(shù)學模型，并利用基本不等式求解最優(yōu)化等實際問題，發(fā)展學生“數(shù)學建模”素養(yǎng)。3.目標解析（1）能夠通過具體演算或者直觀實例，能抽象出基本不等式的形式；（2）能夠證明基本不等式；（3）能夠理解基本不等工的幾何解析；（4）能夠利用基本不等求函數(shù)或代數(shù)式的最值，并能注意到運用其的前提條件：一正二定三相等；（5）會利用基本不等式求解決實際問題中的最值。三.教學問題診斷分析1.基本不等是學生前面學習了不等式的一般性質(zhì)之后接觸的第一個較為抽象的（不等式）模型，對于證明的方法，不夠理解和熟練，學生心中稍會產(chǎn)生畏恐心理，建議從具體到抽象，即是先讓學生通過具體數(shù)值的結(jié)果對比，或者直觀的事實，讓學生有感性的理解和認識后，有足夠的信心再進行嚴謹?shù)淖C明。2.對于基本不等式的幾何解析，用代數(shù)語言解析了幾何現(xiàn)象，既會讓學生產(chǎn)生好奇感和驚喜心，但當中也可能存在一定的障礙。比如：相交弦定理，因此，要做好引導和適當?shù)匿亯|為好。3.在運用基本不等式求最值問題時，學生容易疏忽其使用的前提條件（“一正二定三相等”），這跟學生對于期理解的不夠深刻有關(guān)，建議在教學時，不要講得太快，不要老師包辦，加深學生對于條件的理解。4.運用基本不等式的時候，發(fā)現(xiàn)“和為定值”或者“積為定值”是重要的一步，但同時往往也是比較困難的一步，特別是當形式不那么明顯直接的情況下，需要學生適化簡或配湊，對此，老師一方面要注意把握教學的難度，不可要求過高，畢竟在此面對的是高一的新后，雖然在高考中對于基本不筀閉幕式可能有更高的要求，但是這些能力可以在后面逐漸學習培養(yǎng)，另一方面，注重培養(yǎng)學生的觀察與運算能力，把握式子中隱含關(guān)系，靈活運用基本不等式。5.教學難點：基本不等式的理解和證明；觀察式子結(jié)構(gòu)，利用基本不等式求最值問題。四.教學支持條件分析1.高一學生有了一定的字母運算能力，為證明基本不等式有了一定的技能儲備。2.應(yīng)用Excel、GGB等計算機軟件，可以直觀呈現(xiàn)，生動刻畫基本不等式的數(shù)值和圖形表現(xiàn)。五.課時安排第1課時，基本不等式的含義與證明；第2課時，利用基本不等式解決最值問題。六.課時教學設(shè)計第1課時《§2.2基本不等式》教學設(shè)計【教材分析】《基本不等式》在人教A版高中數(shù)學第一冊第二章第2節(jié)，本節(jié)課的內(nèi)容是在學習了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的對不等式的進一步研究，在知識體系中起著承上啟下的作用。在探究基本不等式內(nèi)涵和證明的過程中，能夠培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力；培養(yǎng)學生形成數(shù)形結(jié)合的思想意識；在應(yīng)用的過程中，通過對條件的轉(zhuǎn)化和辨識，有助于培養(yǎng)學生形成類比歸納的思想和習慣，進而形成嚴謹?shù)乃季S方式?！陡咧袛?shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》要求掌握基本不等式，結(jié)合具體實例，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題，同時利用基本不等式求最值是高考的基本考點，經(jīng)常與實際問題相結(jié)合進行考查。本節(jié)課的學習重點提升學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模與邏輯推理的相關(guān)核心素養(yǎng)?！緦W情分析】在認知上，學生已經(jīng)掌握了不等式的基本性質(zhì)，并能夠根據(jù)不等式的性質(zhì)進行數(shù)、式的大小比較，也具備一定的平面幾何的基本知識。本節(jié)內(nèi)容在復(fù)習、鞏固不等式性質(zhì)的前提下，學習基本不等式，學生是比較容易接受的。但在利用基本不等式解決最值問題時，學生往往忽視基本不等式使用的前提條件和等號成立的條件?！窘虒W策略】學生往往會直接應(yīng)用基本不等式，而忽略其成立的條件。因此，在教學過程中，可借助辨誤的方式，讓學生充分領(lǐng)會基本不等式成立的三個限制條件一正、二定、三相等在解決最值的問題中的作用。具體教學中，可借助幾何畫板等多媒體來演示，使學生在自主探究與合作交流中體驗基本不等式模型的觀察、分析、猜想和概括等系列思維活動過程，提升學生數(shù)學抽象直觀想象素養(yǎng)，通過基本不等式的證明方法的探索和不同角度的形象提升學生邏輯推理素養(yǎng)，通過引導學生應(yīng)用基本不等式解決常見的最值等實際問題，提升學生數(shù)學建模素養(yǎng)?！緦W科核心素養(yǎng)】1.目標與素養(yǎng)（1）通過對基本不等式的學習，能夠?qū)ζ溥M行證明且在論證中體會數(shù)學的嚴謹性，并會應(yīng)用幾何語言來進行解釋，達到邏輯推理和直觀想象核心素養(yǎng)水平一的層次。（2）能夠運用基本不等式來函數(shù)或者求代數(shù)式的最值，達到數(shù)學抽象和邏輯推理水平一、數(shù)學運算水平二的層次。（3）能夠使用基本不等式解決實際生活中的最值問題，提高用數(shù)學手段解答現(xiàn)實生活中的問題的能力和意識，積累基本解題經(jīng)驗，使理論與實踐相結(jié)合，達到數(shù)學建模核心素養(yǎng)水平一、數(shù)據(jù)分析水平一、邏輯推理核心素養(yǎng)水平二的層次。2.情境與問題通過“北京召開的第24屆國際數(shù)學大會會標”的設(shè)計淵源、理念引出相關(guān)問題，建立“重要不等式”模型。有了“重要不等式”就有了類似“替代”的可能，由此引入本節(jié)課的學習內(nèi)容，方便、自然。3.內(nèi)容與節(jié)點本節(jié)內(nèi)容為基本不等式的概念、證明及其幾何解釋，它是證明其他不等式的重要依據(jù)，也是求解最值問題的有力工具。4.過程與方法（1）通過探究基本不等式的過程，能夠理解并建立“基本不等式數(shù)學模型”及不等式的知識鏈，學會體會研究數(shù)學問題的基本思想方法，學會學習、學會探究，提升數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模素養(yǎng)。（2）掌握用“基本不等式的數(shù)學模型”解決實際最值問題的方法，提升數(shù)學建模、邏輯推理的素養(yǎng)。【教學重點難點】重點：用數(shù)形結(jié)合的思想解不等式，并從小油角度探索證明基本不等式，利用基本不等式求最值。難點：用基本不等式的求最大值和最小值。【教學過程設(shè)計】教學步驟預(yù)計時間教學內(nèi)容教師活動學生活動教學評價1.構(gòu)建“重要不等式模型”5分鐘活動1，探究重要不等式情景與問題：2002年8月在北京召開的第24屆國際數(shù)學大會。大會會標根據(jù)1700多年前中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表著中國人民的熱情好客。（1）你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？（2）成立嗎?（3）你能給出它的證明嗎?（4）你是如何理解結(jié)論中的“當且僅當”的含義的?師：引導學生將圖2.1-3中的“風車”抽象成圖2.1-4，觀察圖形，得出結(jié)論，并從代數(shù)的角度給予說明。師：板書結(jié)論。1.重要不等式：1.重要不等式：（當且僅當時，等號成立）師：提示，，由可得到，反之，由可知。生：自己作圖，把問題轉(zhuǎn)化為比較大正方形ABCD與四個相同的直角三角形的面積之和的大小關(guān)系，從中得出結(jié)論。生：交流、討論，得出結(jié)論的代數(shù)證明和取等號時滿足的對應(yīng)條件是“當且僅當”。引導學生關(guān)注數(shù)學文化，通過圖象抽象出重要不等式，提升學生直觀想象、數(shù)學建模素養(yǎng)，同時為后面學習基本不等式模型作鋪墊。2.構(gòu)建“基本不等式模型”3分鐘活動2：探究基本不等式（5）在重要不等中，特別地，用代替，代替可得到什么結(jié)論?（6）你是如何理解結(jié)論中的“當且僅當”的含義的?師：巡查學生的變換情況，解決學生遇到的問題，幫助學生理解基本不等式的含義。師：板書。2.基本不等式：2.基本不等式：（當且僅當時，等號成立）其中，叫做正數(shù)的算術(shù)平均值，叫做正數(shù)的幾何平均值.含義：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。師：提示，在的前提之下，由可知，反之由可知.生：替換后嘗試寫出基本不等式。生：了解基本不等式的形式，及其注意事項。檢查學生的變換能力，使學生了解基本不等式的形式，理解其不等號和等號成立的條件。教學步驟預(yù)計時間教學內(nèi)容教師活動學生活動教學評價3.合作探究12分鐘活動3.證明基本不等式基本等式當時，（當且僅當，等號成立）證明：法一（利用重要不等式證明）因為，所以我們可以用，分別代替重要不等式中的，得到，當且僅當時等號成立，即（），當且僅當時等號成立。法二（利用作差法證明）：因為，所以，即所以，當且僅當時等號成立法三（利用不等式的性質(zhì)證明）因為，所以，即，亦即，所以，所以當且僅當時等號成立法四（利用幾何意義來證明）如圖是圓的直徑，是上一點，,過點作垂直于的弦,連接。易證,則，即，這個圓的半徑為，顯然它大于或者等于，即，當且僅當點與圓心重合，即時等號成立由此我們可以得（當且僅當時等號成立）的幾何意義：半徑不小于半弦。師：能否用來證明?師：除了利用來進行推導，你們還能想到哪些地代數(shù)方法證明?提示：剛剛學習不等式時比較大小時用的方法。師：引導學生利用不等式的性質(zhì)進行證明，并適時點撥、幫助。師：引導學生觀察教材第45頁的探究，并設(shè)置問題如下：①圖形中線段的長為線段的長為，那么可以用哪條線段來表示?②可以用哪條線段來表示?③你能利用圖形得出與的大小關(guān)系嗎?師：引導學生再次觀察圖形，得到兩者相等的條件。師：引導學生用多種方法完成基本不等式的證明后，同時從結(jié)構(gòu)上觀察基本不等式的結(jié)構(gòu)特征。生：嘗試著證明，注意的取值范圍。生：試試利用作差法證明。生：嘗試利用不等式的性質(zhì)進行證明基本不等式。生：觀察圖形，對比回答問題：①在圖形中，可以用直徑來表示。②利用相似三角形得出的值可以用半弦來表示。③利用圓中半弦長不超過半徑長可以得出與的大小關(guān)系。生：思考、理解基本不等式的幾何意義，明確取等的條件。生：觀察、體會基本不等式表現(xiàn)出來的含義。用代數(shù)的方法證明不等式，使學生加深對基本不等式的理解，理解基本不等式中不等號和等號成立的的條件，引導學生自己動手寫出證明過程，并對圖形進一步分析，引導學生發(fā)現(xiàn)幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的大小關(guān)系，讓學生體會不僅能以數(shù)形，尋找數(shù)量關(guān)系的幾何解釋，還可以通過對圖形的觀察分析以形識數(shù)，進而完善前面的代數(shù)結(jié)論，提升邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)。教學步驟預(yù)計時間教學內(nèi)容教師活動學生活動教學評價4.“基本不等式模型”應(yīng)用（一）8分鐘活動4、典例剖析。例1（教材第45頁例1）已知，求的最小值。分析：求的最小值，就是要求一個（），使，都有，觀察，發(fā)現(xiàn)，聯(lián)系基本不等式，可以利用正數(shù)和的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系得到。解：因為，所以所以當且僅當即時，等號成立，因此所求的最小值為2.例2（教材第45頁例2）已知都是正數(shù)，求證（1）如果積等于定值，那么當時，和有最小值。（2）如果和等于定值，那么當時，積有的最大值。證明：因為都是正數(shù)，所以，（1）當積證明：因為都是正數(shù)，所以，（1）當積等于定值時，，所以，當且僅當時，上式等號成立。于是，當時，和有最小值.（2）當和等于定值時，，所以，當且僅當時，上式等號成立。于是，當時，和有最小值.（1）當積等于定值時，，所以，當且僅當時，上式等號成立。于是，當時，和有最小值（2）當和等于定值時，，所以，當且僅當時，上式等號成立。于是，當時，和有最小值。師：分析題干，引導學生解題思路，讓學生板演或展示成果，適時點評師：強調(diào)答題格式，需注明等式成立的條件，明確“當且僅當”的含義。師：明確例2得到的結(jié)論十分有用，會在實際問題中用到，要牢記條件和對應(yīng)的結(jié)論。師：補充最值定理：積定和?。▋蓚€正數(shù)的積為定積時，它們的和有最小值），和定積大（兩個正數(shù)的和為定積時，它們的積有最大值）。生：思考、分析，嘗試以語言等方式展示成果。生：理解、分析，及時做筆記?？疾閷W生對所學知識掌握的情況，幫助學生真正理解基本不等式的含義，提升邏輯推理、數(shù)學建模素養(yǎng)。教學步驟預(yù)計時間教學內(nèi)容教師活動學生活動教學評價5.“基本不等式模型”的達成2分鐘活動5.總結(jié)運用基本不等式所需滿足的條件基本不等式（1）使用條件：一正二定三相等（2）作用：積定和小，和定積大。師：引導學生思考、總結(jié)基本不等式的使用條件和作用。生：通過例1、例2，思考、交流得出基本不等式的使用條件和作用。引導學生總結(jié)基本不等式的使用注意事項和功能，提升數(shù)學抽象、邏輯推理素養(yǎng)。6.“基本不等式模型”的發(fā)展8分鐘活動6.“基本不等式”應(yīng)用的題型探究題型一直接利用基本不等式求最值例3.已知，且，則的最小值為____，此時。題型二配湊構(gòu)造基本不等式求最值例4.求的最小值。題型三拆分構(gòu)造基本不等式求最值例5.已知，求的最小值.師：引導學生通過“拆、添、湊”構(gòu)造基本不等式的三個條件。生：獨立思考，構(gòu)造基本不等式求最值。幫助學生深入理解“基本不等式的含義，促進數(shù)學建模素養(yǎng)的發(fā)展。7.課堂小結(jié)1分30秒活動7.課堂小結(jié)1.本節(jié)課我們學習的主要內(nèi)容是什么?提示：基本不等式的證明及其應(yīng)用。2.在應(yīng)用基本不等式時，需要注意什么?提示：一正二定