微分方程模型建立中的穩(wěn)定性模型

微分方程模型建立中的穩(wěn)定性模型第1頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月0穩(wěn)定性問(wèn)題

在研究許多實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們最為關(guān)心的也許并非系統(tǒng)與時(shí)間有關(guān)的變化狀態(tài)，而是系統(tǒng)最終的發(fā)展趨勢(shì)。例如，在研究某頻危種群時(shí)，雖然我們也想了解它當(dāng)前或今后的數(shù)量，但我們更為關(guān)心的卻是它最終是否會(huì)絕滅，用什么辦法可以拯救這一種群，使之免于絕種等等問(wèn)題。要解決這類問(wèn)題，需要用到微分方程或微分方程組的穩(wěn)定性理論。在下兩節(jié)，我們將研究幾個(gè)與穩(wěn)定性有關(guān)的問(wèn)題。第2頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一般的微分方程或微分方程組可以寫成：定義稱微分方程或微分方程組為自治系統(tǒng)或動(dòng)力系統(tǒng)。（3.28）

若方程或方程組f(x)=0有解Xo，X=Xo顯然滿足（3.28）。稱點(diǎn)Xo為微分方程或微分方程組（3.28)的平衡點(diǎn)或奇點(diǎn)。第3頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例Logistic模型共有兩個(gè)平衡點(diǎn)：N=0和N=K，分別對(duì)應(yīng)微分方程的兩兩個(gè)特殊解。前者為No=0時(shí)的解而后者為No=K時(shí)的解。

當(dāng)No<K時(shí)，積分曲線N=N(t)位于N=K的下方；當(dāng)No>K時(shí)，則位于N=K的上方。從圖3-17中不難看出，若No>0，積分曲線在N軸上的投影曲線（稱為軌線）將趨于K。這說(shuō)明，平衡點(diǎn)N=0和N=K有著極大的區(qū)別。圖3-17

定義1自治系統(tǒng)的相空間是指以（x1,…,xn）為坐標(biāo)的空間Rn。特別，當(dāng)n=2時(shí)，稱相空間為相平面。空間Rn的點(diǎn)集{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)滿足(3.28)，i=1,…,n}稱為系統(tǒng)的軌線，所有軌線在相空間的分布圖稱為相圖。第4頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義2設(shè)x0是（3.28）的平衡點(diǎn)，稱：（1）x0是穩(wěn)定的，如果對(duì)于任意的ε>0，存在一個(gè)δ>0，只要|x(0)-x0|<δ，就有|x(t)-x0|<ε對(duì)所有的t都成立。（2）x0是漸近穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的且。

微分方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性除了幾何方法，還可以通過(guò)解析方法來(lái)討論，所用工具為以下一些定理。（3）x0是不穩(wěn)定的，如果（1）不成立。根據(jù)這一定義，Logistic方程的平衡點(diǎn)N=K是穩(wěn)定的且為漸近穩(wěn)定的，而平衡點(diǎn)N=0則是不穩(wěn)定的。第5頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解析方法定理1設(shè)xo是微分方程的平衡點(diǎn)：若,則xo是漸近穩(wěn)定的若,則xo是漸近不穩(wěn)定的證由泰勒公式，當(dāng)x與xo充分接近時(shí)，有：由于xo是平衡點(diǎn)，故f(xo)=0。若，則當(dāng)x<xo時(shí)必有f(x)>0，從而x單增；當(dāng)x>xo時(shí)，又有f(x)<0，從而x單減。無(wú)論在哪種情況下都有x→xo，故xo是漸進(jìn)穩(wěn)定的。的情況可類似加以討論。高階微分方程與高階微分方程組平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性討論較為復(fù)雜，大家有興趣可參閱微分方程定性理論。為了下兩節(jié)的需要，我們簡(jiǎn)單介紹一下兩階微分方程組平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性判別方法。第6頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月考察兩階微分方程組：（3.29）

令，作一坐標(biāo)平移，不妨仍用x記x’，則平衡點(diǎn)xo的穩(wěn)定性討論轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)的穩(wěn)定性討論了。將f(x1,x2)、g(x1,x2)在原點(diǎn)展開，（3.29）又可寫成:考察（3.29）的線性近似方程組:（3.30）其中：第7頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月記λ1、λ2為A的特征值則λ1、λ2是方程：det（A-λI）=λ2-(a+b)λ+(ad–bc)=0的根令p=a+d,q=ad-bc=|A|，則，記。討論特征值與零點(diǎn)穩(wěn)定的關(guān)系（1）若△>0，可能出現(xiàn)以下情形：

①若q>0，λ1λ2>0。當(dāng)p>0時(shí)，零點(diǎn)不穩(wěn)定；當(dāng)p<0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定若q<0，λ1λ2<0當(dāng)c1=0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定當(dāng)c1≠0時(shí),零點(diǎn)為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)③q=0，此時(shí)λ1=p，λ2=0，零點(diǎn)不穩(wěn)定。（2）△=0，則λ1=λ2:λ有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量當(dāng)p>0時(shí)，零點(diǎn)不穩(wěn)定當(dāng)p<0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定第8頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月②如果λ只有一個(gè)特征向量當(dāng)p≥0時(shí)，零點(diǎn)不穩(wěn)定當(dāng)p>0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定（2）△<0，此時(shí)若a>0，零點(diǎn)穩(wěn)定若a=0，有零點(diǎn)為中心的周期解

綜上所述：僅當(dāng)p<0且q>0時(shí)，（3.30）零點(diǎn)才是漸近穩(wěn)定的；當(dāng)p=0且q>0時(shí)（3.30）有周期解，零點(diǎn)是穩(wěn)定的中心（非漸近穩(wěn)定）；在其他情況下，零點(diǎn)均為不穩(wěn)定的。非線性方程組（3.29）平衡點(diǎn)穩(wěn)定性討論可以證明有下面定理成立:定理2若（3.30）的零點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，則（3.29）的平衡點(diǎn)也是漸近穩(wěn)定的；若（3.30）的零點(diǎn)是不穩(wěn)定的，則（3.29）的平衡點(diǎn)也是不穩(wěn)定的。第9頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月穩(wěn)定性模型對(duì)象仍是動(dòng)態(tài)過(guò)程，而建模目的是研究時(shí)間充分長(zhǎng)以后過(guò)程的變化趨勢(shì)——平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。第10頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.1捕魚業(yè)的持續(xù)收獲再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等）再生資源應(yīng)適度開發(fā)——在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。問(wèn)題及分析在捕撈量穩(wěn)定的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。如果使捕撈量等于自然增長(zhǎng)量，漁場(chǎng)魚量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。背景第11頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月產(chǎn)量模型假設(shè)無(wú)捕撈時(shí)魚的自然增長(zhǎng)服從Logistic規(guī)律單位時(shí)間捕撈量與漁場(chǎng)魚量成正比建模捕撈情況下漁場(chǎng)魚量滿足不需要求解x(t),只需知道x(t)穩(wěn)定的條件r~固有增長(zhǎng)率,N~最大魚量h(x)=Ex,E~捕撈強(qiáng)度x(t)~漁場(chǎng)魚量第12頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一階非線性（自治）方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡點(diǎn)設(shè)x(t)是方程的解，若從x0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱x0是方程(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)不求x(t),判斷x0穩(wěn)定性的方法——直接法(1)的近似線性方程第13頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月產(chǎn)量模型平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判斷x0穩(wěn)定,可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1穩(wěn)定,漁場(chǎng)干枯E~捕撈強(qiáng)度r~固有增長(zhǎng)率第14頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月產(chǎn)量模型在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使產(chǎn)量最大圖解法P的橫坐標(biāo)x0~平衡點(diǎn)y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的縱坐標(biāo)h~產(chǎn)量產(chǎn)量最大f與h交點(diǎn)Phmx0*=N/2P*y=E*x控制漁場(chǎng)魚量為最大魚量的一半第15頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月效益模型假設(shè)魚銷售價(jià)格p單位捕撈強(qiáng)度費(fèi)用c單位時(shí)間利潤(rùn)在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使效益最大.穩(wěn)定平衡點(diǎn)求E使R(E)最大漁場(chǎng)魚量收入T=ph(x)=pEx支出S=cE第16頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月EsS(E)T(E)0rE捕撈過(guò)度

封閉式捕撈追求利潤(rùn)R(E)最大

開放式捕撈只求利潤(rùn)R(E)>0R(E)=0時(shí)的捕撈強(qiáng)度(臨界強(qiáng)度)Es=2ER臨界強(qiáng)度下的漁場(chǎng)魚量捕撈過(guò)度ERE*令=0第17頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.2軍備競(jìng)賽描述雙方(國(guó)家或國(guó)家集團(tuán))軍備競(jìng)賽過(guò)程解釋(預(yù)測(cè))雙方軍備競(jìng)賽的結(jié)局假設(shè)1）由于相互不信任，一方軍備越大，另一方軍備增加越快；2）由于經(jīng)濟(jì)實(shí)力限制，一方軍備越大，對(duì)自己軍備增長(zhǎng)的制約越大；3）由于相互敵視或領(lǐng)土爭(zhēng)端，每一方都存在增加軍備的潛力。進(jìn)一步假設(shè)1）2）的作用為線性；3）的作用為常數(shù)目的第18頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月建模軍備競(jìng)賽的結(jié)局微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性x(t)~甲方軍備數(shù)量，y(t)~乙方軍備數(shù)量,~本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約；k,l~對(duì)方軍備數(shù)量的刺激；g,h~本方軍備競(jìng)賽的潛力。t時(shí)的x(t)，y(t)第19頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性常系數(shù)微分方程組的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)P0(x0,y0)=(0,0)~代數(shù)方程的根若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點(diǎn)記系數(shù)矩陣特征方程特征根第20頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性常系數(shù)微分方程組的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性特征根平衡點(diǎn)P0(0,0)微分方程一般解形式平衡點(diǎn)P0(0,0)穩(wěn)定平衡點(diǎn)P0(0,0)不穩(wěn)定1,2為負(fù)數(shù)或有負(fù)實(shí)部p>0且q>0p<0或q<0第21頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判斷系數(shù)矩陣平衡點(diǎn)(x0,y0)穩(wěn)定的條件模型軍備競(jìng)賽第22頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的定性解釋雙方軍備穩(wěn)定(時(shí)間充分長(zhǎng)后趨向有限值)的條件雙方經(jīng)濟(jì)制約大于雙方軍備刺激時(shí)，軍備競(jìng)賽才會(huì)穩(wěn)定，否則軍備將無(wú)限擴(kuò)張。平衡點(diǎn)2)若g=h=0,則x0=y0=0,在>kl下x(t),y(t)0,即友好鄰國(guó)通過(guò)裁軍可達(dá)到永久和平。模型,~本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約；k,l~對(duì)方軍備數(shù)量的刺激；g,h~本方軍備競(jìng)賽的潛力。第23頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3）若g,h不為零，即便雙方一時(shí)和解，使某時(shí)x(t),y(t)很小，但因，也會(huì)重整軍備。4）即使某時(shí)一方(由于戰(zhàn)敗或協(xié)議)軍備大減,如x(t)=0，也會(huì)因使該方重整軍備，即存在互不信任()或固有爭(zhēng)端()的單方面裁軍不會(huì)持久。模型的定性解釋,~本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約；k,l~對(duì)方軍備數(shù)量的刺激；g,h~本方軍備競(jìng)賽的潛力。模型第24頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.3種群的相互競(jìng)爭(zhēng)一個(gè)自然環(huán)境中有兩個(gè)種群生存，它們之間的關(guān)系：相互競(jìng)爭(zhēng)；相互依存；弱肉強(qiáng)食。當(dāng)兩個(gè)種群為爭(zhēng)奪同一食物來(lái)源和生存空間相互競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，常見的結(jié)局是，競(jìng)爭(zhēng)力弱的滅絕，競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)的達(dá)到環(huán)境容許的最大容量。建立數(shù)學(xué)模型描述兩個(gè)種群相互競(jìng)爭(zhēng)的過(guò)程，分析產(chǎn)生這種結(jié)局的條件。第25頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型假設(shè)有甲乙兩個(gè)種群，它們獨(dú)自生存時(shí)數(shù)量變化均服從Logistic規(guī)律;兩種群在一起生存時(shí)，乙對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比;甲對(duì)乙有同樣的作用。對(duì)于消耗甲的資源而言，乙(相對(duì)于N2)是甲(相對(duì)于N1)的1倍。對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用，乙大于甲乙的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)模型第26頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型分析(平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性)(二階)非線性(自治)方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)P0(x10,x20)~代數(shù)方程的根若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點(diǎn)模型第27頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月判斷P0(x10,x20)穩(wěn)定性的方法——直接法(1)的近似線性方程平衡點(diǎn)P0穩(wěn)定(對(duì)2,1)p>0且q>0平衡點(diǎn)P0不穩(wěn)定(對(duì)2,1)p<0或q<0第28頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月僅當(dāng)1,2<1或1,2>1時(shí)，P3才有意義模型第29頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析平衡點(diǎn)Pi穩(wěn)定條件：p>0且q>0第30頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月種群競(jìng)爭(zhēng)模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性不穩(wěn)定平衡點(diǎn)2>1,1>1,P1,P2是一個(gè)種群存活而另一滅絕的平衡點(diǎn)P3是兩種群共存的平衡點(diǎn)1<1,2<1P1穩(wěn)定的條件1<1?1<12<1穩(wěn)定條件第31頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月0S1S2S3平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的相軌線分析從任意點(diǎn)出發(fā)(t=0)的相軌線都趨向P1(N1,0)(t)P1(N1,0)是穩(wěn)定平衡點(diǎn)(1)2>1,

1<1tx1,x2tx1,x2tx1,x2第32頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月P1P2有相軌線趨向P1有相軌線趨向P2P1穩(wěn)定的條件：直接法2>1P1,P2都不(局部)穩(wěn)定0(3)1<1,2<10(2)1>1,2<10(4)1>1,2>1加上與(4)相區(qū)別的1<1

P2穩(wěn)定

P3穩(wěn)定P1全局穩(wěn)定第33頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)果解釋對(duì)于消耗甲的資源而言，乙(相對(duì)于N2)是甲(相對(duì)于N1)的1倍。對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用，乙小于甲乙的競(jìng)爭(zhēng)力弱

P1穩(wěn)定的條件：1<1,2>12>1甲的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)甲達(dá)到最大容量，乙滅絕

P2穩(wěn)定的條件：1>1,2<1

P3穩(wěn)定的條件：1<1,2<1通常11/2，P3穩(wěn)定條件不滿足第34頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.4種群的相互依存甲乙兩種群的相互依存有三種形式1)甲可以獨(dú)自生存，乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。2)甲乙均可以獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。3)甲乙均不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。第35頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型假設(shè)甲可以獨(dú)自生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律;甲乙一起生存時(shí)乙為甲提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)甲為乙提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)；乙的增長(zhǎng)又受到本身的阻滯作用(服從Logistic規(guī)律)。模型乙為甲提供食物是甲消耗的1倍甲為乙提供食物是乙消耗的2倍第36頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月種群依存模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件不穩(wěn)定平衡點(diǎn)第37頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平衡點(diǎn)P2穩(wěn)定性的相軌線0

1<1,2>1,12<1

P2穩(wěn)定第38頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月12<1~2>1前提下P2存在的必要條件結(jié)果解釋2>1~甲必須為乙提供足夠的食物——甲為乙提供的食物是乙消耗的2倍1<1~2>1,12<1的需要，且1必須足夠小，才能在2>1條件下使12<1成立

P2穩(wěn)定條件：1<1,2>1,12<1甲可以獨(dú)自生存乙不能獨(dú)立生存第39頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.5種群的弱肉強(qiáng)食(食餌-捕食者模型)種群甲靠豐富的天然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌-捕食者系統(tǒng)，如食用魚和鯊魚，美洲兔和山貓，害蟲和益蟲。

模型的歷史背景——一次世界大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降(食用魚和鯊魚同時(shí)捕撈)，但是其中鯊魚的比例卻增加，為什么？第40頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月食餌（甲）數(shù)量x(t),捕食者（乙）數(shù)量y(t)甲獨(dú)立生存的增長(zhǎng)率r乙使甲的增長(zhǎng)率減小，減小量與y成正比乙獨(dú)立生存的死亡率d甲使乙的死亡率減小，減小量與x成正比方程(1),(2)無(wú)解析解食餌-捕食者模型(Volterra)a~捕食者掠取食餌能力b~食餌供養(yǎng)捕食者能力第41頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Volterra模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析P點(diǎn)穩(wěn)定性不能用近似線性方程分析p=0,q>0P:臨界狀態(tài)q<0P′不穩(wěn)定第42頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.9269………5.10009.616216.72355.20009.017316.2064………9.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求微分方程數(shù)值解x~y平面上的相軌線第43頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月計(jì)算結(jié)果（數(shù)值，圖形）x(t),y(t)是周期函數(shù)，相圖(x,y)是封閉曲線觀察，猜測(cè)x(t),y(t)的周期約為9.6xmax65.5,xmin6,ymax20.5,ymin3.9用數(shù)值積分可算出x(t),y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值約為25,y(t)的平均值約為10。食餌-捕食者模型(Volterra)第44頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月消去dt用相軌線分析點(diǎn)穩(wěn)定性c由初始條件確定取指數(shù)第45頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上討論相軌線的圖形用相軌線分析點(diǎn)穩(wěn)定性相軌線時(shí)無(wú)相軌線以下設(shè)第46頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0xx0P0x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1),Q4(x,y2)相軌線退化為P點(diǎn)存在x1<x0<x2,使f(x1)=f(x2)=p存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q相軌線是封閉曲線族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0相軌線P~中心第47頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相軌線是封閉曲線x(t),y(t)