§45-量子力學(xué)的矩陣形式和表象變換課件

§4.5

量子力學(xué)的矩陣形式和表象變換

1、量子態(tài)的不同表象幺正變換態(tài)和力學(xué)量算符的不同表示形式稱為表象。態(tài)有時稱為態(tài)矢量。取平面直角坐標系OX1X2其基矢（我們過去稱之為單位矢）可表示為，見下圖。（1）直角坐標系中的類比力學(xué)量算符對態(tài)的作用實際上是對矢量量進行變換，因此可與代數(shù)中線性變換進行類比。其標積可寫成下面的形式我們將其稱之為基矢的正交歸一關(guān)系。其中，且同樣有其中投影分量是而現(xiàn)在的問題是：這兩個表示有何關(guān)系？顯然，表成矩陣的形式為或記為其中變換矩陣的矩陣元正是兩坐標系基矢間的標積，它表示基矢之間的關(guān)系。故R給定，任何矢量在兩坐標系間的關(guān)系也確定。很容易證明，R

具有下述性質(zhì)：由于故稱這種矩陣為正交矩陣。且~我們把滿足上述條件的矩陣叫幺正矩陣。（實矩陣）到現(xiàn)在為止，我們介紹了三種矩陣：厄米矩陣：正交矩陣：幺正矩陣：~這三種矩陣在以后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常涉及到，請注意掌握。（2）量子力學(xué)中的表象形式上與上述類似，在量子力學(xué)中，按照態(tài)的疊加原理，任何一個態(tài)ψ可以看成Hilbert空間的一個“矢量”。

體系的力學(xué)量

F

完全集的共同本征函數(shù)系ψk（k

代表一組完備量子數(shù)）構(gòu)成一組正交歸一完備基矢。這組基矢構(gòu)成的“坐標系”稱為F表象。同樣對于任意態(tài)矢量ψ，有其中與代數(shù)不同的是：①這里的“矢量”（量子態(tài)）是復(fù)數(shù)；②空間維數(shù)可以是無窮的，甚至不可數(shù)的?，F(xiàn)在考慮同一個態(tài)ψ在另一組力學(xué)量完全集

(表象

)中的表示。那么？方法同前述。因為顯然其中上式也可以寫成矩陣的形式：簡記為通過S矩陣相聯(lián)系，且即S矩陣是幺正矩陣（下面將予以證明）它實際上是聯(lián)系兩個基矢的變換矩陣。例試證明：S

矩陣是幺正矩陣[分析]只要證明S+S的矩陣元是δij

即可。在F表象中，有根據(jù)S矩陣元的定義，上式為利用前面的介紹，δ函數(shù)可以用任何一組正交歸一完備函數(shù)組來構(gòu)成，即則上式可見，S+S矩陣為單位矩陣，即S+S=I。2、力學(xué)量算符的矩陣表示仍以線性空間的矢量作類比正向轉(zhuǎn)動θ角已經(jīng)知道：令即按照右下圖，有其中則有下面我們看如何通過上式由ak求bk。其中由上式可見，力學(xué)量算符對態(tài)的作用可以寫成對例求一維諧振子坐標x、動量p以及HamiltonianH在能量表象中的表示。[分析]不同體系的Hamiltonian不一樣，能量表象的基矢也不一樣。這里能量表象的基矢為一維諧振子Hamiltonian

的本征函數(shù)解：利用一維諧振子波函數(shù)的遞推關(guān)系所以注意：這里的m、n都是由0開始取值。這樣而所以任何力學(xué)量在自身表象中的表示都是對角矩陣。是一個對角矩陣。3、量子力學(xué)的矩陣表示設(shè)力學(xué)量完全集F的本征態(tài)是分立的（基矢可數(shù)），在F表象中，力學(xué)量L用矩陣表示為且而量子態(tài)ψ則表示成列矢的形式，即其中這樣，量子力學(xué)的理論表述均可表成矩陣的形式。下面我們分別討論Schr?dinger方程、平均值公式以及本征值方程的矩陣形式。(1)Schr?dinger方程代入上述方程得寫成矩陣的形式是對﹟(2)平均值公式對于力學(xué)量算符將此式代入上頁平均值公式，有﹟(3)本征值方程對本征值方程即這是ak的齊次線性方程組。方程組有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零，即寫出明顯的矩陣形式是表成列矢的形式為如表象空間的維數(shù)為N，則上式是關(guān)于的N次方程，有N個實根。記為注意：若有重根，則會出現(xiàn)簡并（不同的態(tài)對應(yīng)相同的能級），簡并態(tài)還不能唯一確定。4、力學(xué)量的表象變換即或其中同理可得其中將S矩陣元提到積分號外即其中則是從間基矢變換的幺正矩陣，即注意：S是不同表象基矢間的變換矩陣。﹟§4.6

Dirac符號

量子力學(xué)的理論描述常采用Dirac符號。兩個優(yōu)點：②不依賴于具體表象先介紹括號1、左矢（bra）與右矢（ket）Hilbert空間：由量子體系的一切可能狀態(tài)構(gòu)成。①運算簡捷在這個空間中，態(tài)用右矢表示，一般寫為，定義在復(fù)數(shù)域上。也可以在右矢內(nèi)填上相應(yīng)的量子數(shù)或本征值來表示相應(yīng)的態(tài)，如2、標積或內(nèi)積的表示定義兩個態(tài)矢ψ和φ標積的形式為又稱內(nèi)積。且滿足下列關(guān)系則其正交歸一性可寫為對連續(xù)譜，比如坐標算符的本征態(tài)的正交歸一性可寫為而動量算符的本征態(tài)的正交歸一性可寫為3、態(tài)矢在具體表象中的表示所以有（1）分立譜的情況所以用列矢表示為即而另外有我們稱算符I為單位算符，這是基矢完備性的表現(xiàn)，通過以后的學(xué)習(xí)會發(fā)現(xiàn)它有著非常重要的意義。（2）連續(xù)譜的情況在這種情況下，上述的求和要用積分代替。比如：要會寫，以后經(jīng)常用到。（3）兩個態(tài)矢之間的內(nèi)積寫法其中以上是態(tài)矢量在具體表象中的表示,下面介紹…4、算符在具體表象中的表示設(shè)算符的作用用Dirac符號表示為在F表象中，插入單位算符利用前面所得關(guān)系則有上式寫成矩陣的形式，有由4、量子力學(xué)公式例1用Dirac符號，Schr?dinger方程可寫為在F表象下可表示為即例2例4Dirac符號下的本征值方程在F表象中左端可以表成考查左端右端可以寫成從而有或?qū)憺榇朔匠探M有非0解的必要條件為這樣寫是有目的的﹟5、表象變換(1)態(tài)的表象變換則此兩個表示之間的關(guān)系可由下式給出即寫成矩陣的形式，有上式可以簡寫成下面用Dirac符號來證明上式證明：在F表象中可見，用Dirac符號證明上式是比較簡單的。同理可證例1已經(jīng)知道，一維粒子動量為的本征態(tài)是實際上，這是動量為的本征態(tài)在坐標表象中的表示，即實際上，任何算符的本征函數(shù)在自身表象中的表示都為δ函數(shù)。例2波函數(shù)在坐標表象和動量表象之間的變換而類似地，在動量表象中，此態(tài)矢量表示成寫成函數(shù)形式時應(yīng)寫成在坐標表象和動量表象中的表達式關(guān)系如下：插入|p>的完備性關(guān)系即Fourier變換式其逆變換為或?qū)懗纱俗儞Q的幺正性可通過下式證明：同理可證明：例3在坐標表象中表示成（以一維粒子為例）：而在動量表象中可以表成：(2)算符的表象變換而寫成矩陣的形式是注意：此式與周世勛書中的式（4.4-10）有所區(qū)別。原因在于選擇哪一個為原表象，即S矩陣是如何定義的。