新教材人教b版數(shù)學(xué)必修倍角公式

8.2.3倍角公式1.倍角公式(1)sin2α=2sinαcosα(S2α).

(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α(C2α).(3)tan2α=__________(T2α).【思考】(1)所謂的“倍角”公式,就是角α與2α之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系,對嗎?提示:不對.對于“倍角”應(yīng)該廣義地理解,如:8α是4α的二倍角,3α是α的倍角,α是的倍角,的倍角,…,這里蘊含著換元思想.這就是說“倍”是相對而言的,是描述兩個數(shù)量之間關(guān)系的.(2)公式中的角α是任意角嗎?提示:對于公式S2α,C2α中的角α是任意角,但是T2α中的角α要保證tanα有意義且分母1-tan2α≠0.2.倍角公式的變換(1)因式分解變換cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα).(2)配方變換1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2.(3)升冪縮角變換1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.(4)降冪擴角變換cos2α=(1+cos2α),sin2α=(1-cos2α),sinαcosα=sin2α.【素養(yǎng)小測】

1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)倍角的正切公式的適用范圍不是任意角. (

)(2)對于任意的角α,都有sin2α=2sinα成立. (

)(3)存在角α,使cos2α=2cosα成立. (

)(4)cos3αsin3α=sin6α對任意的角α都成立. (

)提示:(1)√.倍角的正切公式,要求α≠+kπ(k∈Z)且α≠±+kπ(k∈Z),故此說法正確.(2)×.當(dāng)α=時,sin2α=sin,而2sinα=2×=1.(3)√.由cos2α=2cosα=2cos2α-1,得cosα=時,cos2α=2cosα成立.(4)√.由倍角的正弦公式可得.2.已知sinx=,則cos2x的值為 (

)

【解析】選A.因為sinx=,所以cos2x=1-2sin2x=1-2×

3.若tan2α=2,則tan4α=________.

【解析】tan4α=答案:-

類型一倍角公式的求值問題【典例】1.sin10°sin30°sin50°sin70°=________.

2.計算:=________.

3.已知=________.

【思維·引】1.先用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化成余弦值,再構(gòu)造倍角的正弦公式求解.2.利用倍角的正切公式求解.3.利用誘導(dǎo)公式與倍角的正弦公式求解.【解析】1.原式=cos80°cos60°cos40°cos20°=答案:

2.原式=答案:

3.因為0<α<,所以0<-α<,又,所以所以原式=2×

答案:

【素養(yǎng)·探】本例考查利用倍角公式求值問題,突出考查了數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).本例1若變形為,試求其結(jié)果.【解析】原式=【類題·通】1.倍角公式正用、逆用解題的關(guān)注點(1)注意觀察式子的結(jié)構(gòu)特點及角之間是否存在特殊的倍數(shù)關(guān)系,靈活正用或逆用倍角公式.(2)結(jié)合誘導(dǎo)公式恰當(dāng)變化函數(shù)名稱,靈活處理系數(shù),構(gòu)造倍角公式的形式.2.條件求值問題的解題實質(zhì)條件求值問題的解題實質(zhì)是對已知條件與要求問題進行化簡變形,最終代入已知條件求值;其解題突破口為已知條件與要求問題中角的特點,解題關(guān)鍵在于“變角”,即把“所求角”變?yōu)椤耙阎恰?【習(xí)練·破】1.cos4-sin4

的化簡結(jié)果為 (

)

A.cos

B.cosα

C.cos2α

D.cos4α【解析】選B.cos4-sin4

2.已知= (

)【解析】選A.由題意有:3.計算:=________.

【解析】

答案:

【加練·固】1.化簡=________.

【解析】原式==2|cos4|-2|sin4+cos4|,因為π<4<,所以cos4<0,sin4+cos4<0.所以原式=-2cos4+2(sin4+cos4)=2sin4.答案:2sin42.計算:tan150°+=________.

【解析】原式=答案:-3.已知

則sin4α的值為________.

【解析】因為

即cos2α=.因為α∈,所以2α∈(π,2π).所以sin2α=所以sin4α=2sin2αcos2α=2×

答案:-類型二倍角公式的化簡、證明問題角度1化簡問題【典例】化簡:【思維·引】先切化弦,再利用倍角正弦、余弦公式化簡.【解析】原式=角度2恒等式證明問題【典例】求證:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos2Acos2B. 世紀金榜導(dǎo)學(xué)號【思維·引】可考慮從左向右證的思路:先把左邊降冪擴角,再用余弦的和、差角公式轉(zhuǎn)化為右邊形式.【證明】左邊=

所以等式成立.【素養(yǎng)·探】本例考查三角恒等式的化簡與證明,突出考查了邏輯推理的核心素養(yǎng).若本例改為:求證:【證明】左邊=故原式得證.【類題·通】1.三角函數(shù)式的化簡原則三角函數(shù)式的化簡原則:一是統(tǒng)一角,二是統(tǒng)一函數(shù)名.能求值的求值,必要時切化弦,更易通分、約分.2.證明三角恒等式的原則與步驟(1)觀察恒等式兩端的結(jié)構(gòu)形式,處理原則是從復(fù)雜到簡單,高次降低,復(fù)角化單角,如果兩端都比較復(fù)雜,就將兩端都化簡,即采用“兩頭湊”的思想.(2)證明恒等式的一般步驟①先觀察,找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異;②本著“復(fù)角化單角”“異名化同名”“變換式子結(jié)構(gòu)”“變量集中”等原則,設(shè)法消除差異,達到證明的目的.【習(xí)練·破】求證:cos2θ(1-tan2θ)=cos2θ.【證明】方法一:左邊=cos2θ

=cos2θ-sin2θ=cos2θ=右邊.故原式得證.方法二:右邊=cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ=cos2θ(1-tan2θ)=左邊.故原式得證.【加練·固】化簡:,其中θ∈(0,π).【解析】原式=①當(dāng)θ∈此時原式=sin+cos-cos+sin=2sin.②當(dāng)θ∈此時原式=sin+cos-sin+cos=2cos.類型三倍角公式與三角函數(shù)性質(zhì)綜合問題【典例】已知函數(shù)f(x)=sin2x-sin2,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期. 世紀金榜導(dǎo)學(xué)號(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.【思維·引】先利用倍角公式把解析式化簡為f(x)=Asin(ωx+φ)的形式再解答.【解析】(1)由已知,有所以f(x)的最小正周期T==π.(2)因為f(x)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),

所以f(x)在區(qū)間上的最大值為,最小值為-.【內(nèi)化·悟】研究形如f(x)=asin2ωx+bsinωxcosωx的性質(zhì)時應(yīng)首先把函數(shù)f(x)化簡成什么形式再解答?提示:研究形如f(x)=asin2ωx+bsinωxcosωx的性質(zhì)時,先化成f(x)=sin(ωx+φ)+c的形式再解答.【類題·通】倍角公式與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題的解題策略運用三角函數(shù)的和、差、倍角公式將函數(shù)關(guān)系式化成y=asinωx+bcosωx+k的形式,借助輔助角公式化為y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,將ωx+φ看作一個整體研究函數(shù)的性質(zhì).

【習(xí)練·破】1.(2018·全國卷Ⅲ)函數(shù)的最小正周期為 (

)

A. B. C.π D.2π【解析】選C.f(x)==sinxcosx=sin2x,所以f(x)的最小正周期為T==π.2.已知函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期.(2)若f(x)在區(qū)間上的最大值為,求m的最小值.【解析】(1)f(x)=sin2x+sinxcosx

所以f(x)的最小正周期T==π.(2)由(1)知,f(x)=由題意知≤x≤m,所以≤2x-≤2m-.要使得f(x)在區(qū)間上的最大值為,即sin在區(qū)間上的最大值為1,所以2m-≥,即m≥.所以m的最小值為.【加練·固】已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx-2cos2x+1(x∈R).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值.(2)若f(x0)=,求cos2x0的值.【解析】(1)由f(x)=2sinxcosx-2cos2x+1,得f(x)=(2sinxcosx)-(2cos2x-1)=sin2x-cos2x=2sin,所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π.易知f(x)=2sin上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),又f(0)=-1,=-1,所以函數(shù)f(x)在上的最大值為2,最小值為-1.(2)因為2sin,所以sin又x0∈所以cos所以cos2x0=cos類型四倍角公式的實際應(yīng)用實際問題情境某同學(xué)在一商店入口處測得科技大廈頂端的仰角為θ,他從此商店沿公路向前方走了30米,到達醫(yī)院大門口,測得科技大廈頂端的仰角為2θ,再沿剛才的方向前進10米到達路口拐角,此時測得科技大廈頂端的仰角為4θ,求科技大廈的高度.轉(zhuǎn)化模板1.—由題意可以畫出該問題的示意圖,轉(zhuǎn)化為解三角形問題,利用三角函數(shù)模型求解.2.—如圖,設(shè)商店入口為點B,醫(yī)院大門口為點C,公路口拐角處為點D,科技大廈為EA,A點為頂端.3.—如圖,∠ABE=θ,∠ACE=2θ,∠ADE=4θ,BC=30,CD=10.求AE.4.—因為