2021-2023年高考數(shù)學(xué)真題分項匯編專題15概率與統(tǒng)計（解答題）（理）（全國通用）

專題15概率與統(tǒng)計（解答題）（理）知識點目錄知識點1：獨立事件的乘法公式知識點2：獨立性檢驗與回歸分析知識點3：頻率分布直方圖的實際應(yīng)用知識點4：求離散型隨機變量的分布列與期望知識點5：概率遞推問題近三年高考真題知識點1：獨立事件的乘法公式1．（2023?北京）為了研究某種農(nóng)產(chǎn)品價格變化的規(guī)律，收集到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價格變化數(shù)據(jù)，如表所示，在描述價格變化時，用“”表示“上漲”；即當(dāng)天價格比前一天價格高，用“”表示“下跌”，即當(dāng)天價格比前一天價格低：用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價格與前一天價格相同．時段價格變化第1天到第20天00000第21天到第40天00000用頻率估計概率．（Ⅰ）試估計該農(nóng)產(chǎn)品“上漲”的概率；（Ⅱ）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化是相互獨立的，在未來的日子里任取4天，試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；（Ⅲ）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化只受前一天價格的影響，判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”、“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大．（結(jié)論不要求證明）【解析】（Ⅰ）由表可知，40天中“上漲”的有16天，則該農(nóng)產(chǎn)品“上漲”的概率為．（Ⅱ）由表可知，40天中“上漲”的有16天，則該農(nóng)產(chǎn)品“下降”的概率為，40天中“不變”的有10天，則該農(nóng)產(chǎn)品“上漲”的概率為，則該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率．（Ⅲ）由于第40天處于“上漲”狀態(tài)，從前39天中15次“上漲”進行分析，“上漲”后下一次仍“上漲”的有4次，概率為，“上漲”后下一次“不變”的有9次，概率為，“上漲”后下一次“下降”的有2次，概率為，故第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“不變”的概率估值最大．知識點2：獨立性檢驗與回歸分析2．（2023?甲卷（理））一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：．（1）設(shè)表示指定的兩只小鼠中分配到對照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）試驗結(jié)果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為3．4．試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為5．6．求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對照組實驗組根據(jù)中的列聯(lián)表，能否有的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：，【解析】（1）根據(jù)題意可得，1，2，又，，，的分布列為：012；（2）個數(shù)據(jù)從小到大排列后，中位數(shù)即為第20位和第21位數(shù)的平均數(shù)，第20位數(shù)為，第21位數(shù)為，，補全列聯(lián)表為：合計對照組61420實驗組14620合計202040由可知，能有的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用．7．（2022?新高考Ⅰ）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090（1）能否有的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，表示事件“選到的人患有該疾病”，與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標，記該指標為．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出，的估計值，并利用（ⅰ）的結(jié)果給出的估計值．附：．【解析】（1）補充列聯(lián)表為：不夠良好良好合計病例組4060100對照組1090100合計50150200計算，所以有的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異．（2）證明：；（ⅱ）利用調(diào)查數(shù)據(jù)，，，，，所以．知識點3：頻率分布直方圖的實際應(yīng)用8．（2023?新高考Ⅱ）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值，將該指標大于的人判定為陽性，小于或等于的人判定為陰性，此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為（c）；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為（c）．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）當(dāng)漏診率（c）時，求臨界值和誤診率（c）；（2）設(shè)函數(shù)（c）（c）（c）．當(dāng)，，求（c）的解析式，并求（c）在區(qū)間，的最小值．【解析】（1）當(dāng)漏診率（c）時，則，解得；（c）；（2）當(dāng)，時，（c）（c）（c），當(dāng)，時，（c）（c）（c），故（c），所以（c）的最小值為．9．（2022?新高考Ⅱ）在某地區(qū)進行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（2）估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間，的概率；（3）已知該地區(qū)這種疾病患者的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間，的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘模畯脑摰貐^(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，，求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001．【解析】（1）由頻率分布直方圖得該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡為：歲．（2）該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間，的頻率為：，估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間，的概率為．（3）設(shè)從該地區(qū)中任選一人，此人的年齡位于區(qū)間，為事件，此人患這種疾病為事件，則．知識點4：求離散型隨機變量的分布列與期望10．（2023?上海）2023年6月7日，21世紀汽車博覽會在上海舉行，已知某汽車模型公司共有25個汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀藍色外觀棕色內(nèi)飾128米色內(nèi)飾23（1）若小明從這些模型中隨機拿一個模型，記事件為小明取到紅色外觀的模型，事件為小明取到棕色內(nèi)飾的模型，求（B）和，并判斷事件和事件是否獨立；（2）該公司舉行了一個抽獎活動，規(guī)定在一次抽獎中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個汽車模型，給出以下假設(shè)：假設(shè)1：拿到的兩個模型會出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色；假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎項越高；假設(shè)3：該抽獎活動的獎金額為：一等獎600元，二等獎300元、三等獎150元；請你分析獎項對應(yīng)的結(jié)果，設(shè)為獎金額，寫出的分布列并求出的數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）若紅色外觀的模型，則分棕色內(nèi)飾12個，米色內(nèi)飾2個，則對應(yīng)的概率（A），若小明取到棕色內(nèi)飾，分紅色外觀12，藍色外觀8，則對應(yīng)的概率（B）．取到紅色外觀的模型同時是棕色內(nèi)飾的有12個，即，則．（A）（B），（A）（B），即事件和事件不獨立．（2）由題意知，300，150，則外觀和內(nèi)飾均為同色的概率，外觀和內(nèi)飾都異色的概率，僅外觀或僅內(nèi)飾同色的概率，，，，，則的分布列為：150300600則（元．11．（2022?甲卷（理））甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為，，，各項目的比賽結(jié)果相互獨立．（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）用表示乙學(xué)校的總得分，求的分布列與期望．【解析】（1）甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為，，，可以得到兩個學(xué)校每場比賽獲勝的概率如下表：第一場比賽第二場比賽第三場比賽甲學(xué)校獲勝概率乙學(xué)校獲勝概率甲學(xué)校要獲得冠軍，需要在3場比賽中至少獲勝2場，①甲學(xué)校3場全勝，概率為：，②甲學(xué)校3場獲勝2場敗1場，概率為：，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為：；（2）乙學(xué)校的總得分的可能取值為：0，10，20，30，其概率分別為：，，，，則的分布列為：0102030的期望．12．（2022?北京）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎．為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：甲：，，，，，，，，，；乙：，，，，，；丙：，，，．假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．（Ⅰ）估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；（Ⅱ）設(shè)是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計的數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）【解析】（Ⅰ）甲以往的10次成績中有4次獲得優(yōu)秀獎，用頻率估計概率，則甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率．（Ⅱ）用頻率估計概率，則乙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率為，丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率為，的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，，．（Ⅲ）由題中數(shù)據(jù)可知，乙與丙獲得優(yōu)秀獎的概率較大，均為，且丙投出過三人成績中的最大值，在三人中有一定優(yōu)勢，故如果發(fā)揮較好的話丙獲得的概率估計值最大．13．（2021?北京）在核酸檢測中，“合1”混采核酸檢測是指：先將個人的樣本混合在一起進行1次檢測，如果這個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束；如果這個人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測，得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束．現(xiàn)對100人進行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準確．（Ⅰ）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測．（?。┤绻腥拘鹿诓《镜?人在同一組，求檢測的總次數(shù)：（ⅱ）已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為．設(shè)是檢測的總次數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．（Ⅱ）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測．設(shè)是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望與（Ⅰ）中的大小．（結(jié)論不要求證明）【解析】（Ⅰ）（?。┤舨捎谩?0合1檢測法”，每組檢查一次，共10次；又兩名患者在同一組，需要再檢查10次，因此一共需要檢查20次．（ⅱ）由題意可得：，30．，．可得分布列：2030．（Ⅱ）由題意可得：，30．，．可得分布列：2530．．另設(shè)“10合1”混采核酸檢測兩名感染患者在同一組的概率為，“5合1”混采核酸檢測兩名感染患者在同一組的概率為，則，此時有；而，．14．（2021?新高考Ⅰ）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有，兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答類問題的概率為，能正確回答類問題的概率為，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．（1）若小明先回答類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．【解析】（1）由已知可得，的所有可能取值為0，20，100，則，，所以的分布列為：020100（2）由（1）可知小明先回答類問題累計得分的期望為，若小明先回答類問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為0，80，100，，，，則的期望為，因為，所以為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答類問題．知識點5：概率遞推問題15．（2023?新高考Ⅰ）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且，，2，，，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【解析】（1）設(shè)第2次投籃的人是乙的概率為，由題意得；（2）由題意設(shè)為第次投籃的是甲，則，，又，則是首項為，公比為的等比數(shù)列，，即，第次投籃的人是甲的概率為；（3）由（2）得，由題意得甲第次投籃次數(shù)服從兩點分布，且，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，綜上所述，，．16．（2021?新高考Ⅱ）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分