全國(guó)II卷2018年高考數(shù)學(xué)一題多解含17年高考試

#（全國(guó)II卷）2018年高考數(shù)學(xué)一題多解（□17年高考試題）【理數(shù)10題】已知直三棱柱ABC-ABC中，ZABC=120,AB=2,BC=CC=1，則異面直線11AB1與BC押角的余弦值為口<15BO——5

<10CO——5

DO亙3【答案】【考點(diǎn)】線面角解法一：補(bǔ)形法：將原幾何體補(bǔ)成四棱柱加s—4用a。1「則所求角為亞.￡Z)=722+l-2x2xlxcos600=V3aC[D=AB1=^?因此83/。6口=,故本題答案解法二：向量法：取空間向量的一組基底為L(zhǎng),BC,BB｝，則AB=BB-BA,

111BC=BC+CC=BC+BB，易知AB1(BB-BA?(BC+BB)=BB?BC+BB1-BA?BC-BA?BB=2,所以異面直線AB與FCW角的口麗cosAB?BC<AB,BC"I二LLL——abJ-bcJ屈.有511<10，故本題答案為C.解法三：建系法：如圖所示，以垂直于BC的方向?yàn)閤軸，BC為y軸，B/Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B解法三：建系法：如圖所示，以垂直于BC的方向?yàn)閤軸，BC為y軸，B/Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,1),Aj3,-1,0),BC=(0,1,1),AB=(=-3,1,1)，所以異面直線AB與1BCJ口角的余弦值cos0=AB?BC11AB?BC111+1<1022.%.155，故本題答案為C.【理數(shù)12題】已知AABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，POODABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA?(PB+PC)的最小值是(口一34A.-2B.——C.—-D.-123【答案】B【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、函數(shù)的最值【分析】平面向量中有關(guān)最值問(wèn)題的求解通常有兩種思路：口“形化”，口利用平面向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷［□“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問(wèn)題,然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決．【解析】解法一：坐標(biāo)法：以刀c為工軸一方c的垂直平分線加為，軸,。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo),則也QjTh5(-1.0),C(L0)—設(shè)口工加所以用=(fW—力PB=(-l-x-y)?PC=(l-x-y)TOC\o"1-5"\h\z當(dāng)玳0,半)時(shí)j所求的最小值為故選B./q解法二：極化恒等式：取BC的中點(diǎn)為M，則PB+PC=2PM，于是PA?(PB+PC)=2PA?PM，根據(jù)極化恒等式可得>>>1133PA?PM=—「(PA+PM)2-(PA-PM)2]二—「(2PN)2-(MA)2=PN2-—>-—，故選B.4L」4L」44rn：—代數(shù)法：T圖所示—若2A?(PB+PC)取最小值—?jiǎng)tPA與PB^PC反向共線，即點(diǎn)P位于AABC的中線上，中線長(zhǎng)為02-12=/3，―|PA_=x，則PB+PC=2(43-xXaooPA?(PB+PC)=-2PA2PA?(PB+PC)=-網(wǎng)?IPB+PC|=-PA?(PB+PC)=-2PA2一T3—…工。、一當(dāng)x=—D,PA?(PB+PC)取得最小值，此時(shí)，2

ODD24DDDDa>0,b>0,a3+b3=2,證□：(1)(a+b)(a5+b5)>4;口2)a+b<21O□點(diǎn)口DDDDDDDD解法一：（1）配方法：展開(kāi)所給的式子，然后結(jié)合題意進(jìn)行配方即可證得結(jié)論Sg+3gs+卡）=1+就'+Mb+盧=??+一加呈+成（不+分4）=++雙房一*y>4(2DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD(2DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD(a口b)<8DDDDDDD3(a□b)(0+b)=a□+3a2b+3ab2+b3=2+3ab3(a□b)3(a□b)(<21(a□b)400(a□b)<□oooa+b<2DDDD11DDDD1；DDDDDDa>0,b>0DDDDa+b<2,只需證明(a+b)3<8,ODDa3+3a2b+3ab2+b3<8,DDDDa2b+ab2<2,因?yàn)閍3+b3=2DDDDDDa2b+ab2-a3+b3<0DOOa2(b一a)+b2(a一b)<0DO(a2—b2)(b一a)=-(a—b)2(a+b)<0DODa>0,b>0DDDDDDDD00DDDDD0a+b<2.DDDD11DDDDDD由柯西不等式可得：(a+b)(a5+b5)>(%：a?%a5+Jb?、：1b5)=(a3+b3)2>4,由柯西不等式可得：當(dāng)且僅當(dāng)abb5當(dāng)且僅當(dāng)abb5=、；ba5，即a=b=1時(shí)取等號(hào)，所以（a+b）（a5+b5）＞4，原問(wèn)題得證（2）同解法1.（2）同解法1.【文數(shù)11題】從分別寫(xiě)有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（1A.1A.10132B-5C-10D.5【答案】D【考點(diǎn)】古典概型【解析】解法一：圖表法：根據(jù)題意，寫(xiě)出基本事件空間，如下表所示，表中的點(diǎn)橫坐標(biāo)表示第一次取到的數(shù)，縱102坐標(biāo)表示第二次取到的數(shù)總計(jì)有25種情況，滿足條件的有10種，所以所求概率為25=5，本題選D.123451口1,1)口1,2)口1,3)口1,4)口1,5)2口2,1)口2,2)口2,3)口2,4)口2,5)3口3,1)口3,2)口3,3)口3,4)口3,5)4口4,1)口4,2)(4,3)口4,4)口4,5)5口5,1)口5,2)(5,3)口5,4)口5,5)解法二：基本事件空間法：容易知道，基本事件總數(shù)n=5x5=25，抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有：（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4,3），（5,1），（5,2）（5,3），（5,4），卡片上的數(shù)包含的基本事件有：共有m=10共有m=10個(gè)基本事件，所以抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率10p二252=5，本題選D.解法三：分類討論：根據(jù)題意，抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的情況有以下四種：111D.解法三：分類討論：根據(jù)題意，抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的情況有以下四種：111第一張抽到2,第二張抽到1,概率p=-x-=—；D2）第一張抽到5525（1）3,第二張抽到1或2,概率p212=X—2=;(253）第一張抽到4，第二張抽到第二張抽到1或2或4，p212=X—2=;(253）第一張抽到4，第二張抽到第二張抽到1或2或4，概率144p=-x-=—；故455251331或2或3,概率p=-x-=—口(4皿一張抽到355252p=p+p+p+p=—，本題答案為12345D.【文數(shù)12題】QABC的內(nèi)角a,b,c，若2bcosB=acosC+ccosA，則B=【答案】【考點(diǎn)】正余弦定理的應(yīng)用5，【分析】解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的．其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來(lái)，然后確定轉(zhuǎn)化的方向．第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化．第三步：求結(jié)果．解法一：化邊為角：由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinBncosB=解法二：化角為邊：由余弦定理可得二十?

loc2ab兩邊同時(shí)乘以23整理得1+1—，二十?

loc2abac理得COR方=2ac解法三：特殊化處理：若理得COR方=2ac解法三：特殊化處理：若QABC為等邊三角形，則a=b=c,cosA=cosB=cosC，滿足已知條件，所以兀B=-3【文數(shù)24題】已知a>0,b>【文數(shù)24題】已知a>0,b>0,a3+b3=2，證明：（1）(a+b)(a5+b5)>4;（2）【考點(diǎn)】不等式性質(zhì)的應(yīng)用【解析】解法一：（1）配方法：展開(kāi)所給的式子，然后結(jié)合題意進(jìn)行配方即可證得結(jié)論；(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2—b2)2>4

(2DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD(2DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDQ[b)<8DDDDDDD(0+b)=a3+3a2b+3ab2+b□=2+3ab(a□b)3(a□b)3(a+b)<21(a□b)=2+44DD(a+b)<8n此a+b<2.解法二：（1）同解法L（2）分析法：因?yàn)榭谝C明口+》工2,只需證明9+3尸冬8,即證明標(biāo)+3門(mén)%+%川+**以只需證明口為+出/W2,因?yàn)?+/=2,