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2021-2022學(xué)年福建省漳州市漳浦第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)落在下列哪個(gè)區(qū)間(
)A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)參考答案:B試題分析:∵,∴f(1)?f(2)<0.根據(jù)函數(shù)的實(shí)根存在定理得到函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)落在(1,2)上故選B.考點(diǎn):函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.2.在區(qū)間和分別取一個(gè)數(shù),記為,則方程表示焦點(diǎn)在軸上且離心率小于的橢圓的概率為A.
B.
C.
D.參考答案:B3.已知復(fù)數(shù),則它的共軛復(fù)數(shù)等于(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B4.函數(shù)(x<0)的單調(diào)增區(qū)間是(
)A.(0,+∞)
B.(-∞,0)
C.(-∞,1]
D.(-∞,-1]參考答案:B5.對(duì)兩條不相交的空間直線(xiàn)a、b,必存在平面,使得
(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:答案:B6.已知點(diǎn)及拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),則的最小值是()A. B. C.1 D.參考答案:C【分析】過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn),垂足為點(diǎn),交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn),于是得出,由拋物線(xiàn)的定義得出(為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)),于是得出,利用、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取到最小值,從而解決該問(wèn)題。【詳解】如下圖所示:過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn),垂足為點(diǎn),設(shè)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn),則,拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線(xiàn)為直線(xiàn),由拋物線(xiàn)定義得,,當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),取等號(hào),因此,的最小值為,故選:C?!军c(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到點(diǎn)與直線(xiàn)距離之和的最小值,這類(lèi)問(wèn)題的求解思路就是充分利用拋物線(xiàn)的定義,將兩段距離轉(zhuǎn)化為位于拋物線(xiàn)異側(cè)兩線(xiàn)段和的最小值問(wèn)題,利用三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取最小值來(lái)處理,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題。7.已知點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上,且點(diǎn)P到x軸的距離與點(diǎn)P到此拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離之比為,則點(diǎn)P到x軸的距離是(A) (B)(C)1 (D)2參考答案:B8.設(shè)全集,集合,集合,則=(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:A略9.已知向量a、b的夾角為θ,|a+b|=2,則θ的取值范圍是(
)A.
B.
C.D.參考答案:C10.橢圓斜率的取值范圍是(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知某生產(chǎn)廠(chǎng)家的年利潤(rùn)(單位:萬(wàn)元)與年產(chǎn)量(單位:萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為,則使該生產(chǎn)廠(chǎng)家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為
萬(wàn)件;參考答案:912.已知an=n(n+1),則a1+a2+…+a9=.參考答案:330【考點(diǎn)】數(shù)列的求和.【分析】方法一、直接法,計(jì)算即可得到所求和;方法二、由數(shù)列的求和方法:分組求和,結(jié)合n個(gè)正整數(shù)的平方和公式和等差數(shù)列的求和公式,化簡(jiǎn)整理,計(jì)算即可得到所求和.【解答】解法一、由an=n(n+1),直接計(jì)算可得:a1+a2+…+a9=1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10=330.解法二、(公式法)由an=n(n+1)=n2+n,可得Sn=(12+22+…+n2)+(1+2+…+n)=+=,可得a1+a2+…+a9=S9==330.故答案為:330.13.已知函數(shù),若,則的取值范圍為
____.參考答案:14.在中,若,則.參考答案:315.已知數(shù)列{an}中,,,且.則數(shù)列的前n項(xiàng)和為_(kāi)___________參考答案:
16.給出下列命題:⑴是冪函數(shù);⑵“”是“”的充分不必要條件;⑶的解集是;⑷函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng);⑸命題“若,則”的逆否命題為真命題.其中真命題的序號(hào)是
(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào))
參考答案:②③⑤略17.△ABC中,∠B=120°,AC=7,AB=5,則△ABC的面積為
.參考答案:【考點(diǎn)】正弦定理的應(yīng)用;余弦定理.【專(zhuān)題】解三角形.【分析】先利用余弦定理和已知條件求得BC,進(jìn)而利用三角形面積公式求得答案.【解答】解:由余弦定理可知cosB==﹣,求得BC=﹣8或3(舍負(fù))∴△ABC的面積為?AB?BC?sinB=×5×3×=故答案為:【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用.在求三角形面積過(guò)程中,利用兩邊和夾角來(lái)求解是常用的方法.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿(mǎn)分10分)設(shè)不等式的解集為M.(I)求集合M;(II)若a,b∈M,試比較ab+1與a+b的大?。畢⒖即鸢福航猓海↖)由所以(II)由(I)和,所以故19.已知函數(shù)f(x)=xlnx﹣ex+1(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程;(Ⅱ)證明:f(x)<sinx在(0,+∞)上恒成立.參考答案:【考點(diǎn)】6E:利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;6H:利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程.【分析】(Ⅰ)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),可得f(1)與f′(1)的值,代入直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式可得切線(xiàn)方程;(Ⅱ)要證f(x)<sinx在(0,+∞)上恒成立,即xlnx﹣ex+1﹣sinx<0在(0,+∞)恒成立,也就是證xlnx<ex+sinx﹣1在(0,+∞)上恒成立,然后分0<x≤1與x>1證明,當(dāng)0<x≤1時(shí)成立,當(dāng)x>1時(shí),令g(x)=ex+sinx﹣1﹣xlnx,然后兩次求導(dǎo)即可證明f(x)<sinx在(0,+∞)上恒成立.【解答】(Ⅰ)解:f′(x)=lnx+1﹣ex,f(1)=1﹣e,f′(1)=1﹣e,故切線(xiàn)方程是:y﹣1+e=(1﹣e)(x﹣1),即(1﹣e)x﹣y=0;(Ⅱ)證明:要證f(x)<sinx在(0,+∞)上恒成立,即xlnx﹣ex+1﹣sinx<0在(0,+∞)恒成立,也就是證xlnx<ex+sinx﹣1在(0,+∞)上恒成立,當(dāng)0<x≤1時(shí),ex+sinx﹣1>0,xlnx≤0,故xlnx<ex+sinx﹣1,也就是f(x)<sinx;當(dāng)x>1時(shí),令g(x)=ex+sinx﹣1﹣xlnx,g′(x)=ex+cosx﹣lnx﹣1,令h(x)=g′(x)=ex+cosx﹣lnx﹣1,h′(x)=>0,故h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,∴h(x)>h(1)=e+cos1﹣1>0,即g′(x)>0,則g(x)>g(1)=e+sin1﹣1>0,即xlnx<ex+sinx﹣1,即f(x)<sinx,綜上所述,f(x)<sinx在(0,+∞)上恒成立.【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程,利用兩次求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解答該題的關(guān)鍵,是壓軸題.20.已知函數(shù)f(x)=x2-2x-8,g(x)=2x2-4x-16,(1)求不等式g(x)<0的解集;(2)若對(duì)一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.參考答案:略21.(本小題滿(mǎn)分12分)在數(shù)列中,其前項(xiàng)和為,滿(mǎn)足.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè)(為正整數(shù)),求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案:(Ⅰ).(Ⅱ).(Ⅰ)根據(jù),計(jì)算
驗(yàn)證當(dāng)時(shí),,明確數(shù)列是為首項(xiàng)、公差為的等差數(shù)列即得所求.(Ⅱ)由(Ⅰ)知:利用“裂項(xiàng)相消法”、“錯(cuò)位相減法”求和.試題解析:(Ⅰ)由題設(shè)得:,所以所以
……………2分當(dāng)時(shí),,數(shù)列是為首項(xiàng)、公差為的等差數(shù)列故.……………5分22.(本題滿(mǎn)分13分)已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是且滿(mǎn)足.(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)對(duì)任意,關(guān)于的不等式在上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案:【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).B3B12【答案解析】(Ⅰ);(Ⅱ)解析:(Ⅰ)由已知,得,∵函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)是,∴的解是.所以的兩個(gè)根分別是和,且,由,且,可得.
………2分又得………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得,∵當(dāng)時(shí),,∴在單調(diào)遞增,時(shí),
………7分要使在上有解,需對(duì)任意恒成立,即對(duì)任意恒成立.
………9分設(shè),,則,,令得,
由,列表如下:-+↘極小值↗∴當(dāng)時(shí),,
……………13分
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