2019年高考文科數(shù)學(xué)陜西卷試題與答案

2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)本試卷共5頁。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．.已知集合A={X?X>T}A.(—1,+∞).(-1,2).設(shè)Z=i(2+i)，則Z=A．1+2iC.1-2i.已知向量a=(2,3),b=(3A.√2C.5%??2B={XIX<2},則A∩B=B.(-∞,2)D.0B.-1+2iD.-1-2i2),則∣a-b|=B.2D.504.生物實驗室有5只兔子,其中只有3只測量過某項指標(biāo),若從這5只兔子中隨機取出3只,則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為A.C.2325B.D.35155．在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預(yù)測．甲：我的成績比乙高．乙：丙的成績比我和甲的都高．丙：我的成績比乙高．成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預(yù)測正確，那么三人按成績由高到低的次序為A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C丙、乙、甲 D.甲、丙、乙6.設(shè)f(X)為奇函數(shù)，且當(dāng)X≥0時，f(X)=eX-1,則當(dāng)X<0時，f(X)=A.e-X—1e-X+1C.-e-X-1D.—e-X+1.設(shè)α,β為兩個平面，則α〃β的充要條件是α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行α內(nèi)有兩條相交直線與β平行α,β平行于同一條直線α,β垂直于同一平面兀 3兀1.若X1=4,X2=—是函數(shù)f(X)=SmωX(①>0)兩個相鄰的極值點，則①=3A.2 B.-211 D.-2X2y2.若拋物線y2=2PX(P>0)的焦點是橢圓丁+—=1的一個焦點，則P=3ppA.2 B.3C.4 D.8.曲線y=2sinX+cosX在點(∏,-1)處的切線方程為A.X—y—兀一1—0 B.2X—y—2兀一1=02X+y—2兀+1—0X+y一兀+1—0.已知a∈(0,π),2sin2α=cos2α+1，則Usinα=2A．C．15顯3B．D．巨52√5.設(shè)F為雙曲線C：x2—￡=1（a>0,b>0）的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)Fa2b2為直徑的圓與圓X2+y2=a2交于P、Q兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為a.、、2C．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.2X+3y-6≥0.若變量X,y滿足約束條件卜+y-3≤0,則Z=3X-y的最大值是.J—2≤0,.我國高鐵發(fā)展迅速,技術(shù)先進.經(jīng)統(tǒng)計,在經(jīng)停某站的高鐵列車中,有10個車次的正點率為0.97,有20個車次的正點率為0.98,有10個車次的正點率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為 ..△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,仁已知bSinA+acosB=0,則B=.中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體,但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體,它的所有頂點都在同一個正方體的表面上,且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有 個面,其棱長為 .（本題第一空2分,第二空3分.）圖1 ≡2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分。17．（12分）如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)證明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE=AE,AB=3,求四棱錐E—BBCC的體積.\o"CurrentDocument"1 1118．(12分)已知｛a｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a=2,a=2a+16.n 1 32（1）求｛a｝的通項公式；n（2）設(shè)b=loga，求數(shù)列｛b｝的前n項和.n 2n n19．（12分）某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況,隨機調(diào)查了100個企業(yè),得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表.y的分組[—0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企業(yè)數(shù)22453147（1）分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例；（2）求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.（精確到0.01）附：√74≈8.602.20．(12分)x2y2已知FF2是橢圓U瓦+b=l（a>b>O）的兩個焦點，P為C上一點，。為坐標(biāo)原點．(1)若^POF為等邊三角形，求C的離心率；2(2)如果存在點P,使得PF1PF，且△FPF的面積等于16,求b的值和a的取值1 2 12范圍.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=(X-1)lnX-X-1.證明：(1)f(X)存在唯一的極值點；(2)f(X)=0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).(二)選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分．22．［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)在極坐標(biāo)系中，。為極點，點M(P0,θ0)(P0>0)在曲線C：P=4sinθ上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.(1)當(dāng)θ0=3時，求P0及ι的極坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標(biāo)方程.23．［選修4-5：不等式選講］(10分)已知f(X)=IX-aIX+IX-21(X-a).(1)當(dāng)a=1時，求不等式f(X)<0的解集；(2)若X∈(-∞,1)時，f(X)<0，求a的取值范圍.1．C2．D3．A4．B5.A6.D7．B8．A9．D10.C11.B12.A13．914．0.983π15.16.26√2-14.解：（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BEU平面ABB1A1,故BC1BE.11又BE1EC,所以BE⊥平面EBC.1 11(2)由(1)知NBEB,=90°.由題設(shè)知Rt?ABE^RtΔABE,所以/AEB=ZAEB=45。，\o"CurrentDocument"1 11 1 1故ae=ab=3,aai=2ae=6.作EF1BB，垂足為F,則EF⊥平面BBCC,且EF=AB=3.\o"CurrentDocument"1 111 所以，四棱錐E—BBCC的體積V=-×3*6義3=18.\o"CurrentDocument"11 3.解：（1）設(shè)M｝的公比為q，由題設(shè)得n2q2=4q+16,即q2-2q-8=0.解得q=-2（舍去）或q=4.因此&｝的通項公式為a=2×4n-1=22n-1.n n（2）由（1）得b=（2n-1）log2=2n-1,因此數(shù)列Ib｝的前n項和為n 2 n1+3+?..+2∕z-l=n.19.解：（1）根據(jù)產(chǎn)值增長率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的100個企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的* ,_.14+7…企業(yè)頻率為 =0.21.100產(chǎn)值負增長的企業(yè)頻率為總=0.02.用樣本頻率分布估計總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例為21%,產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例為2%.1 (2)y=—(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,S2=—!—25Ln(y-y?100iii=1(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7=0.0296,S=√0.0296=0.02義√74≈0.17，所以，這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值分別為30%,17%.20.解：(1)連結(jié)PF，由^POF為等邊三角形可知在△FPF中，/FPF=90。，121212PF2=C，Pq=√3c,于是2a=PF、+PF2I=(√3+1)C，故C的離心率是e=-=√3-1.a(2)1由題意可知，滿足條件的點P(X,y)存在當(dāng)且僅當(dāng)-IyI?2C=16，yX+C上=-1X-c,X2y2T.._ _一+—=1，即CIyI=16,①

a2b2X2+y2=c2,②X2 y2—+~-=1，③a2 b2由②③及a2=b2『b4 162+C2得y2=一，又由①知y2=——，故b=4.C2 C2由②③得X2=竺(C2-b2)，所以C2≥b2，從而a2=b2+C2≥2b2=32,故a≥4√2.C2當(dāng)b=4，a≥4√2時，存在滿足條件的點P.所以b=4，a的取值范圍為［4√2,+8).21.解：(1)f(X)的定義域為(0，+∞).X1 1f(X)= +lnX-1=lnX-.XX1因為y=lnX單調(diào)遞增，y=—單調(diào)遞減，所以f'(X)單調(diào)遞增，又f'(1)=-1<0，Xln41f(2)=ln2--= >0,故存在唯一X∈(1,2),使得ff(X)=0.2 0 0又當(dāng)X<X0時，f(X)<0，f(X)單調(diào)遞減；當(dāng)X>X0時，f(X)>0，f(X)單調(diào)遞增.因此，f(X)存在唯一的極值點.(2)由(1)知f(X)<f(1)=-2，又f(C2)=e2-3>0，所以f(X)=0在(X,+∞)00內(nèi)存在唯一根X=α.,1T由α>X>1得一<1<X.oao\又f-=\--1f(ai)o,

a故!是fx)二0在(。，X°)的唯一根.Ia )αa綜上，f(X)=0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).22.解：(1)因為M(P,θ)在C上，當(dāng)θ=-時，P=4sin-=2√3.oo o3o3-由已知得IOPI=IOAIc°s-=2.八 一“ 1 -、..一設(shè)Q(P,θ)為/上除P的任意一點在Rt△OPQ中pc°sθ--=IOPI=2，I3)一- (C-、一經(jīng)檢驗，點P(2,-)在曲線Pc°sθ--=2上.3 I 3) (八-、一所以，/的極坐標(biāo)方程為Pc°sθ- =2.I3)(2)設(shè)P(P,θ)，在Rt△OAP中，IOPI=IOAIc°sθ=4c°sθ,即P=4c°sθ..I--I因為P在線段OM上，且AP1OM，故θ的取值范圍是|『2卜所以，P點軌跡的極坐標(biāo)方程為P=4c°sθ,θ∈--4,223.解：(1)當(dāng)a=1時，f(X)=IX-1IX+IX-2I(x-1).當(dāng)X<1時，f(X)=-2(X-1)2<o；當(dāng)X≥1時，f(X)≥o.所以，不等式f(X)<o的解集為(-8,1).(2)因為f(a)=o，所以a≥1.當(dāng)a≥1,X∈(-8,1)時，f(X)=(a-X)X+(2-X)(x-a)=2(a-X)(x-1)<o.所以，a的取值范圍是［1,+∞).選擇填空解析2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國II卷）文科數(shù)學(xué).設(shè)集合A=Qx>UB<1X<2L則ACB=()a.(-1,+∞)(-∞,2)(-1，2)D.Φ答案:C解析：A={χIX>-1}B={χIX<2).ACB=(-1,2)2.設(shè)Z=i(2+i),則IJN=()1+2i-1+2iC1-2i.T-2i答案：D解析：因為Z=i(2+i)=-1+2i,所以Z=-1-2i已知向量”=(2,3), b=32),則—?-?a-bB.2C.5√2D.50答案：解答：由題意知a~b=(—1,1)a—b=W所以A生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標(biāo).若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為()A.B.C.D.23352515答案：B解答：計測量過的3只兔子為1、2、3,設(shè)測量過的2只兔子為A、B則3只兔子的種類有(L2,3)(1,2,A)(1,2,B)(1,3,A)(1,3,B)(1,A,B)(2,3,A)(2,3,B)(2,AB)G,AB),則恰好有兩3只測量過的有種，所以其概率為.在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預(yù)測.甲：我的成績比乙高.乙：丙的成績比我和甲的都高.丙：我的成績比乙高.成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預(yù)測正確，那么三人按成績由高到低的次序為( )A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C丙、乙、甲D.甲、丙、乙答案：A解答：根據(jù)已知邏輯關(guān)系可知，甲的預(yù)測正確，乙丙的預(yù)測錯誤，從而可得結(jié)果.6.設(shè)A*)為奇函數(shù)，且當(dāng)％≥°時，fM=ex-1,則當(dāng)無＜°時，"％)=(e-x~1e-x+1C—€~x-1D.~e-x+1)答案:D解答:當(dāng)無<°時，τ>°,/（T）=e-x-1,又/（%）為奇函數(shù),有/⑴=一/(r)=-e-χ+17.設(shè)cc'B為兩個平面，則a〃B的充要條件是（）ct內(nèi)有無數(shù)條直線與B平行ct內(nèi)有兩條相交直線與B平行00平行于同一條直線c?B垂直于同一平面答案:B解析：根據(jù)面面平行的判定定理易得答案.兀 3πx——,x——8. 142 4 f(x)—sinωX(3>O)兩個相鄰的極值點，則3若 是函數(shù)A.23B.2C.11D.2答案：A解答：T_3ππ_π - - - 由題意可知2 4 4 2艮尸,所以ω=2X2 y2+———1.若拋物線W—2px（P>0）的焦點是橢圓3PP的一個焦點，則p―（）A.2B.3C.4D.8答案：D解析：(p,0)拋物線W=2px(P>0)的焦點是2x2 y2—+———1橢圓3PP的焦點是(±*p,0)，，P—萬.21P.P=8

，.曲線y=2sinX+C0SX在點（兀，T）處的切線方程為（）A.X-y-π-1—0B.2X—y—2π-1—0C.D.2X+y—2π+1—0x+y—π+1—0答案：C解析：因為y=2cosX-sin匕所以曲線y=2sinx+cosx在點(π,-l)處的切線斜率為-2,故曲線y=2sinx+∞sx在點(兀1)處的切線方程為2x+y-2兀+1=0.α∈(0,—)∏.已知2,2sin2oc=cos2oc+1,貝∣∣sinα=( )5√55√332√5?答案：B解答：πa∈(0,—)22sin2ot=cos2α+1n4sinαcosα=2cos2α,，C? 1 I^~I 2√52since=cosot——≥tana=— cosot—? 則 2,所以V1+tan20c5,sina-Jl-CoS2α=?/?所以 5.C:--^=l(a>0,b>0)12.設(shè)F為雙曲線 a2b2 的右焦點，0為坐標(biāo)原點，以為直徑的圓與圓X2+w="2交于尸,Q兩點，若IPQI=Pq則。的離心率為：C.2答案：A（C,0） （X-2）2+V2解析：設(shè)F點坐標(biāo)為2，則以O(shè)F為直徑的圓的方程為2圓的方程X2+>2=a2fc]12)2①，②，則①-②，化簡得到a2x=——c，代入②式abV=±—求得c，，a2aba2 ab則設(shè)P點坐標(biāo)為CC，2點坐標(biāo)為cc1^21-故2abC