人教A版高一數(shù)學(xué)必修1011有限樣本空間與隨機(jī)事件

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10.1隨機(jī)事件的概率10.1.1有限樣本空間現(xiàn)隨機(jī)事件1494年帕奇歐里提出賭金分配問題1654年帕斯卡與費(fèi)馬通信探討,概率論奠基人1657年惠更斯出版《論骰子游戲中的推理》20世紀(jì)初科爾莫戈羅夫建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母怕收摾碚擉w系01020306概率論起源與發(fā)展041713年伯努利《猜度術(shù)》大數(shù)理論051812年拉普拉斯《分析概率論》前言：概率的前世今生1.拋擲一枚硬幣，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況；2.買一注福利彩票，觀察中獎(jiǎng)、不中獎(jiǎng)的情況；研究某種隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，首先要觀察它所有可能的基本結(jié)果.隨機(jī)現(xiàn)象普遍存在，有的簡(jiǎn)單有的復(fù)雜，有的只有有限個(gè)可能結(jié)果，有的有無窮個(gè)可能結(jié)果；這里的無窮又分為兩種，即可列無窮和不可列無窮，例如，對(duì)擲硬幣試驗(yàn)，等待首次出現(xiàn)正面朝上所需的試驗(yàn)次數(shù)，具有可列無窮個(gè)可能結(jié)果；而預(yù)測(cè)某地7月份的的降水量，可能結(jié)果則充滿某個(gè)區(qū)間，其可能結(jié)果不能一一列舉，即有不可列無窮個(gè)可能結(jié)果.所以，常見的概率模型有兩類，即離散型概率模型和連續(xù)型概率模型.高中階段主要研究離散型概率模型.學(xué)習(xí)新知隨機(jī)試驗(yàn)我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為_________(random

experiment)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母E表示．我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：隨機(jī)試驗(yàn)(1)試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；(3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．可重復(fù)性可預(yù)知性隨機(jī)性學(xué)習(xí)新知思考1：體育彩票搖獎(jiǎng)時(shí),將10個(gè)質(zhì)地和大小完全相同、分別標(biāo)號(hào)0,1,2，…，9的球放入搖獎(jiǎng)器中，經(jīng)過充分?jǐn)嚢韬髶u出一個(gè)球，觀察這個(gè)球的號(hào)碼，這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)共有多少個(gè)可能結(jié)果？如何表示這些結(jié)果？我們只討論Ω為有限集的情況.如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1,ω2,...,ωn,則稱樣本空間Ω={ω1,ω2,...,ωn,}為有限樣本空間.共有10種可能結(jié)果.所有可能結(jié)果可用集合表示為{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}學(xué)習(xí)新知我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間（samplespace).一般地，我們用Ω(歐米伽)表示樣本空間，用ω表示樣本點(diǎn).樣本點(diǎn)是隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果，樣本空間是全體樣本點(diǎn)的集合.關(guān)于什么是基本結(jié)果,只能直觀描述,無法嚴(yán)格定義.例如，拋擲一對(duì)骰子，建立包含36個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間Ω1={(x,y)|x,y∈{1,2,3,4,5,6}},其中每個(gè)結(jié)果就是基本結(jié)果，如果建立只包含4個(gè)可能結(jié)果的樣本空間Ω2={(偶，偶）,(偶，奇）,(奇，偶）,(奇，奇）},其中每個(gè)元素就不能認(rèn)為是基本結(jié)果.因?yàn)樵跇颖究臻gΩ2中無法求“點(diǎn)數(shù)之和為5”的概率.(1)如何確定試驗(yàn)的樣本空間？提示：確定試驗(yàn)的樣本空間就是寫出試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果，并寫成Ω={ω1，ω2，…，ωn}的形式.(2)寫試驗(yàn)的樣本空間要注意些什么？提示：要考慮周全，應(yīng)想到試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果，避免發(fā)生遺漏和出現(xiàn)多余或者重復(fù)的結(jié)果.規(guī)律方法典型例題解：因?yàn)槁涞貢r(shí)只有正面朝上和反面朝上兩個(gè)可能結(jié)果，所以試驗(yàn)的樣本空間可以表示為Ω

=(正面朝上，反面朝上）,如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，則樣本空間Ω

={h,t}.例1拋擲一枚硬幣，觀察它落地時(shí)哪一面朝上，寫出試驗(yàn)的樣本空間。解：用i表示朝上面的“點(diǎn)數(shù)為i”，因?yàn)槁涞貢r(shí)朝上面的點(diǎn)數(shù)有1,2,3,4,5,6共6個(gè)可能的基本結(jié)果，所以試驗(yàn)的樣本空間可以表示為Ω={1,2,3,4,5,6}.例2拋擲一枚骰子（touzi),觀察它落地時(shí)朝上的面的點(diǎn)數(shù)，寫出試驗(yàn)的樣本空間.

構(gòu)建樣本空間，這是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的關(guān)鍵步驟，其作用體現(xiàn)在：可以利用集合工具（語言）描述概率問題，能用數(shù)學(xué)語言嚴(yán)格刻畫隨機(jī)事件的概念，通過與集合關(guān)系與運(yùn)算的類比，可以更好地理解隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算意義.可以用符號(hào)語言準(zhǔn)確而簡(jiǎn)練地表示求解概率問題的過程.典型例題解：擲兩枚硬幣，第一枚硬幣可能的基本結(jié)果用x表示，第二枚硬幣可能的基本結(jié)果用y表示，那么試驗(yàn)的樣本點(diǎn)可用（x,y)表示.于是，試驗(yàn)的樣本空間Ω

={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面，反面)}例3拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時(shí)朝上的面的情況，寫出試驗(yàn)的樣本空間如果我們用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝第一枚第二枚上”，那么樣本空間還可以簡(jiǎn)單表示為Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.如圖所示，畫樹狀圖可以幫助我們理解例3的解答過程.對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，一般用1和0表示這兩個(gè)結(jié)果.一方面數(shù)學(xué)追求最簡(jiǎn)潔地表示，另一方面，這種表示有其實(shí)際意義，在后面的研究中會(huì)帶來很大的方便.鞏固練習(xí)解:(1)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}．(2)樣本點(diǎn)的總數(shù)為16.(1,4),(2,3),(3,2),(1,4)；(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)．(1,4),(2,2),(4,1)(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)在擲骰子試驗(yàn)中，樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6}，思考：(1)集合{1,3,5}有沒有意義？在一次擲骰子試驗(yàn)中集合{1,3,5}一定會(huì)出現(xiàn)嗎？提示：{1,3,5}=“擲出點(diǎn)數(shù)是1、3、5”=“擲出點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)點(diǎn)”是隨機(jī)出現(xiàn)的。(2)在一次擲骰子試驗(yàn)中Ω={1,2,3,4,5,6}的所有子集有意義嗎？是否發(fā)生？提示：都有意義，Ω一定發(fā)生，?一定不發(fā)生，其它子集隨機(jī)發(fā)生。探究新知一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來表示.為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件（randomevent),簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件（elementaryevent).隨機(jī)事件一般用大寫字母A,B,C,···表示，在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生.學(xué)習(xí)新知Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以Ω總會(huì)發(fā)生，我們稱Ω為必然事件.而空集Φ不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們?chǔ)捣Q為不可能事件.必然事件與不可能事件不具有隨機(jī)性.為了方便統(tǒng)一處理，將必然事件和不可能事件作為隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情形。這樣，每個(gè)事件都是樣本空間。Ω的一個(gè)子集.隨機(jī)事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件。必然事件：在一定條件下必然要發(fā)生的事件叫必然事件。不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件叫不可能事件。規(guī)律方法已知袋中裝有大小相同的紅、白、黃、黑4個(gè)球，分別寫出以下試驗(yàn)的樣本空間．(1)從中一次任取1球，觀察球的顏色；(2)從中一次任取2球，觀察球的顏色．解析：(1)樣本空間為Ω={紅,白,黃,黑}．(2)若記(x，y)表示一次試驗(yàn)中，取出的是x球與y球，樣本空間為Ω={(紅，白)，(紅，黃)，(紅，黑)，(白，黃)，(白，黑)，(黃，黑)}6種．鞏固練習(xí)思考1：將(2)條件“從中一次任取2球”改為“從中一次任取1球記錄顏色后不放回，再任取1球記錄顏色”,求樣本空間.解析：若記(x，y)表示一次試驗(yàn)中，第一次取出的是x球與第二次取出的y球，樣本空間為Ω={(紅，白)，(紅，黃)，(紅，黑)，(白，紅)，(白，黃)，(白，黑)，(黃，紅)，(黃，白)，(黃，黑)，(黑，紅)，(黑，白)，(黑，黃)}思考2：將(2)條件“從中一次任取2球”改為“從中一次任取1球記錄顏色后放回，再任取1球記錄顏色”,求樣本空間.解析：若記(x，y)表示一次試驗(yàn)中，第一次取出的是x球與第二次取出的y球，樣本空間為Ω={(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黃)，(紅，黑)，

(白，紅)，(白，白)，(白，黃)，(白，黑)，(黃，紅)，(黃，白)，(黃，黃)，(黃，黑)，(黑，紅)，(黑，白)，(黑，黃)，(黑，黑)}規(guī)律方法

在寫樣本空間時(shí)，一般采用列舉法寫出，必須首先明確事件發(fā)生的條件，按一定次序列舉，才能保證所列結(jié)果沒有重復(fù)，也沒有遺漏．指出下列事件是必然事件,不可能事件,還是隨機(jī)事件：（1）某地1月1日刮西北風(fēng)；（2）當(dāng)x是實(shí)數(shù)時(shí),;(3)手電筒的電池沒電,燈泡發(fā)亮；（4）一個(gè)電影院某天的上座率超過50%。隨機(jī)事件必然事件不可能事件隨機(jī)事件鞏固練習(xí)（5）如果a＞b，那么a一b＞0；（6）從分別標(biāo)有數(shù)字l，2，3，4，5的5張標(biāo)簽中任取一張，得到4號(hào)簽;（7）某電話機(jī)在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫；（8）隨機(jī)選取一個(gè)實(shí)數(shù)x，得|x|<0.必然事件隨機(jī)事件隨機(jī)事件不可能事件典型例題例4如圖,一個(gè)電路中有A,B,C三個(gè)電器元件，每個(gè)元件可能正常，也可能失效.把這個(gè)電路是否為通路看成是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，觀察這個(gè)電路中各元件是否正常.(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間;(2)用集合表示下列事件：M=“恰好兩個(gè)元件正?！保籒=“電路是通路”；T=“電路是斷路”.解：分別用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能狀態(tài)，則這個(gè)電路的工作狀態(tài)可用(x1,x2,x3)表示.進(jìn)一步地，用1表示元件的“正?！睜顟B(tài)，用0表示“失效”狀態(tài)，(1)樣本空間Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.如圖,還可以借助樹狀圖幫助我們列出試驗(yàn)的所有可能結(jié)果.典型例題例4如圖,一個(gè)電路中有A,B,C三個(gè)電器元件，每個(gè)元件可能正常，也可能失效.把這個(gè)電路是否為通路看成是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，觀察這個(gè)電路中各元件是否正常.(2)用集合表示下列事件：M=“恰好兩個(gè)元件正?！?；N=“電路是通路”；T=“電路是斷路”.解：分別用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能狀態(tài)，則這個(gè)電路的工作狀態(tài)可用(x1,x2,x3)表示.進(jìn)一步地，用1表示元件的“正?！睜顟B(tài)，用0表示“失效”狀態(tài)，(2)“恰好兩個(gè)元件正?！钡葍r(jià)于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3中恰有兩個(gè)為1,所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.“電路是通路”等價(jià)于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=1,且x2,x3中至少有一個(gè)是1,所以N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}。同理，“電路是斷路”等價(jià)于(x1,x2,x3)∈Ω，x1=0,或x1=1,x2=x3=0.所以T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}.(1)用樣本點(diǎn)表示隨機(jī)事件，首先弄清試驗(yàn)的樣本空間，不重不漏列出所有的樣本點(diǎn)．然后找出滿足隨機(jī)事件要求的樣本點(diǎn)，從而用這些樣本點(diǎn)組成的集合表示隨機(jī)事件．(2)隨機(jī)事件可以用文字表示，也可以將事件表示為樣本空間的子集，后者反映了事件的本質(zhì)，且更便于今后計(jì)算事件發(fā)生的概率．規(guī)律方法鞏固練習(xí)課本2291.寫出下列各隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：(1)采用抽簽的方式，隨機(jī)選擇一名同學(xué)，并記錄其性別；(2)采用抽簽的方式，隨機(jī)選擇一名同學(xué)，觀察其ABO血型；(3)隨機(jī)選擇一個(gè)有兩個(gè)小孩的家庭，觀察兩個(gè)孩子的性別；(4)射擊靶3次，觀察各次射擊中靶或脫靶情況；(5)射擊靶3次，觀察中靶的次數(shù).

Ω={男，女}或令m表示男生，f表示女生，則樣本空間為Ω={m,f}.Ω={O,A,B,AB}.b表示“男孩”，g表示“女孩”，樣本空間為Ω={bb,bg,gb,gg}.每次射擊，中靶用1表示，脫靶用0表示，則3次射擊的樣本空間為Ω={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}Ω={(0,1,2,3)}2.如圖，由A,B兩個(gè)元件分別組成串聯(lián)電路（圖(1))和并聯(lián)電路(圖(2)),觀察兩個(gè)元件正常或失效的情況.(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間；(2)對(duì)串聯(lián)電路，寫出事件M=“電路是通路”包含的樣本點(diǎn)；(3)對(duì)并聯(lián)電路，寫出事件N=“電路是斷路”包含的樣本點(diǎn).解:(1)用1表示元件正常，0表示元件失效，則樣本空間為Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.(2)對(duì)于串聯(lián)電路，M={(1,1)}.(3)對(duì)于并聯(lián)電路，N={(0,0)}.鞏固練習(xí)課本2293.袋子中有9個(gè)大小和質(zhì)地相同的球，標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9,從中隨機(jī)模出一個(gè)球(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間；(2)用集合表示事件A=“摸到球的號(hào)碼小于5”，事件B=“摸到球的號(hào)碼大于4”，事件